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文档介绍
【数学】2019届一轮复习北师大版导数解答题学案
专题六 导数解答题 导数与函数的单调性的综合题 【背一背重点知识】 1．利用导数求函数区间的步骤 一求定义域，二求导数为零的根，三在定义域内分区间研究单调性； 2．利用函数单调性与对应导数值关系，进行等价转化．如增函数可转化为对应区间上导数值非负；减函数可转化为对应区间上导数值非正； 3．利用导数积与商运算法则规律，构造函数研究函数单调性，如可转化为 可转化为 【讲一讲提高技能】 1. 必备技能 会根据导数为零是否有解及解是否在定义域内进行正确分类讨论；会根据函数单调性确定导数在对应区间上符号规律；会根据导数积与商运算法则规律构造函数． 2. 典型例题 例1．【2018安徽淮南市高三一模（2月）】已知函数． （I）若，讨论函数的单调性； （II）曲线与直线交于，两点，其中，若直线斜率为，求证 ． 【答案】（I）答案见解析；（II）证明见解析． 【解析】试题分析 （I）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （II）问题等价于，令，则，问题转化为只需证，根据函数的单调性证明即可． 试题解析 （I），， 当时，恒有，在区间上是增函数， 当时，令，即，解得；令，即，解得，在区间上是增函数，在区间上是减函数． 综上，当时，在区间上是增函数； 当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数． （II）证明 ，要证明， 即证，等价于，令 (由，知)， 则只需证，由知，故等价于 ( ) ①令，则，所以在上是增函数， 当时，，所以； ②令，则，所以在内是增函数， 当时，，所以， 综上 ． 例2．【2018重庆巴蜀中 高三12月考】已知函数，其中为自然对数的底数． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）若，是函数的两个零点，设，证明 随着的增大而增大． 【答案】（I）函数的单调递增区间是，单调递减区间是，极小值，无极大值；（II）证明见解析． 【解析】 试题分析 （I）借助题设条件运用导数知识求解；（II）依据题设运用导数与函数的单调性之间的关系进行推证． （Ⅱ）令，则，因为函数有两个零点，， 所以，，可得，， 故， 设，则，且解得，． 所以 ，①令，， 则．令，得． 当时，．因此，在上单调递增，故对于任意的，． 由此可得，故在上单调递增．因此，有①可得随着的增大而增大． 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以函数解析式为背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力．本题的第一问是求函数的极值与单调区间，求解时运用求导法则分类讨论的范围及导数与函数的单调性的关系，分别求出求出其单调区间和极值；第二问则通过转化与化归将问题进行转化，然后构造函数，运用求导法则及转化化归思想分析推证，使得问题获解． 【练一练提升能力】 1．【2018广东中山一中、仲元中 等七校3月联考】已知函数． （I）当时，求函数的单调区间； （II）函数在上是减函数，求实数a的取值范围． 【答案】（I）减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；（II） 【解析】试题分析 （I）求导得，得到减区间为（0，），（1，+∞），增区间为（，1）；（II），在x∈（2，4）上恒成立，等价于 上恒成立，所以实数a的取值范围 试题解析 （I） 函数的定义域为（0，+∞），在区间（0，），（1，+∞）上f ′（x）＜0．函数为减函数；在区间（，1）上f ′（x）＞0．函数为增函数． = （II）函数在（2，4）上是减函数，则，在x∈（2，4）上恒成立． | | ] 实数a的取值范围 2．【2018百校联盟TOP20一月联考】函数在处的切线斜率为． （I）讨论函数的单调性； （II）设，，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（I）时，的单调递增区间为；时， 的单调递增区间为，单调递 减区间为．（II） 【解析】试题分析 （I）对求导后根据的取值情况进行分类讨论可得函数的单调性．（II）根据题意将问题转化为函数的最小值不小于函数的最小值的问题解决即可． 试题解析 （I）由题意得函数的定义域为． ∵， ∴， ∵曲线在处的切线斜率为， ∴， ∴． ∴， ∴． （ⅰ）当时，，所以在上单调递增； （ⅱ）当时，令，， 当时，， 时，， （ⅲ）当时，，故当时，，在上单调递增． 综上 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （II）由（I）可得，∴， 设 ，则，设， 则，∵ 当时，，∴，∴在区间上单调递减， 故当时，，∴，∴在上单调递减，∴，∴ ， ∴ 在区间上单调递减，∴． 