山东省日照市2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

山东省日照市2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

‎2018－2019学年度高二下学期模块考试数学 考生注意：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．‎ 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设函数，则（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的取值计算的值即可.‎ ‎【详解】解：，‎ 故，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数求值问题，考查对数以及指数的运算，是一道基础题.‎ ‎2.已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为（ ）‎ A. 75% B. 96% C. 72% D. 78.125%‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设出产品是100件，求出次品数，合格品中一级品数值，然后求解概率.‎ ‎【详解】解：设产品有100件，次品数为：4件，合格品数是96件，合格品中一级品率为 ‎75%.‎ 则一级品数为：96×75%＝72，‎ 现从这批产品中任取一件，恰好取到一级品的概率为：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查概率的应用，设出产品数是解题的关键，注意转化思想的应用.‎ ‎3.某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：‎ 有心脏病 无心脏病 秃发 ‎20‎ ‎300‎ 不秃发 ‎5‎ ‎450‎ 根据表中数据得，由断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为（ ）‎ 附表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A. 0.1 ‎B. 0.05‎ C. 0.01 D. 0.001‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据观测值K2，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】由题意，，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为 ‎.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，理解临界值表格是关键，是基础题．‎ ‎4.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）‎ A. 150 B. ‎200 ‎C. 300 D. 400‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．‎ ‎【详解】∵，，‎ 所以，‎ 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．‎ ‎5.函数的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数解析式求得,结合选项中的函数图象，利用排除法即可得结果.‎ ‎【详解】因为函数，‎ 所以，选项中的函数图象都不符合，‎ 可排除选项，故选D.‎ ‎【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ ‎6.已知是定义在上的奇函数，且，若，则 （ ）‎ A. -3 B. ‎0 ‎C. 3 D. 2019‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的奇偶性分析可得，函数是周期为4的周期函数，据此求出、、的值，进而结合周期性分析可得答案.‎ ‎【详解】解：根据题意，是定义在上的奇函数，则　，‎ 又由，则有，即，‎ 变形可得：，‎ 即函数是周期为4的周期函数，‎ 是定义在上的奇函数，‎ 则，‎ 又由，则，‎ 故 ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性周期性的综合应用，涉及函数值的计算，属于基础题.‎ ‎7.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含项的系数是（ ）‎ A. -40 B. ‎-20 ‎C. 20 D. 40‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先求得a＝﹣1，再把（2x+a）5按照二项式定理展开，即可得含x3项的系数．‎ ‎【详解】令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2•（2+a）5＝2，∴a＝﹣1．‎ 二项式（x+1）（2x+a）5 ＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），‎ 故展开式中含x3项的系数是﹣40+80＝40‎ 故选D．‎ 点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎8.已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，根据的单调性得出结论．‎ ‎【详解】解：令，则，‎ 在上单调递增，‎ 又，‎ ‎，‎ 即，即 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题．‎ ‎9.已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】函数的导数为，图像在点处的切线的斜率为，切线方程为，即，设切线与相切的切点为，，由的导数为，切线方程为，即，∴，．‎ 由，可得，且，解得，消去，可得，‎ 令，，‎ 在上单调递增，且，，所以有的根，故选D.‎ ‎10.已知是函数的一个零点，若，则（ ）‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标,画出函数图像,利用图像判断即可 ‎【详解】因为是函数的一个零点,则是函数与的交点的横坐标,画出函数图像,如图所示,‎ 则当时,在下方,即；‎ 当时,在上方,即,‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数的零点问题,考查数形结合思想与转化思想 二、多项选择题．本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．‎ ‎11.给出下列三个等式：，，，下列函数中至少满足一个等式的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数、对数函数、一次函数、幂函数的性质，对各个选项中的函数进行逐一判断，找出至少满足一个等式的函数，从而得出结论.