2020届二轮复习离散型随机变量学案（全国通用）

2020届二轮复习离散型随机变量学案（全国通用）

离散型随机变量 学习目标　1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系.‎ 知识点一　随机变量 思考1　抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？‎ 答案　可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上.‎ 思考2　在一块地里种10棵树苗，棵数为x，则x可取哪些数字？‎ 答案　x＝0,1,2,3，…，10.‎ ‎(1)定义 在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，数字随试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.‎ ‎(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η…表示.‎ 知识点二　随机变量与函数的关系 思考　随机变量和函数有类似的地方吗？‎ 答案　随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数.试验结果相当于函数的自变量，随机变量相当于函数的函数值，随机变量可以看作函数概念的推广.‎ 相同点 随机变量和函数都是一种映射 区别 随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射 联系 随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域 知识点三　离散型随机变量 ‎1.定义：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.‎ ‎2.特征：‎ ‎(1)可用数值表示.‎ ‎(2)试验之前可以判断其出现的所有值.‎ ‎(3)在试验之前不能确定取何值.‎ ‎(4)试验结果能一一列出.‎ 类型一　随机变量的概念 例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由.‎ ‎(1)某机场一年中每天运送乘客的数量.‎ ‎(2)某单位办公室一天中接到电话的次数.‎ ‎(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数.‎ ‎(4)明年某天济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间.‎ 解　(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量.‎ ‎(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量.‎ ‎(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量.‎ ‎(4)济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量.‎ 反思与感悟　随机变量的辨析方法 ‎1.随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同.‎ ‎2.随机试验的结果的确定性.即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.‎ 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量.‎ 跟踪训练1　下列变量中，不是随机变量的是(　　)‎ A.一射击手射击一次命中的环数 B.标准状态下，水沸腾时的温度 C.抛掷两枚骰子，所得点数之和 D.某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 答案　B 解析　B中求沸腾时的温度是一个确定的值.‎ 类型二　离散型随机变量的判定 例2　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由.‎ ‎(1)白炽灯的寿命ξ；‎ ‎(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；‎ ‎(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；‎ ‎(4)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数.‎ 解　(1)白炽灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以ξ不是离散型随机变量.‎ ‎(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.‎ ‎(3)不是离散型随机变量.因为水位在(0,29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.‎ ‎(4)是离散型随机变量.从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：‎ ‎3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.‎ 反思与感悟　“三步法”判定离散型随机变量 ‎(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量.‎ ‎(2)由条件求解随机变量的值域.‎ ‎(3)判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量.‎ 跟踪训练2　(1)①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分.上述问题中的ξ是离散型随机变量的是(　　)‎ A.①②③④ B.①②④‎ C.①③④ D.②③④‎ 答案　B 解析　③中一天内的温度不能把其取值一一列出，是连续型随机变量，而非离散型随机变量.‎ ‎(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.‎ ‎①列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值.‎ ‎②若规定抽取的3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量.‎ 解　①列表如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 结果 获得3个黑球 取得1个白球，‎ ‎2个黑球 取得2个白球，‎ ‎1个黑球 取得3个白球 ‎②由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量.‎ 类型三　用随机变量表示随机试验的结果 例3　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.‎ ‎(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.‎ ‎(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.‎ 解　(1)X＝0表示取5个球全是红球；‎ X＝1表示取1个白球，4个红球；‎ X＝2表示取2个白球，3个红球；‎ X＝3表示取3个白球，2个红球.‎ ‎(2) X＝3表示取出的球编号为1,2,3.‎ X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4.‎ X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.‎ 反思与感悟　解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果.‎ 跟踪训练3　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.‎ ‎(1)从学校回家要经过3个红绿灯口，可能遇到红灯的次数ξ；‎ ‎(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟.‎ 解　(1)ξ可取0,1,2,3，‎ ξ＝0，表示遇到红灯的次数为0；‎ ξ＝1，表示遇到红灯的次数为1；‎ ξ＝2，表示遇到红灯的次数为2；‎ ξ＝3，表示遇到红灯的次数为3.‎ ‎(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间.‎ ‎1.抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是(　　)‎ A.出现正面的次数 B.出现正面或反面的次数 C.掷硬币的次数 D.出现正、反面次数之和 答案　A 解析　掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故选A.而B中标准 模糊不清，C中掷硬币次数是1，不是随机变量，D中对应的事件是必然事件.故选A.‎ ‎2.10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　)‎ A.取到产品的件数 B.取到正品的概率 C.取到次品的件数 D.取到次品的概率 答案　C 解析　对于A中取到产品的件数，是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量.‎ ‎3.从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个.‎ 答案　17‎ 解析　X的可能取值为3,4,5，…，19，共17个.‎ ‎4.甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”.用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果.‎ 解　根据题意可知ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出.‎ ‎1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件.‎ ‎2.写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值.‎ 一、选择题 ‎1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是(　　)‎ A.两次掷得的点数 B.两次掷得的点数之和 C.两次掷得的最大点数 D.第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差 答案　A 解析　两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数.‎ ‎2.下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变 量.其中是离散型随机变量的为(　　)‎ A.①② B.③④ C.①③ D.②④‎ 答案　C 解析　①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量.‎ ‎3.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为(　　)‎ A.第一枚为5点，第二枚为1点 B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点 C.第一枚为6点，第二枚为1点 D.第一枚为4点，第二枚为1点 答案　C ‎4.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是(　　)‎ A.Y＝5 B.Y＝4‎ C.Y＝3 D.Y＝2‎ 答案　B ‎5.一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为(　　)‎ A.6 B.5 C.4 D.2‎ 答案　B 解析　由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选B.‎ ‎6.袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是(　　)‎ A.25 B.10 C.15 D.9‎ 答案　D 解析　两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个.‎ 二、填空题 ‎7.下列变量中，不是随机变量的是________(填序号).‎ ‎①下一个交易日上证收盘指数；‎ ‎②标准大气压下冰水混合物的温度；‎ ‎③明日上课某班(共50人)请假同学的人数；‎ ‎④小马登录QQ找小胡聊天，设 X＝ 答案　②‎ ‎8.从5张已编号(1号～5号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和记为X，则X＝6表示的试验结果是_______________________________________.‎ 答案　取出分别标有1,5或2,4的两张卡片.‎ ‎9.一木箱中装有8个同样大小的篮球，分别编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种.‎ 答案　21‎ 解析　ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C种方法，即21种.‎ ‎10.一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到的号码为X，随机变量X的可能值有________个.‎ 答案　24‎ 解析　后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A＝24(个).‎ ‎11.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________.‎ 答案　－300，－100,100,300‎ 解析　因为答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.‎ 三、解答题 ‎12.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果.‎ 解　ξ＝0,1,2,3,4,5.ξ＝k(k＝0,1,2,3,4)表示在遇到第k＋1盏信号灯时首次停下.ξ＝5表示在途中没有停下，直达目的地.‎ ‎13.小王钱夹中只剩有20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和.写出X的可能取值，并说明这些取值表示的随机试验结果.‎ 解　X的可能取值为6,11,15,21,25,30.‎ 其中，X＝6，表示抽到的是1元和5元；‎ X＝11，表示抽到的是1元和10元；‎ X＝15，表示抽到的是5元和10元；‎ X＝21，表示抽到的是1元和20元；‎ X＝25，表示抽到的是5元和20元；‎ X＝30，表示抽到的是10元和20元.‎