由题意得 ，，令，则， ∴，可求得． ∵对任意的，存在，使得成立． ∴，整理得，解得或， 又，所以．∴ 实数的取值范围为． 导数与函数的极值、最值的综合题 【背一背重点知识】 1．运用导数求可导函数的极值的步骤 （I）先求函数的定义域，再求函数的导数；（II）求方程的根；（III）检查在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值． 2．求函数在区间上的最大值与最小值的步骤 （I）首先确定函数在区间内连续，在内可导；（II）求函数在内的极值；（III）求函数在区间端点的值；（4）将函数的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3．已知函数最值求参数，需正确等价转化．如函数最大值为2，则等价转化为 恒成立且有解． 【讲一讲提高技能】 1．必备技能 求函数最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点；而求函数极值时，必须考察导数为零的点的附件导数值是否变号，若不变号，则不为极值点；若变号，再根据变号规律，确定是极大值还是极小值． 2．典型例题 例1．【2018江西南昌高三一模】已知函数，其中为自然对数的底数． （I）若在处取到极小值，求的值及函数的单调区间； （II）若当时， 恒成立，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）． 【解析】【试题分析】（I）令可求得的值．利用二阶导数求得函数点的单调区间．（II）对求导，并对分成，三类讨论函数的最小值，由此求得的取值范围． 【试题解析】 （Ⅰ）由，得[ ] 因为，所以，所以 令，则， 当时，，故在单调递增，且 所以当，． 即当时，，当时，． 所以函数在上递减，在上递增． （Ⅱ）【法一】由，得 （I）当时，，在上递增 （合题意） 不满足时，恒成立 综上所述，的取值范围是． 【法二】由，发现 由在恒成立，知其成立的必要条件是 而，即 ①当时，恒成立，此时在上单调递增， （合题意）． ②当时，在时，有，知， 而在时，，知， 所以在上单调递增，即（合题意） 综上所述，的取值范围是． 【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数 判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性．确定零点的个数问题 可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象．方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理．恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数 求解．注意利用数形结合的数 思想方法． 例2．【2018河南高三一轮复习诊断调研联考高三上 期联考】已知函数（），且是它的极值点． （I）求的值； （II）求在上的最大值； （III）设，证明 对任意，都有． 【答案】（I）（II）见解析（III）见解析 【解析】试题分析 （I）因为是的一个极值点，所以，解得的值； （II）由（I）知，，讨论区间端点与导函数零点的关系明确的单调性，从而求得在上的最大值； （III）设，，其中，，分别研究二者的最值即可． 试题解析 （I） ， 因为是的一个极值点，所以， 所以． （III），设，，其中，， 则，设，则，可知在上是增函数， 所以，即在上是增函数， 所以． 又，由，得；由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以，从而． 所以，对任意，，． 【练一练提升能力】 1．【2018东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中 ）高三一模】已知函数，． （I）讨论函数的单调性； （II）若函数在上的最大值为1，求实数的取值集合． 【答案】（I）见解析；（II）． 【解析】试题分析 （I）对函数求导得，对分类讨论，结合导数的性质，即可得到函数的单调性；（II）函数在上的最大值为1等价于对任意，恒成立，即对任意恒成立，变形可得，分别对，及讨论，即可求得实数的取值集合． 试题解析 （I）． 当时，在上单调递减； 当时，，即在上单调递减； 当时，． ∴时，，在上递减； 时，，在上递增； 时，，在上递减； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上递减； 在上递增；上递减． （II）∵函数在上的最大值为1 ∴对任意，恒成立，即对任意恒成立，变形可得． 当时，即，可得； 当时，．则 令，则． 当时，，当时，． 因此，， ∴． 当时，．则 令，则． 当时，，因此，，∴． 综上，．∴的取值集合为． 2．【2018湖南（长郡中 、株洲市第二中 ）、江西（九江一中）等十四校高三第一次联考】已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，）． （Ⅰ）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围； （Ⅱ）当时，若（其中）恒成立，求的最小值的最大值． 