2019届二轮复习等差数列和等比数列学案(全国通用)

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2019届二轮复习等差数列和等比数列学案(全国通用)

考情速递:‎ ‎1 (2018年新课标Ⅰ理)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )‎ A.-12 B.-10 C.10 D.12‎ ‎【答案】:B ‎【解析】设{an}的公差为d,由3S3=S2+S4,得3=2a1+d+4a1+d.将a1=2代入,解得d=-3.∴a5=2+4×(-3)=-10.‎ ‎2. (2018年北京)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献,十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(  )‎ A.f B.f C.f D.f ‎【答案】:D ‎【解析】从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为f·()8-1=f.故选D.‎ ‎3. (2018年北京)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为   .‎ ‎【答案】:an=6n-3 ‎ ‎4.(2018年江苏)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N },B={x|x=2n,n∈N }.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an},记Sn为数列{an}的前n项和,则使得Sn>12an+1成立的n的最小值为   .‎ ‎【答案】:27 ‎ ‎【解析】利用列举法可得S26=+=441+62=503,a27=43,⇒12a27=516,不符合题意.S27=+=546,28=45⇒1228=540,符合题意.故答案为27.‎ 例1(1).(2018年新课标Ⅰ理)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6= .‎ ‎【答案】-63‎ ‎【解析】由Sn=2an+1,可得a1=-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴an=2an-1.∴{an}是以-1为首项,以2为公比的等比数列,∴S6==-63.‎ 变式训练题 ‎(2018•青岛一模)公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=3a4,且S9=λa4,则λ的值为(  )‎ A.18 B.20 C.21 D.25‎ ‎【答案】:A ‎【解析】:设公差为d,由a6=3a4,且S10=λa4,‎ 得,解得λ=18,故选:A.‎ 例(1)(2018年浙江)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,则(  )‎ A.a1<a3,a2<a4 B.a1>a3,a2<a4 ‎ C.a1<a3,a2>a4 D.a1>a3,a2>a4‎ ‎【答案】B ‎(2)(2018•兴安盟一模)等差数列{an}中,an>0,a12+a72+2a1a7=4,则它的前7项的和等于(  )‎ A. B.5 C. D.7‎ ‎【答案】D ‎【解析】:∵等差数列{an}中,an>0,a12+a72+2a1a7=4,‎ ‎∴(a1+a7)2=4,‎ ‎∴a1+a7=2,‎ ‎∴S7=(a1+a7)==7.‎ 故选:D.‎ ‎(3)(2018•衡阳二模)在等差数列{an}中,﹣1<<0,若它的前n项和Sn有最大值,则当Sn>0时,n的最大值为(  )‎ A.11 B.12 C.13 D.14‎ ‎【答案】:B ‎【解析】∵数列{an}是等差数列,它的前n项和Sn有最大值,‎ ‎∴公差d<0,首项a1>0,{an}为递减数列,∵﹣1<<0,‎ ‎∴a6•a7<0,a6+a7>0,由等差数列的性质知:2a6=a1+a11>0,a7<0.‎ a6+a7=a1+a12>0,∵Sn=,∴Sn>0时,n的最大值为12.故选:B.‎ 例3(2018年新课标Ⅰ文)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.‎ ‎(1)求b1,b2,b3;‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;‎ ‎(3)求{an}的通项公式.‎ ‎【分析】(1)直接利用已知条件求出数列的各项.‎ ‎(2)利用定义说明数列为等比数列.‎ ‎(3)利用(1)(2)的结论,直接求出数列的通项公式.‎ ‎(2)由nan+1=2(n+1)an,得=2,即=2.‎ 又b1=1,∴{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列.‎ ‎(3)由(2)得bn=2n-1,∴an=nbn=n·2n-1.‎ ‎1(2018•银川模拟)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a3=(  )‎ A.﹣10 B.﹣6 C.﹣8 D.﹣4‎ ‎【答案】D ‎【解析】:∵等差数列{an}的公差为2,且a1,a3,a4成等比数列,‎ ‎∴a32=a1a4,∴a32=(a3﹣4)(a3+2),‎ 解得a3=﹣4故选:D.