山东省青岛市黄岛区 2016-2017 学年高二数学 3 月月考试题

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山东省青岛市黄岛区 2016-2017 学年高二数学 3 月月考试题 满分 150 分，考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.由“ 1 2 2 3  ， 2 4 3 5  ， 2 5 4 7  ”得出：“若 0a b  且 0m  ，则 b b m a a m   ”这个 推导过程使用的方法是 A．数学归纳法 B．演绎推理 C．类比推理 D．归纳推理 2. 用数学归纳法证明：“ 2 2 1 11 ( 1)1 n n xx x x xx         ”，在验证 1n  时，左端的项为 A. 2 31 x x x   B. 21 x x  C.1 x D.1 3.下列求导运算正确的是 A. 2 1 1( ) 1x x x    B． 2(log )x   2ln 1 x C． (3 )x  = 33 logx e D． 2( cos )x x  = 2 sinx x 4.函数 ( )f x 与 ( )g x 是定义在 R 上的可导函数，若 ( )f x 、 ( )g x 满足 ( ) ( )f x g x  ，则 A. ( ) ( )f x g x B. ( ) ( )f x g x 为常数函数 C. ( ) ( ) 0f x g x  D. ( ) ( )f x g x 为常数函数 5.设 28 lny x x  ，则此函数在区间 1(0, )4 和 1( ,1)2 内分别为 A.单调递增，单调递减 B.单调递增，单调递增 C.单调递减，单调递增 D.单调递减，单调递减 6. 若 1 2 1 2 1 2, ,z z C z z z z    是 A．纯虚数 B．实数 C．虚数 D．以上都有可能 7. 已知函数 ( ) xf x e ，则 4 2 ( )f x dx A. 4 2 2e e  B. 4 2e e C. 4 2 2e e  D. 4 2 2e e  8.设 a 为正实数，i 为虚数单位， 2a i i   ，则 a 的值为 A． 2 B． 3 C． 2 D．1 9.对于 R 上可导的任意函数 ( )f x ，若满足 '( 1) ( ) 0x f x  ，则必有 A． (0) (2) 2 (1)f f f  B. (0) (2) 2 (1)f f f  C. (0) (2) 2 (1)f f f  D. (0) (2) 2 (1)f f f  10.已知函数 3 21( ) 3f x x ax bx   在 1x   时取得极大值 5 3 ，则 ab  A. 15 B. 15 C. 3 D. 3 11.观察下列事实： 1x y  的不同整数解 ( , )x y 的个数为 4 ， 2x y  的不同整数解 ( , )x y 的个数为8 ， 3x y  的不同整数解 ( , )x y 的个数为12，，则 100x y  的不同整数 解 ( , )x y 的个数为 A. 400 B. 420 C. 440 D. 480 12.设函数 ( )f x 在 R 上可导，其导函数为 ( )f x ，函数 )(')1( xfxy  的图象如图所示，则 下列结论中一定成立的是 A.函数 ( )f x 有极大值 (2)f 和极小值 (1)f B.函数 ( )f x 有极大值 ( 2)f  和极小值 (1)f C.函数 ( )f x 有极大值 (2)f 和极小值 ( 2)f  D.函数 ( )f x 有极大值 ( 2)f  和极小值 (2)f 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分. x y 2 1 2O 13.用反证法证明“如果 a b ，那么 3 3a b ”，则假设的内容应是____________. 14.已知函数 sin( ) sin cos xf x x x   ，则 ( )2f   ____________. 15.复数 3 2 3 2 2 3 2 3 i i i i     . 16. 已知等差数列{ }na 中，有 11 12 20 1 2 30 10 30 a a a a a a    成立.类似地，在等比 数列{ }nb 中，有 成立. 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分。请把解答题答在答题纸限定的区域内，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 12 分）请按要求完成下列两题. （Ⅰ）求由直线 3x   ， 3x  ， 0y  与曲线 cosy x 所围成的封闭图形的面积. （Ⅱ）求由直线 4y x  ，曲线 2y x 及 x 轴所围成的封闭图形的面积. 18．