【答案】(Ⅰ)或；(Ⅱ)． 【解析】试题分析 (Ⅰ)由题意可知函数的定义域为，其导数为．由或，设，则，分类讨论可得当或时，只有一个极值点．很明显当时，只有一个极值点．当时，有、、三个极值点．则当或时，函数只有一个极值点． (Ⅱ)依题意得，令，则，分类讨论 当时，，与恒成立矛盾；当时，只需成立，则，问题转化为求解的最小值，计算可得，即的最小值的最大值为． 试题解析 (Ⅰ)函数的定义域为，其导数为． 由或， 设，∵，∴当时，；当时，． 即在区间上递增，在区间上递减，∴， 又当时，，当时，且恒成立． 所以，当或时，方程无根，函数只有一个极值点． 当时，方程的根也为，此时的因式恒成立， 故函数只有一个极值点． 当时，方程有两个根、且，，∴函数在区间单调递减；单调递增；单调递减；单调递增，此时函数有、、三个极值点． 综上所述，当或时，函数只有一个极值点． (Ⅱ)依题意得，令，则对，都有成立． 因为，所以当时，函数在上单调递增， 注意到，∴若，有成立，这与恒成立矛盾； 当时，因为在上为减函数，且，所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，∴ ， 若对，都有成立，则只需成立， ， 当时，则的最小值，∵，∴函数在上递增，在上递减，∴，即的最小值的最大值为； 综上所述，的最小值的最大值为． ！ 利用导数解决不等式等综合问题 【背一背重点知识】 1．利用导数证明不等式的基本步骤 （I）作差或变形；（II）构造新的函数；（III）对新函数求导；（4）根据新函数的导函数判断新函数的单调性或最值；（5）结论． 2．对恒成立等价于 3．对恒成立等价于 【讲一讲提高技能】 1必备技能 构造函数证明不等式的技巧 （I）对于（或可化为）左右两边结构相同的不等式，构造函数，使原不等式成为形如的形式；（II）对形如，构造函数；（III）对于（或可化为）的不等式，可选(或)为主元，构造函数（或）． 2典型例题 例1．【2018河南商丘市高三第一 期期末考试】函数，其中． （I）求函数的单调区间； （II）已知当（其中是自然对数）时，在上至少存在一点，使成立，求的取值范围； （III）求证 当时，对任意，，有． 【答案】（I） 递增区间为和，递减区间为．（II） ；(3)证明见解析． 【解析】试题分析 （I）易知的定义域为，再求导由 得 或 ，讨论两根和定义域的关系，由导数的正负求单调区间即可； （II）题中条件等价于当时，，进而求即可； （III）构造辅助函数，并求导得，当时，，为减函数，有，变形即可证得． 试题解析 （I）易知的定义域为． ． 由 得 或 ．∵，∴． ∴时，为增函数；时，为减函数； 时，为增函数，∴函数的递增区间为和，递减区间为． （II）在上至少存在一点，使成立，等价于当 时，．∵，∴． 由（Ⅰ）知，时，为增函数，时，为减函数． ∴在时，．∴． 检验，上式满足，所以是所求范围． （III）当时，函数．构造辅助函数， 并求导得． 显然当时，，为减函数． ∴ 对任意，都有成立，即． 即．又∵，∴． 【点睛】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化 （I）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（III）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）． （II）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理． 例2．【2018吉林长春高三质量监测（二）】已知函数． （I）求证 函数有唯一零点； （II）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（I）见解析；（II）． 【解析】试题分析 （I）求出，先证明在区间 上为增函数，又，，所以在区间上恰有一个零点，而在上恒成立，在上无零点，从而可得结果；（II））设的零点为，即．原不等式可化为，令若，可得，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能，，即求所求． 试题解析 （I）， 易知在上为正，因此在区间上为增函数，又， 因此，即在区间上恰有一个零点， 由题可知在上恒成立，即在上无零点， 则在上存在唯一零点． （II）设的零点为，即．原不等式可化为， 令，则，由（I）可知在上单调递减， 在上单调递增，故只求，，设， 下面分析，设，则， 可得，即 若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能． 因此，即求所求． 【方法点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先 通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路． 