浙江省杭州外国语学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

浙江省杭州外国语学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019学年杭外高二上期中考试 一、选择题：每小题4分，共40分 ‎1.直线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.‎ ‎【详解】直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.下列几何体各自三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三视图的成图原理，即长对正、宽相等、高平齐，可得四个几何体的三视图。‎ ‎【详解】对①，三视图均相同；‎ 对②，主视图与侧视图相同；‎ 对③，三个视图均不相同；‎ 对④，主视图和侧视图相同。‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三视图的成图原理，考查空间相象能力，属于容易题。‎ ‎3.若是异面直线，直线，则与的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】若为异面直线，且直线，‎ 则与可能相交，也可能异面，‎ 但是与不能平行，‎ 若，则，与已知矛盾，‎ 选项、、不正确 故选．‎ ‎4.设m, n是两条不同的直线,是三个不同的平面, 给出下列四个命题:‎ ‎①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;； ②若α∥β, β∥r, m⊥α,则m⊥r;‎ ‎③若m∥α,n∥α,则m∥n;； ④若α⊥r, β⊥r,则α∥β．‎ 其中正确命题的序号是 （ ）‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 对于①，因为，所以经过作平面，使，可得，‎ 又因为，，所以，结合得．由此可得①是真命题；‎ 对于②，因为且，所以，‎ 结合，可得，故②是真命题；‎ 对于③，设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，‎ 而平面是正方体下底面所在的平面，‎ 则有且成立，但不能推出，故③不正确；‎ 对于④，设平面、、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，‎ 则有且，但是，推不出，故④不正确．‎ 综上所述，其中正确命题的序号是①和②，‎ 故选．‎ ‎5.已知圆与直线切于点，则直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用点与圆心连线的直线与所求直线垂直，求出斜率，即可求过点与圆C相切的直线方程；‎ ‎【详解】圆可化为： ，显然过点的直线不与圆相切，则点与圆心连线的直线斜率为 ，则所求直线斜率为 ，代入点斜式可得 ，整理得．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎6.三棱锥的高为，若三条侧棱两两垂直，则为的（ ）‎ A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画三棱锥的直观图，三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，根据面，而 面，推出，同理可推出，得到为的垂心．‎ ‎【详解】如图所示，三条侧棱两两互相垂直，可看成正方体的一角，则面，‎ 而平面而面，面 ‎，又，‎ 面，而面，‎ ‎，同理可得，‎ 故为的垂心。‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质，以及棱锥的结构特征，求解时注意联想到补形法，考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．‎ ‎7.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 圆的圆心，半径，∵直线和圆相交，为等边三角形，∴圆心到直线的距离为，即，平方得，解得，故选D.‎ ‎8.如图所示，在正方形中，分别是中点，现在沿把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为 ‎.给出下列关系：‎ ‎①平面；②平面；③；④上平面.其中关系成立的有（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由线面垂直的判定定理得到平面，排除C、D，再假设平面，根据题意推出矛盾，排除A，即可得出结果.‎ ‎【详解】由，得平面，排除C，D；‎ 若平面，则，这与矛盾，排除A，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直，熟记判定定理与性质定理即可，属于常考题型.‎ ‎9.设点M(m，1)，若在圆O:x2＋y2＝1上存在点N，使∠OMN＝30°，则m的取值范围是( )‎ A. [－，] B. [－，] C. [－2，2] D. [－，]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与圆位置关系，取临界处的关系研究极值情况，即可求得m的最值，进而求得m的取值范围．‎ ‎【详解】当MN与圆O相切时，为M的临界位置 若M在第一象限，则 ‎ 所以 ‎ 所M在第四象限，则 所以m的取值范围为 ‎ 所以选A ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及应用，注意用极限方法分析特殊位置，属于中档题．‎ ‎10.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.‎ ‎【详解】设为正方形的中心，为中点，过作的平行线，交于，过作垂直于，连接、、，则垂直于底面，垂直于， ‎ 因此 从而 因为，所以即，选D.‎ ‎【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.‎ 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 ‎11.已知过点和的直线与直线平行，则的值为________.‎ ‎【答案】-8‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 直线AB与直线平行，即斜率相等，由斜率公式即可得到m的值.‎ ‎【详解】∵直线2x+y-1＝0的斜率等于﹣2，‎ ‎∴过点和的直线的斜率也是﹣2，‎ 由斜率公式得，解得m＝﹣8，‎ 故答案为-8．‎ ‎【点睛】本题考查两条直线平行的条件，考查斜率公式，属基础题.‎ ‎12.直线，不管怎样变化该直线恒过定点，则的坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程变形等价转化为，联立，求解得答案．‎ ‎【详解】由，‎ 所以，即．‎ 联立，解得．‎ 的坐标为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线系过定点问题，属于基础题．‎ ‎13.某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积_________ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三视图还原几何体的直观图，再利用几何体的体积公式进行计算，求得结果．‎ ‎【详解】根据几何体的三视图可得几何体的直观图，有一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示：‎ 所以几何体的体积为．‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】本题考查三视图和几何体直观图之间的转换、几何体的体积公式的应用，还原几何体的直观图主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎14.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为______________cm2.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用球的直径等于四棱柱的对角线，求出棱柱的高，从而可得结果.‎ ‎【详解】设正四棱柱的高为，‎ 因为球的直径等于四棱柱的对角线，‎ 所以，‎ 所以该棱柱的表面积为，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查棱柱与球的内接问题，考查了柱体的表面积以及空间想象能力，属于基础题.‎ ‎15.如图所示，在平面内，，斜边AB在二面角的棱l上，且AC与平面所成角为，BC与平面所成角为，则二面角的平面角大小为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点作，交于，连结，，作，交于点，连结，则是二面角的平面角，由此能求出二面角的平面角大小．‎ ‎【详解】过点作，交于，连结，，作，交于点，连结，‎ 则是二面角的平面角，‎ 在平面内，，斜边在二面角的棱上，‎ 与平面所成角为，与平面所成角为，‎ ‎，，‎ 设，则，，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 二面角的平面角大小为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．‎ ‎16.如图，在中，，，M为AB的中点，将沿着CM 翻折至，使得，则的取值可能为_________（填上正确的所有序号）.①；②；③；④.‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设在平面上的射影为，则由题意知，点在直线的垂线上，要使，则，因此只需考虑其临界情况，然后求出的取值范围，进一步确定其可能的取值．‎ ‎【详解】如图，设在平面上的射影为，‎ 则由题意知，点在直线的垂线上，‎ 要使，则，因此只需考虑其临界情况，‎ 即当时，点与点关于直线对称，‎ ‎，‎ 又，是以为底角的等腰三角形，‎ ‎，．‎ 因此当时，有，‎ 的取值可能为，，．‎ 故答案为：②③④．‎ ‎【点睛】本题考查空间中点，直线，面位置关系的判定，考查空间想象能力和运算求解能力，同时考查极限思想的应用，属于难题．‎ 三、解答题：4小题，共36分 ‎17.若一个球与一个圆柱的各面均相切，并设球的体积与圆柱的体积的比值为a，球的表面积与圆柱的表面积的比值为b，探求a与b的大小关系．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用球的体积和表面积公式的应用，圆柱的体积和表面积公式的应用求出结果．‎ ‎【详解】设球的半径为，根据一个球与一个圆柱的各面均相切，所以圆柱的高为，圆柱的底面半径为．‎ 则，，‎ 所以．‎ ‎，，‎ 所以，‎ 则．‎ ‎【点睛】本题考查球的体积和表面积公式的应用，圆柱的体积和表面积公式的应用，考查运算求解能力和转化能力，属于基础题．‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，E，F分别是AD，PB的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面PCD；‎ ‎（3）求证：平面平面PCD．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出，从而平面，由此能证明．‎ ‎（2）取中点，连结，，推导出，，从而平面平面，由此能证明平面．‎ ‎（3）推导出，从而平面，进而平面，由此能证明平面平面．‎ ‎【详解】（1），是的中点，，‎ 平面平面，平面平面，‎ 平面，‎ 平面，．‎ ‎（2）取中点，连结，，‎ ‎，分别是，的中点，‎ ‎，，‎ ‎，平面平面，‎ 平面，平面．‎ ‎（3）底面为矩形，，‎ 由（1）得，又，平面，‎ 平面，，‎ ‎，，平面，‎ 平面，平面平面．‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19.如图，已知直三棱柱，，E是棱上动点，F是AB中点，‎ ‎，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）当是棱中点时，求与平面所成的角；‎ ‎（3）当时，求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）推导出，，由此能证明平面．‎ ‎（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成的角．‎ ‎（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．‎ ‎【详解】（1）直三棱柱，，‎ 是中点，，，‎ ‎，平面．‎ ‎（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 设与平面所成的角为，‎ 则，，‎ 与平面所成的角为．‎ ‎（3）解：当时，，，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量，，，‎ 则，取，则，，，‎ 平面的法向量，‎ 设二面角的大小为，‎ 则，．‎ 二面角的大小为．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角、二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20.已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上．‎ ‎（1）求公共弦的长度；‎ ‎（2）求圆的方程；‎ ‎（3）过点分别作直线，，交圆于，，，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）最大值17，最小值12．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可；‎ ‎（2）圆的圆心在直线上，设圆心，求出圆心的半径即可得到圆的方程；‎ ‎（3）对直线，分两种情况讨论，即当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时和当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，写出四边形面积的的表达式，再利用函数知识求最大值与最小值．‎ ‎【详解】圆，所以圆的圆心坐标，半径，‎ ‎（1）圆心到直线的距离，‎ 公共弦；‎ ‎（2）圆的圆心在直线上，设圆心，由题意得，，即，到的距离，所以的半径，‎ 所以圆的方程：；‎ ‎（3）当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，，‎ 所以，四边形的面积；‎ 当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，‎ 设直线为：，‎ 则直线为：，‎ 所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，，，‎ 设，‎ 当或1时，正好是轴及垂直轴，‎ 面积，‎ 当时，最大且，或1时，最小，‎ 四边形面积的最大值17，最小值．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆相交求相交弦长，及利用勾股定理弦长距离半径之间的关系求解，属于中难度题．‎ ‎ ‎