（本题满分 12 分）请按要求完成下列两题 （Ⅰ）已知 a 、b 、 c 都为正实数， x 、 y 分别为 a 与b 、b 与 c 的等差中项，且 2a c x y   ， 求证： a 、b 、 c 成等比数列. （Ⅱ）数列{ }na 中， 1 1a  ， nS 表示前 n 项和，且 nS ， 1nS  ， 12S 成等差数列. （Ⅰ）计算 1 2 3, ,S S S 的值； （Ⅱ）根据以上计算结果猜测 nS 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想. 19．（本题满分 12 分）某电视生产企业有 ,A B 两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业 投放 ,A B 两种型号电视机的价值分别为 ,a b 万元，则农民购买电视机获得的补贴分别 为 1 , ln( 1)10 a m b  万元( 0m  且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的 ,A B 两种型号 的电视机，且 ,A B 两种型号的投放金额都不低于1万元. （Ⅰ）以投放 B 型号电视机金额为自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数， 并求其定义域； （Ⅱ）求当投放 B 型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？ 20．（本小题满分 12 分）已知函数 3 2( ) 4 5f x x ax bx    . （Ⅰ）若函数 ( )f x 不存在极值点，求 a ，b 的关系式； （Ⅱ）已知函数 ( )f x 在 3 2x  与 1x   时有极值. ⑴若函数 ( )f x 在 (0, )m 上不是单调函数，求实数 m 的取值范围； ⑵当 [ 2,2]x  时，求函数 ( )f x 的最值. 21.(本小题满分 12 分）已知函数 2( ) ln(1 ) ( 0)2 kf x x x x k     . （Ⅰ）当 0k  时，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当 1k  时，求函数 ( )f x 的单调区间； （Ⅲ）当 0k  时，若 1x   ，证明： 1ln( 1) 1 1x x     ． 22．（本小题满分 10 分）已知 Rm ，复数 2(1 ) (8 5 ) 15 14z i m i m i      . （Ⅰ）若复数 z 为纯虚数，求实数 m 的值； （Ⅱ）若在复平面内复数 z 表示的点在第四象限，求实数 m 的范围. 高二数学 2017.3.23 一、选择题：DBBBC BABCD AD 二、填空题：13. 3 3a b 14. 1 15. 2i 16. 10 30 11 12 13 20 1 2 3 30... ...b b b b b b b b 17.解（Ⅰ） 3 - 3 3cos sin 3 xdx x       …………3 分 sin sin( ) 33 3      …………5 分 （Ⅱ）由 4 2 y x y x    得， 2 4x x  ，即 22 ( 4)x x  ，得 4x  ， 2x  （舍） 所以两曲线的交点坐标为 (8,4) ，直线 4y x  与 x 轴的交点为 (4,0) …………7 分 所以 4 8 0 4 2 [ 2 ( 4)]S xdx x x     ， 3 3 22 24 8 82 2 2 2 1 ( 4)0 4 43 3 2x x x    …10 分 40 3  …………12 分 18.解（Ⅰ）由已知得 2 a bx  ， 2 b cy  ……1 分 因为 2a c x y   ，所以 2 2 2 a c a b b c   ，化简得 ( ) ( ) ( )( )a b c c a b a b b c      ， 则 2b ac ，所以 a 、b 、 c 成等比数列. ……………4 分 （Ⅱ）（1） 1 1 1S a  ， 由已知有 2 1 12 2S S S  ， 得 2 3 2S  ,又 3 2 12 2S S S  ， 得 3 7 4S  …………………………6 分 （2）由以上结果猜测： 1 2 1 2 n n nS   …………………………………7 分 用数学归纳法证明如下： （Ⅰ）当 1n  时 ， 1 1 1 1 2 1 12S    ，猜想成立………………………8 分 （Ⅱ）假设当 n k 时猜想成立，则有 1 2 1 2 k k kS   当 1n k  时，因为 1 12 2k kS S S   所以 1 1 1 1 2 1 2 12 22 2 k k k k kS         所以 1 1 ( 1) 1 2 1 2 k k kS      所以 1n k  时猜想成立 所以对任意正整数 n ，猜想都成立…………………12 分 19．