‎ ‎3(2018•凯里市校级三模)已知数列{an}满足,且a1=2.‎ ‎(Ⅰ)证明:数列是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)设数列,求数列{cn}的前n项和Sn.‎ 解:(Ⅱ)由( I)得+1=1+(n﹣1)×1=n,‎ ‎∴an=n×2n.‎ ‎∴=2n﹣n,‎ ‎∴数列{cn}的前n项和Sn=(21﹣1)+(22﹣2)+(22﹣2)+…+(2n﹣n)‎ ‎=(2+22+23+…+2n)﹣(1+2+3+…+n)=﹣=2n+1﹣﹣2.‎ 故数列{cn}的前n项和Sn=2n+1﹣﹣2.‎ 必刷题:‎ 一.选择题(共9小题)‎ ‎1.(2018•保定二模)已知正项等比数列{an}满足a3=1,a5=,则a1的值为(  )‎ A.4 B.2 C. D.‎ ‎【答案】:B ‎【解析】∵正项等比数列{an}满足a3=1,a5=,‎ ‎∴,‎ 解得,‎ ‎∴a1的值为2.‎ 故选:B.‎ ‎2.(2018•信阳二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=,且a2+a4=,则等于(  )‎ A.4n﹣1 B.4n﹣1 C.2n﹣1 D.2n﹣1‎ ‎【答案】:D ‎3.(2018•玉溪模拟)已知等比数列{an}公比为q,其前n项和为Sn,若S3、S9、S6成等差数列,则q3等于(  )‎ A.﹣ B.1 C.﹣或1 D.﹣1或 ‎【答案】A ‎【解析】:若S3、S9、S6成等差数列,‎ 则S3+S6=2S9,‎ 若公比q=1,‎ 则S3=3a1,S9=9a1,S6=6a1,‎ 即3a1+6a1=18a1,则方程不成立,‎ 即q≠1,‎ 则=,‎ 即1﹣q3+1﹣q6=2﹣2q9,‎ 即q3+q6=2q9,‎ 即1+q3=2q6,‎ 即2(q3)2﹣q3﹣1=0,‎ 解得q3=,‎ 故选:A. ‎ ‎4.(2018•长春二模)已知等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,若a2=2,a5+a6=6a4,则a5=(  )‎ A.4 B.10 C.16 D.32‎ ‎【答案】:C ‎5.(2018•大连模拟)已知等比数列{an}的前n项的和为Sn(n∈N),且S1,S2,S3,成等差数列,则数列{an}的公比q为(  )‎ A.1 B.﹣1 C.1 或﹣1 D.2‎ ‎【答案】:C ‎【解析】等比数列{an}的公比为q,‎ S1,S2,S3成等差数列,‎ 可得2S2=S1+S3,‎ 即有2(a1q+a1)=a1+a1+a1q+a1q2,‎ 化为q2=q,解得q=1,‎ 故选:A.‎ ‎6.(2018•永州三模)已知数列{an}满足an+1=2an,a1+a4=2,则a5+a8=(  )‎ A.8 B.16 C.32 D.64‎ ‎【答案】:C ‎ ‎ ‎7.(2018•马鞍山二模)已知等比数列{an}满足a1=1,a3•a5=4(a4﹣1),则a7的值为(  )‎ A.2 B.4 C. D.6‎ ‎【答案】:B ‎【解析】∵等比数列{an}满足a1=1,a3•a5=4(a4﹣1),‎ ‎∴q2•q4=4(q3﹣1),‎ ‎∴q6﹣4q3+4=0,‎ 解得q3=2,‎ ‎∴a7==1×22=4.‎ 故选:B.‎ ‎8.(2018•资阳模拟)等比数列{an}的公比不为1,若a4,a3,a5成等差数列,则=(  )‎ A.﹣4 B.﹣2 C.﹣ D.﹣‎ ‎【答案】:B ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q,且q≠1,‎ ‎∵a4,a3,a5成等差数列,‎ ‎∴2a3=a4+a5,‎ ‎∴2a3=a3•q+a3•q2,‎ 即q2+q﹣2=0,‎ 解得q=﹣2,‎ ‎∴==q=﹣2,‎ 故选:B.‎ ‎9.(2018•钦州三模)已知数列{an}是等比数列,若a2=1,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N )的最小值为(  )‎ A. B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】:C 二.填空题(共21小题)‎ ‎10.(2018春•浦东新区期末)等差数列{an}中,a1=﹣1,a3=3,an=9,则n= 6 .‎ ‎【答案】:6‎ ‎【解析】等差数列{an}中,a1=﹣1,a3=3,‎ ‎∴a3=﹣1+2d=3,‎ ‎∴d=2,‎ ‎∵an=9=﹣1+(n﹣1)×2,‎ 解得n=6,‎ 故答案为6.‎ ‎ ‎ ‎11.(2018春•常州期中)等差数列{an}满足2a2+a5=3,a8+a9+a10=21,则S11= 44 (Sn为数列{an}前n项和)‎ ‎【答案】:44‎ ‎【解析】在等差数列{an}中,由2a2+a5=3,a8+a9+a10=21,‎ 得,解得.‎ ‎∴S11=11×(﹣1)+=44.‎ 故答案为:44.‎ ‎12.(2018春•南通期中)已知等差数列{an}中,a1=﹣2,公差d=3,则a10的值为 25 .‎ ‎【答案】:25‎ ‎13.(2018•渝水区校级模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,在数列{bn}中,bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n,且b1=6,b2=9,则的最小值为 8 .