【练一练提升能力】 1．【2018山西孝义市高三下 期名校最新高考模拟卷（一）】已知函数，，其中是自然常数． （I）判断函数在内零点的个数，并说明理由； （II） ，，使得不等式成立，试求实数的取值范围． 【答案】（I）见解析；（II）． 解析 （I）函数在上的零点的个数为1，理由如下 因为，所以， 因为，所以，所以函数在上单调递增． 因为，，根据函数零点存在性定理得函数在上存在1个零点． （II）因为不等式等价于， 所以，，使得不等式成立，等价于 ，即， 当时，，故在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值，又， 当时，，，，所以，故函数在区间上单调递减． 因此，当时，取得最大值，所以，所以，所以实数的取值范围为． 2．【2018河南豫南九校高三下 期第一次联考】设函数． （I）当时，恒成立，求的范围； （II）若在处的切线为，且方程恰有两解，求实数的取值范围． 【答案】（I） （II） 【解析】试题分析 （I）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小值大于等于0即可；（II）根据切线得到，，方程有两解，可得，所以有两解，令，研究这个函数的单调性和图像，使得常函数y=m，和有两个交点即可． 解析 （I）由，当时，得． 当时，，且当时，，此时． 所以，即在上单调递増，所以 ， 由恒成立，得，所以． （II）由得，且． 由题意得，所以．又在切线上． 所以．所以．所以． 即方程有两解，可得，所以． 令，则， 当时，，所以在上是减函数． 当时，，所以在上是减函数．所以． 又当时，；且有．数形结合易知 ． 解答题（共10题） 1．【2018甘肃张掖市高三备考质量检测第一次考试】已知函数． （I）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （II）设函数，若存在，使不等式成立，求的取值范围． 【答案】（I）；（II）． 【解析】试题分析 （I）由，得，所以在上单调递增，可得，从而得；（II）存在，使不等式 成立，等价于，令，利用导数研究函数的单调性，求出，只需即可得结果． 试题解析 （I）由，得， 所以在上单调递增，所以，所以，所以的取值范围是． 2．【2018江苏如皋高三年级第一 期教 质量调研（三）】已知函数是定义在上的偶函数．当时，． （I） 求曲线在点处的切线方程； （II） 若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（I）（II） 【解析】试题分析 （I）根据是偶函数，当时，，可得当时，，，求出可得切线斜率，求出，可得切点坐标，由点斜式可得切线方程；（II）令，则原命题等价于，恒成立，即恒成立，设，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值为，从而可得实数的取值范围为． 试题解析 因为为偶函数，所以， 当时，则，故 ，所以， 从而得到， ， （I）当时，，所以 所以在点的切线方程为 ，即 （II）关于的不等式恒成立，即 恒成立 令，则原命题等价于，恒成立， 即恒成立，记，， 当时，，则递增；当时，，则递减； 所以，当时，取极大值，也是最大值， 所以，即实数a的范围为． 3．【2018江西重点中 盟校高三第一次联考】已知函数 ． （I）当时，求曲线在点处的切线方程； （II）当时，求最大的整数，使得时，函数图象上的点都在 所表示的平面区域内（含边界）． 【答案】（I） ；（II）． 【解析】试题分析 （I）代入，得到的值，再利用点斜式，即可得到切线方程；（II）当时，当时，，即，设，则问题等价于当时，，再由，分和分类讨论，即可求解的最大值． 试题解析 （I）当时，，则， ， 又∴所求的切线方程为，即 （II）当时，由题意得 ，当时，，即 ，设，则问题等价于当时， ，． 当时，若，则，递增， ，故不满足条件，当时，因为为整数，故，所以，在上递增，在上递减， ，即 易知函数（）为递减函数，又， 所以满足的最大整数为，综上可知，满足条件的最大的整数为． 4．【2018山西吕梁市高三上 期第一次模拟】已知函数． （I）当时，试求的单调区间； （II）若在内有极值，试求的取值范围． 【答案】（I） 单调增区间为，单调减区间为 （II） 【解析】试题分析 （Ⅰ）由题意，求得函数的导数，分别求得和的解集，即可得到函数的单调区间； （Ⅱ）若在内有极值，则在内有解，令，得到 ， 在令 ，求得函数的值域，进而可求解实数的取值范围． 试题解析 （Ⅰ）． 当时，对于，恒成立，所以Þ；Þ． 所以单调增区间为，单调减区间为． （Ⅱ）若在内有极值，则在内有解． 令 Þ Þ ． 设 ，所以 ， 当时，恒成立， 所以单调递减． 又因为，又当时，，即在上的值域为， 所以 当时， 有解． 设，则 ，所以在单调递减． 因为，，所以在有唯一解．所以有 0 0 极小值 所以当时，在内有极值且唯一． 当时，当时，恒成立，单调递增，不成立． 综上，的取值范围为． 5．