‎ ‎【详解】解：对A：，符合；‎ 对B：，符合；‎ 对C：不满足任何一个等式；‎ 对D：，符合.‎ 故选：ABD ‎【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数、一次函数、幂函数的性质应用，属于中档题.‎ ‎12.如图是二次函数图象的一部分，图象过点，且对称轴为，则以下选项中正确的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二次函数的图像和性质逐一判断即可.‎ ‎【详解】解：A：∵二次函数的图象是抛物线，‎ ‎∴与轴有两个交点，‎ ‎∴，即，故A正确；‎ B：∵对称轴为，‎ ‎∴，即，故B错误；‎ C：由图象可知当时，，即，故C错误；‎ D：∵把代入解析式可得，‎ 两式相加整理可得，‎ 又当时，，‎ 则，故D正确.‎ 故选：AD.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用.‎ ‎13.已知函数，则关于x的方程有以下结论，其中正确的结论为（ ）‎ A. 当时，方程恒有实根 B. 当时，方程在内有两个不等实根 C. 当时，方程在内最多有9个不等实根 D. 若方程在内的实根的个数为偶数，则所有实根之和为 ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出在一个周期内的函数图象，解方程可得或，讨论的范围得出方程的解得个数情况，利用函数图象的周期性和对称性计算所有根的和.‎ ‎【详解】解：.‎ ‎∴的周期为，‎ 作出在上的函数图象如图所示：‎ 或，‎ ‎，显然无解，‎ 若，则，故而无解，故A错误；‎ 当时，，显然在上有3个实数根，故B错误；‎ 当时，，故在上最多有3个实数根，‎ ‎∴方程在内最多有9个不等实根，故C正确；‎ 若方程在内根的个数为偶数，‎ 则方程在一个周期内有两个根，‎ 由图象的对称性可知方程在内的两根之和为，‎ 同理可得方程在内的两根之和为，‎ 方程在内的两根之和为，‎ ‎∴方程在内所有根之和为.故D正确.‎ 故答案为：CD.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象变换，函数零点与函数图象的关系，函数周期性与对称性的应用，属于中档题.‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎14.已知函数（且）恒过定点，则__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令指数，则：，‎ 据此可得定点的坐标为：，‎ 则：.‎ ‎15.已知函数，则函数的最小值是________.‎ ‎【答案】-16.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式的对称性进行换元，令，得到的最小值，由与的最小值相同，得到答案 ‎【详解】令，‎ 则 当时，有最小值 故的最小值是.‎ ‎【点睛】本题考查利用换元法求函数的最小值，二次函数求最值，属于中档题.‎ ‎16.要用三根数据线将四台电脑A，B，C，D连接起来以实现资源共享，则不同的连接方案种数为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题目可以联想到正方形的四个顶点，放上四台电脑，正方形的四条边和它的两条对角线，六条线中选3条，满足题意的种数为：全部方法减去不合题意的方法来解答.‎ ‎【详解】解：画一个正方形和它的两条对角线，在这6条线段中，‎ 选3条的选法有种.当中，4个直角三角形不是连接方案，‎ 故不同的连接方案共有种.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】连线、搭桥、几何体棱上爬行路程、正方体顶点构成四面体等，是同一性质问题，一般要用排除法.‎ ‎17.在的展开式中，x的整数次幂项的系数和为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】令，‎ ‎.‎ 由二项式定理，知P、Q中的x的整数次幂项之和相同，记作S（x），非整数次幂项之和互为相反数.故 令.则所求的系数和为.‎ 四、解答题：共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎18.己知集合,‎ ‎（1）若，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出集合或，由，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．‎ ‎（2）由，得到，由此能求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】解：（1）∵集合，‎ 或，，‎ ‎∴，解得 ‎∴实数a的取值范围是 ‎（2）‎ 或，‎ 解得或．‎ ‎∴实数a的取值范围是或 ‎【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．将集合的运算转化成子集问题需注意，若则有，进而转化为不等式范围问题.‎ ‎19.已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，g(x)＝.‎ ‎(1)求g(x)的解析式并判断g(x)的奇偶性；‎ ‎(2)求函数g(x)的值域.‎ ‎【答案】（1）,为奇函数; （2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)先求出,即可得的解析式，然后利用奇偶性的定义判断的奇偶性; (2)根据分式的特点，结合指数函数的性质求解值域.‎ 试题解析：（1）由，得，故，所以.‎ 因为，而， 所以函数为奇函数.‎ ‎（2），，所以，即函数的值域为（）.‎ ‎20.已知函数在 与 处都取得极值．‎ ‎（1）求函数的解析式及单调区间；‎ ‎（2）求函数在区间的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（1）；单调增区间是，减区间是；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)，即可求出函数的解析式,再利用导数求函数的单调区间.(2)比较函数的极值和端点函数值的大小即得函数 在区间的最大值与最小值．‎ ‎【详解】（1）因为，所以,‎ 由，‎ ‎ ,‎ ‎,‎ 令或，， ‎ 所以单调增区间是 减区间是.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递增 极大 递减 极小 递增 极小值 ，极大值 而，‎ 可得.‎ ‎【点睛】（1）本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，利用导数研究函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数在闭区间上的最值，只要比较极值和端点函数值的大小.‎ ‎21.