（本题 13 分）解：（Ⅰ）设投放 B 型电视机的金额为 x 万元，则投放 A 型电视机的金额为 (10 )x 万元，所以1 9x  …………………2 分 总补贴 1( ) (10 ) ln( 1) ln( 1) 110 10 xf x x m x m x        ……………4 分 （Ⅱ） 1 [ (10 1)]( ) 1 10 10( 1) m x mf x x x        令 0y  ，得 10 1x m  ……………7 分 若10 1 1m   即 10 5m  ，则 ( )f x 在[1,9]为减函数，当 1x  时， ( )f x 有最大值； 若1 10 1 9m   即 1 15 m  ，则 ( )f x 在[1,10 1)m  是增函数，在 (10 1,9]m  是减函数， 当 10 1x m  时， ( )f x 有最大值； 若10 1 9m   即 1m  ，则 ( )f x 在[1,9]是增函数，当 9x  时， ( )f x 有最大值. 因此，当 10 5m  时，投放 B 型电视机1万元，农民得到的总补贴最大. 当 1 15 m  时，投放 B 型电视机10 1m  万元，农民得到的总补贴最大； 当 1m  时，投放 B 型电视机 9 万元，农民得到的总补贴最大. …………12 分 20.解（Ⅰ）由已知 2( ) 12 2f x x ax b    ……………2 分 因为函数 ( )f x 不存在极值点，所以 2( ) 12 2 0f x x ax b     无解 则 24 48 0a b    ，所以 2 12a b ……………4 分 （Ⅱ）⑴ 2( ) 12 2f x x ax b    ，所以 3 9( ) 12 3 02 4f a b      且 ( 1) 12 2 0f a b      ，解得 3, 18a b    ……………6 分 所以 2( ) 12 6 18 6(2 3)( 1)f x x x x x       ( , 1)  3( 1, )2  3( , )2  ( )f x + - + ( )f x 增 减 增 所以 ( )f x 在 ( , 1)  和 3( , )2  上增，在 3( 1, )2  上减……………8 分 若函数 ( )f x 在 (0, )m 上不是单调函数，则 3 2m  ……………9 分 ⑵由⑴知，则当 31, 2x   时取极大、极小值 因为 3 2( ) 4 3 18 5f x x x x    ，所以 3 61( 1) 16, ( ) , ( 2) 3, (2) 112 4f f f f        所以函数 ( )f x 的最大、最小值分别为 6116, 4  ……………12 分 21.解（Ⅰ）当 0k  时， ( ) ln(1 )f x x x   ，则 (1) ln 2 1f   所以 1( ) 11f x x    ，则 1(1) 2f    ………2 分 所以 (1) (1)( 1)y f f x   ，即 2 2ln 2 1 0x y    ………4 分 （Ⅱ）由已知 1x   ， 1( ) 11f x kxx     ，即 ( 1)'( ) 1 x kx kf x x    ， 当 0k  时， 1( ) 11 1 xf x x x       ，因为 1x   所以在 ( 1,0) 上增，在 (0, ) 上减………5 分 当 0 1k  时，由 ( 1)'( ) 01 x kx kf x x    ，得 1 0x  ， 2 1 0kx k   所以在 ( 1,0) 和 1( , )k k   上 '( ) 0f x  ；在 1(0, )k k  上 '( ) 0f x  故 ( )f x 在 ( 1,0) 和 1( , )k k   单调递增，在 1(0, )k k  单调递减………7 分 当 1k  时， ( 1)'( ) 01 x kx kf x x    ，得 1 1 ( 1,0)kx k    ， 2 0x  . 所以在 1( 1, )k k  和 (0, ) 上 '( ) 0f x  ；在 1( ,0)k k  上 '( ) 0f x  故 ( )f x 单调递增区间是 1( 1, )k k  和 (0, ) ，减区间是 1( ,0)k k  ……………9 分 （Ⅲ）令 1( ) ln( 1) 11g x x x     ，则 2 1 1( ) 1 ( 1)g x x x     ＝ 2( 1) x x  ．………11 分 所以 当 ( 1,0)x  时， ( ) 0g x  ，当 (0, )x  时， ( ) 0g x  ． 所以 当 1x   时， ( )g x  (0)g ，即 1ln( 1) 11x x    0 所以 1ln( 1) 1 1x x     ．……………12 分 22.解（Ⅰ）由已知， 2 2( 8 15) ( 5 14)z m m m m i      ……………2 分 因为复数 z 为纯虚数，所以 2 8 15 0m m   ，且 2 5 14 0m m   ……………4 分 解 2 8 15 0m m   得 3m  或 5m  ，解 2 5 14 0m m   得 2m   或 7m  所以 3m  或 5m  ……………6 分 （Ⅱ）若复数 z 表示的点在第四象限，则 2 2 8 15 0 5 14 0 m m m m        ……………8 分 解得 3, 5 2 7 m m m      或 ，所以 2 3m   或5 7m  ……………10 分