上海市浦东新区2020届高三二模考试数学试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测 高三数学试卷 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．‎ ‎1.设全集，集合，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由补集的运算法则可得解.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.‎ ‎2.某次考试，名同学的成绩分别为：，则这组数据的中位数为___．‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字.‎ ‎【详解】名同学的成绩由小到大排序为：，‎ 这组数据的中位数为100.‎ 故答案为：100‎ ‎【点睛】本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题.‎ ‎3.若函数，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 由可得：，问题得解.‎ ‎【详解】由可得：‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题.‎ ‎4.若是关于的方程的一个根（其中为虚数单位，），则__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.‎ ‎【详解】是关于的实系数方程的一个根，‎ 是关于的实系数方程的另一个根，‎ 则，即，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎5.若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为 ．‎ ‎【答案】1:8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由求得表面积公式得半径比为，由体积公式可知体积比为 考点：球体的表面积体积 ‎6.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆 - 24 -‎ 的参数方程为（为参数），则直线与圆的位置关系是________．‎ ‎【答案】相交 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得：直线的标准方程为，圆的标准方程为，再计算出圆心到直线的距离，问题得解.‎ ‎【详解】由直线的参数方程，可得：‎ 直线标准方程为：，‎ 由圆的参数方程，可得：‎ 圆的标准方程为：，圆心为，半径 圆心为到直线的距离 则直线与圆的位置关系是相交.‎ 故答案为：相交 ‎【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.‎ ‎7.若二项式展开式的第项的值为，则__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式的通项公式，得：，解得，再由等比数列求和公式，得：，从而极限可求.‎ ‎【详解】由已知可得：，‎ - 24 -‎ 即，解得，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及求极限，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎8.已知双曲线的渐近线方程为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得双曲线的右焦点为，即，由双曲线的渐近线方程为，可设其方程为：，再由可得：，求出，问题得解.‎ ‎【详解】抛物线的焦点为：‎ 双曲线的右焦点为：，即 双曲线的渐近线方程为，‎ 双曲线的方程可设为：，‎ 即，‎ 由可得：，，‎ 双曲线的方程是.‎ 故答案为：‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的标准方程和其渐近线方程，关键是掌握共渐近线的曲双线方程的设法，属于中档题.‎ ‎9.从（且）个男生、个女生中任选个人当发言人，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同．如果的概率和的概率相等，则_____________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从个男生、个女生中任选个人当发言人,共有种情况，事件表示选出的个人性别相同，共有情况，事件表示选出的个人性别不同，共有情况，由已知可得：，即，解之即可.‎ ‎【详解】从个男生、个女生中任选个人当发言人,共有种情况，‎ 事件表示选出的个人性别相同，共有情况，‎ 事件表示选出的个人性别不同，情况 ‎，‎ ‎，即 整理，得：，即 且，‎ 故答案为：10‎ ‎【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.‎ ‎10.已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 由已知可得：为R上偶函数，又函数的有且只有一个零点，所以，由此可得：，解得 ‎【详解】显然，由，可得：‎ ‎， 为R上的偶函数.‎ 函数的有且只有一个零点， ‎ 由此可得：，解得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了偶函数的对称性，属于中档题.‎ ‎11.如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为__________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，由，可得：‎ 再由，可得：，则，最后由可得解.‎ ‎【详解】设 的面积为，‎ - 24 -‎ 为中点，‎ 又C、P、Q三点共线，，即 则 当且仅当时取得最小值.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎12.已知数列满足，对任何正整数均有，，设，则数列的前项之和为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得：，；，，由此可得：，再由等比数列求和公式可得解.‎ - 24 -‎ ‎【详解】，‎ 两式相加可得：‎ ‎，‎ 是公比为2的等比数列，首项 两式相乘可得：‎ 是公比为2的等比数列，首项 ‎，‎ 由等比数列求和公式，得：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎13.若、满足 ， 则目标函数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可.‎ ‎【详解】由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：‎ 由图可知目标函数中z取最大值的最优解为：‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了线性规划求线性目标函数最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.‎ ‎14.如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线（ ）‎ A. 有一条 B. 有二条 C. 有无数条 D. 不存在 ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 易知当时即可满足要求，所以存在无数条.‎ ‎【详解】若平面，使得，‎ 又平面，平面，‎ 平面，‎ 显然满足要求的直线l有无数条.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定，属于基础题.‎ ‎15.已知函数.给出下列结论：‎ ‎①是周期函数； ‎ ‎② 函数图像的对称中心；‎ ‎③ 若，则；‎ ‎④不等式的解集为.‎ 则正确结论的序号是（ ）‎ A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可知是周期为的函数， 当时，；当时，，画出在一个周期内的函数图象，通过图象去研究问题.‎ ‎【详解】‎ 是周期为的函数，①正确；‎ 当时，，‎ - 24 -‎ 当时，，‎ 可以画出在一个周期内的函数图象，如下 由图可知：函数的对称中心为，②正确；‎ 函数的对称轴为 ‎ 若，则，即，③错误；‎ 不等式等价于：‎ 由图可知：‎ 解得，④正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.