国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查，派出10人调查组，先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查，然后打分（满分100分），他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示：‎ ‎（1）请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，并说明理由；‎ ‎（2）从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率．‎ ‎（参考数据：， ）‎ ‎【答案】（1）乙城市，理由见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出甲已两个城市的打分平均数及方差，根据大小判断即可；‎ ‎（2）设事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，根据条件概率公式求解即可.‎ ‎【详解】（1）甲城市的打分平均数为：，‎ 乙城市的打分平均数为：，‎ 则甲城市的打分的方差为：‎ 乙城市的打分的方差为：‎ 甲乙两城市打分平均数的平均数相同，但是乙城市打分波动更小，故乙城市更应该入围“国家文明城市”；‎ ‎（2）由茎叶图可得，分数在80分以上的甲城市有4个，乙城市有5个．‎ 设事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，‎ 事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，‎ 则，‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考核方差，平均数的计算，考查条件概率的求解，是中档题.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若函数在区间内是单调递增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．（注：为自然对数的底数）‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数在区间上是单调递增函数，，化为：‎ ‎，.利用二次函数的单调性即可得出.‎ ‎（2）在区间上有两个不相等的实数根，⇔方程在区间上有两个不相等的实数根.令，利用根的分布可得的范围，再利用根与系数关系可得：，得，令.利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.‎ ‎【详解】（1）解：∵函数在区间上是单调递增函数，‎ ‎∴，化为：，，‎ 令，则时取等号.‎ ‎.‎ ‎∴实数的取值范围是；‎ ‎（2）证明：在区间上有两个不相等的实数根，‎ 即方程在区间上有两个不相等的实数根，‎ 记，则，解得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，‎ ‎，‎ 记，‎ ‎，‎ 令在上单调递增.‎ ‎，‎ 因此函数存在唯一零点，使得，‎ 当 ；当时，，‎ 而在单调递减，在单调递增，‎ 而，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴函数在上单调递减，‎ ‎，‎ 可得：，‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.‎ ‎23.某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰，经过保鲜加工后全部装箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元），然后以每箱2000元的价格整箱出售．由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理．根据经验，降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种玫瑰．因库房限制每天最多加工6箱．‎ ‎（1）若某天此鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰，在下午3点以前售出4箱，且6箱该种玫瑰被6位不同的顾客购买．现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡，求恰好一位是以2000元价格购买的顾客且另一位是以1200元价格购买的顾客的概率：‎ ‎（2）此鲜花批发店统计了100天该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量t（单位：箱），统计结果如下表所示（视频率为概率）：‎ t/箱 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 频数 ‎30‎ x s ‎①估计接下来的一个月（30天）该种玫瑰每天下午3点前的销售量不少于5箱的天数并说明理由；‎ ‎②记，，若此批发店每天购进的该种玫瑰箱数为5箱时所获得的平均利润最大，求实数b的最小值（不考虑其他成本，为的整数部分，例如：，）．‎ ‎【答案】（1）；（2）①；②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据古典概型概率公式计算可得；‎ ‎（2）①用100−30可得；‎ ‎②用购进5箱的平均利润＞购进6箱的平均利润，解不等式可得.‎ ‎【详解】解：（1）设这6位顾客是A，B，C，D，E，F.其中3点以前购买的顾客是A，B，C，D.3点以后购买的顾客是E，F.‎ 从这6为顾客中任选2位有15种选法：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），其中恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的有8种：（A，E），（A，F），（B，E），（B，F），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F）.‎ 根据古典概型的概率公式得；‎ ‎（2）①依题意，　‎ ‎∴，‎ 所以估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是天；‎ ‎②批发店毎天在购进4箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为：‎ ‎4×2000−4×500×3＝2000元；‎ 批发店毎天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为：‎ 元；‎ 批发店毎天在购进6箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为：‎ ‎ ‎ 由，‎ 解得：，‎ 则 所以，要求b的最小值，则求的最大值，‎ 令，则，‎ 明显，则在上单调递增，‎ 则在上单调递增，‎ ‎，‎ 则b的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，属中档题.‎