【2018广东省深中、华附、省实、广雅四校联考】已知函数，其中为自然对数的底数，常数． （I）求函数在区间上的零点个数； （II）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极大值点？说明理由． 【答案】（I）1；（II）存在． 【解析】【试题分析】（I）对函数求导后得到函数的单调区间，利用二分法判断函数在给定区间上只有一个零点．（II）原命题等价于，存在无数个，使得成立，求得的表达式，构造为函数，利用导数证得存在负值即可． （II）（法一）当时，． 因为当时，；当，． 由（I）知，当时，；当时，． 下证 当时，，即证． ，记… ，所以在单调递增， 由， 所以存在唯一零点，使得，且时，单调递减， 时，单调递增． 所以当时，．…… 由，得当时，． 故． 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以存在，使得为的极大值点． （II）（法二）因为当时，；当，． 由（I）知，当时，；当时，． 所以存在无数个，使得为函数的极大值点，即存在无数个，使得成立，①…由（I），问题①等价于，存在无数个，使得成立， 因为， 记… 因为，当时，，所以在单调递增，因为， 所以存在唯一零点，使得，且当时，单调递减；当时，单调递增； 所以，当时，，②… 由，可得，代入②式可得， 当时，， 所以，必存在，使得，即对任意有解， 所以对任意，函数存在极大值点为． 6．【2018广东佛山市顺德区高三下 期 情调研考试】已知实数及函数 （I）若，求的单调区间； （II）设集合，使在上恒成立的的取值范围记作集合，求证 是的真子集． 【答案】（I）的单调递减区间是和，增区间是；（II）见解析． 【解析】试题分析 （I），所以的单调递减区间是 和，增区间是；（II），分类讨论，得是的真子集． 试题解析 （I） 令，得或，则 所以的单调递减区间是和，增区间是 （II）证明 时，的判别式 恒成立，所以恒成立且有唯一的值使 所以，时，在上单调递减． 所以时，，所以是的子集； 时，令，得 或，则类比（I）可得在上的单调减区间是 和，增区间是 取，得的单调减区间是和，增区间是 ，所以在上，时取得最大值．． 所以，时，恒成立，所以，但，所以是的真子集． 7．【2018天一大联考高中毕业班阶段性测试（四）】已知函数，． （I）若恒成立，求实数的取值范围； （II）证明 对于任意正整数，都有成立． 附 ． 【答案】（I）；（II）见解析． 【解析】试题分析 函数恒成立问题转化为最值问题分析即可，由恒成立，设 ．只需分析单调性求出F（x）的最大值即可解得b的取值范围（II））根据（I）可知时有不等式在上恒成立，又因为，所以，即成立． 所以不等式在上恒成立．所以对于任意正整数，恒成立．所以，，…，，累加即可得所以 ，所以 ， 解析 （I）设 ． ． ，，所以当时，，于是在上单调递增； 当时，，于是在上单调递减． 所以，，所以． （II）根据（I）可知时有不等式在上恒成立， 又因为，所以，即成立． 所以不等式在上恒成立． 所以对于任意正整数，恒成立． 所以，，…，， 所以 ， 所以 ， ，． 8．【2018广东深圳市高三第一次调研考试】已知函数． （I）讨论函数的单调性； （II）当时，关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（I）见解析；（II）． 【解析】试题分析 （I）求出的定义域以及导函数，分四种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（II） ，等价于，讨论 的范围，利用导数研究函数的单调性，分别令求出函数的最小值，令最小值大于零，可筛选出符合题意的的取值范围． 试题解析 （I） 的定义域为．． 由，，得，． ①当时，，在时，；在时，， 所以在单调递减，在单调递增； ②当时，，在时，；在时，；在时，．所以在，单调递增，在单调递减； ③当时，在上恒成立，所以在单调递增； ④当时，．在时，；在时，；在时，，所以在，单调递增，在单调递减； 当时，，在上，故单调递增， 所以恒成立； 当时，，即，故． 故当时，，当时，，此时函数在上单调递减．又，所以在上，与题设矛盾． 当时，，此时函数在上单调递减． 又，所以在上，与题设矛盾． 综上 ． 9．【2018河北保定上 期期末调研考试】已知函数，． （I）令，讨论函数的单调性； （II）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（I）时，在递增，递减；时，在递增；[ , , ] 时，在和递增，递减；时，在和递增，递减；（II）． 【解析】试题分析 （I）求出函数的解析式和定义域，求导，对实数分情况讨论得出单调性；（II）若任意，都有恒成立．令h(x)= f(x)- g(x)， 只需 即可，由（I）中的单调性，求出的最小值，再求出的范围． 试题解析 （I）解 h(x)=f(x)-g(x)= ，定义域为 ，（x>0） a0时，>0得x>1；<0得0查看更多
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