‎ ‎16.设集合，设集合是集合的非空子集，中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为的子集的元素个数之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：只有1种情况；且，共有种情况；且，共有种 情况；以此类推……，有1（）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和，计算可得：.再思考可以分为等1949类，问题可得解.‎ ‎【详解】当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：‎ 集合只含2个元素：只有1种情况；‎ 集合含有3个元素：且，共有种情况；‎ 集合含有4个元素：且，共有 种情况；‎ 以此类推……‎ 集合含有72个元素：，有（）种情况.‎ 所以，此类满足要求的子集元素个数之和M为：‎ ‎①②两式对应项相加，得：‎ 同理可得：所有子集元素个数之和都是，所以集合所有直径为的子集的元素个数之和为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.‎ - 24 -‎ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎17.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形(及其内部)以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的．‎ ‎（1）求此几何体的体积；‎ ‎（2）设是弧上的一点，且，求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先算底面积，再由算出体积；‎ ‎（2）以点B坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量法算出，即可得解.‎ ‎【详解】（1）由已知可得：‎ ‎． ‎ ‎．‎ ‎（2）如图所示，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系，‎ - 24 -‎ 则，，，，‎ 所以，，.‎ 设异面直线与所成的角为，则 所以，异面直线与所成角为.‎ ‎【点睛】本题考查了柱体体积计算和空间向量法计算异面直线的夹角，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎18.已知锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴正方向重合，终边与单位圆分别交于、两点，若、两点的横坐标分别为．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2） 在中，为三个内角对应的边长，若已知角，，且，求的值．‎ - 24 -‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知得：，故而，，再由可得解.‎ ‎（2）由（1）得：，所以，由可得，再由可得，最后由正弦定理可得：，问题得解.‎ ‎【详解】（1）由三角函数定义，得： ‎ 为锐角，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎（2）由，为锐角，‎ 得：， ‎ 由，得，又，‎ 解得 - 24 -‎ 由正弦定理可得：‎ ‎【点睛】本题考查了三家函数定义及正余弦和的展开公式，考查了正弦定理边化角的技巧，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎19.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．‎ ‎（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；‎ ‎（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当时不满足条件②，见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为当时，，所以不满足条件② ；‎ ‎（2）求导得：，当时，满足条件①；当时，在上单调递增，所以.由条件②可知，，即，等价于在上恒成立，问题得解.‎ ‎【详解】（1）因为当时，，所以当时不满足条件② .‎ ‎（2）由条件①可知，在上单调递增，‎ - 24 -‎ 所以当时，满足条件；‎ 当时，由可得 当时，单调递增，‎ ‎，解得，‎ 所以 ‎ 由条件②可知，，即不等式在上恒成立，‎ 等价于 当时，取最小值 综上，参数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；‎ ‎（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知得：，问题得解；‎ ‎（2）由已知可得：，设直线l方程为：，,‎ - 24 -‎ ‎，与椭圆方程联立可得：，由韦达定理，得：，，最后由，可得：，代入解方程即可；‎ ‎（3）设直线l方程为：，由已知可得：，即，化简得：，有已知可得:，联立直线与椭圆方程得：，由，‎ 和可求b的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由可得：，‎ 从而，所以椭圆方程为. ‎ ‎（2）由于四边形是菱形，因此且. ‎ 由对称性，在线段上. 因此，分别关于原点对称；‎ 并且由于菱形的对角线相互垂直，可得，即. ‎ 设直线l方程为：，且,‎ 与椭圆方程联立可得：，‎ ‎，，‎ 由，可得：‎ 解得，即直线方程为.‎ ‎（3）设直线l方程为：，‎ - 24 -‎ ‎，由已知可得：‎ ‎，即.‎ ‎，‎ 化简得：.‎ 若，则经过，不符合条件，‎ 因此.‎ 联立直线与椭圆方程得：.‎ 因为，即 由得：‎ 将代入得：，‎ 解得：‎ 令，则 当时，，‎ 在或上单调递减，‎ 或 所以b的取值范围为：.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆与直线的综合性问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题.‎ ‎21.若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”.‎ - 24 -‎ ‎（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：‎ ‎①等差数列：；‎ ‎②等比数列：；‎ ‎（2）若数列满足对任何正整数，均有.证明：数列是跳跃数列的充分必要条件是.‎ ‎（3）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围.‎ ‎【答案】（1）① 等差数列：不是跳跃数列；② 等比数列：是跳跃数列.（2）证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）①数列通项公式为，计算可得：，所以它不是跳跃数列；②数列通项公式为：，计算可得：，所以它是跳跃数列；‎ ‎（2）必要性：若，则是单调递增数列，若，是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，命题成立，若时，可得：，所以当时命题也成立；‎ ‎（3）有已知可得：，，若，则，解得；若，则，解得，‎ 由，则，得；当 - 24 -‎ ‎，则，得，问题得解.‎ ‎【详解】（1）①等差数列：通项公式为：‎ 所以此数列不是跳跃数列；‎ ‎②等比数列：通项公式为：‎ 所以此数列是跳跃数列 ‎（2）必要性：‎ 若，则是单调递增数列，不是跳跃数列；‎ 若，是常数列，不是跳跃数列. ‎ 充分性：（下面用数学归纳法证明）‎ 若，则对任何正整数，均有成立.‎ 当时，， ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以命题成立 若时，，‎ 则，‎ ‎，‎ 所以当时命题也成立，‎ 根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足，‎ 故是跳跃数列.‎ - 24 -‎ ‎（3）‎ 若，则，‎ ‎ ‎ 解得；‎ 若，则，‎ 解得；‎ 若，则，所以，‎ 若，则，所以，‎ 所以，‎ 此时对任何正整数，均有 - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