‎ ‎【答案】:8‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d,‎ ‎∵bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n,‎ ‎∴b1=a1+a2+a3=6,b2=a4+a5+a6=9,‎ ‎∴b2﹣b1=3d+3d+3d=9﹣6,‎ 解得d=,‎ ‎∴a1+a1++a1+=6,‎ 解得a1=,‎ ‎∴Sn=na1+d=n+n(n﹣1)=,‎ ‎∴bn=a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=+(3n﹣2﹣1)×++(3n﹣1﹣1)×++(3n﹣1)×=3n+3=3(n+1),‎ ‎∴====(n++10)‎ ‎≥(10+2)=8,当且仅当n=3时取等号,‎ 故答案为:8‎ ‎14.(2018•新疆一模)等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列的{bn}的前n项和为Tn,且a1=b1=1,a4=b4=﹣8,则= ﹣ .‎ ‎【答案】-‎ 三.解答题 ‎15.(2018•黑龙江模拟)数列{an}满足an=6﹣(n∈N ,n≥2).‎ ‎(1)求证:数列是等差数列;‎ ‎(2)若a1=6,求数列{lgan}的前999项的和.‎ ‎【分析】(1)数列{an}满足,an=6﹣(n∈N ,n≥2).作差﹣,代入化简即可证明.‎ ‎(2)a1=6,可得=.由(1)利用等差数列的通项公式即可得出an=,取对数可得lgan=lg3+lg(n+1)﹣lgn.利用累加求和即可得出.‎ ‎【解析】(1)证明:数列{an}满足,an=6﹣(n∈N ,n≥2).‎ ‎∴﹣=﹣==,‎ ‎∴数列是等差数列,‎ ‎(2)解:∵a1=6,∴=.‎ 由(1)知:=+=,‎ ‎∴an=,‎ ‎∴lgan=lg3+lg(n+1)﹣lgn.‎ ‎∴数列{lgan}的前999项和S=999lg3+(lg2﹣lg1+lg3﹣lg2+…+lg1000﹣lg999)=999lg3+lg1000﹣3=999lg3.‎ ‎16.(2018•烟台模拟)已知{an}为等差数列,且a3=﹣6,a6=0.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)若等比数列{bn}满足b1=﹣8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.‎ ‎【分析】(1)由已知利用等差数列的通项公式求得公差,进一步求得{an}的通项公式;‎ ‎(2)由(1)求得b2,进一步求得公比,代入等比数列的前n项和公式得答案.‎ ‎17.(2018•房山区二模)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7.问:b5与数列{an}的第几项相等?‎ ‎【分析】(Ⅰ)设公差为d的等差数列{an},运用等差数列的通项公式,解方程可得首项和公差,即可得到所求;‎ ‎(Ⅱ)设公比为q的等比数列{bn},运用等比数列的通项公式可得公比和首项,即可得到所求b5,结合等差数列的通项公式,解方程即可得到所求值.‎ ‎【解析】:(Ⅰ)设公差为d的等差数列{an}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2,‎ 可得2a1+d=10,d=2,‎ 解得a1=4,‎ 则an=4+2(n﹣1)=2n+2;‎ ‎(Ⅱ)设公比为q的等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,‎ 可得b2=8,b3=16,‎ 则公比q==2,b1=4,‎ 则bn=4•2n﹣1=2n+1,‎ 由2n+2=b5=26,‎ 解得n=31,‎ 则b5与数列{an}的第31项相等.‎ ‎18.(2018•蚌埠二模)已知等差数列{an}满足a2=2,a1+a4=5.‎ ‎(I)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(II)若数列{bn}满足:b1=3,b2=6,{bn﹣an}为等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题意可得,解得a1=d=1,即可求出通项公式,‎ ‎(Ⅱ)b1=3,b2=6,{bn﹣an}为等比数列,求出bn=n+2n,再分组求和即可.‎ ‎∴bn﹣an=2×2n﹣1=2n,‎ ‎∴bn=n+2n,‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=(1+2+3+…+n)+(2+22+… 2n)‎ ‎=+=+2n+1﹣2.‎ ‎19.(2018•凌源市模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=,且a1﹣1,2a2,a3+7成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=2log9an(n∈N ),求数列的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(1)根据an=Sn﹣Sn﹣1可得出{an}的递推公式,于是{an}为等比数列,根据a1﹣1,2a2,a3+‎ ‎7成等差数列解方程计算a1即可得出an;‎ ‎(2)计算bn=,使用裂项法求和.‎ ‎(2)bn=2log93n=n,∴,‎ ‎∴.‎ ‎20.(2018•潍坊二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an>0(n∈N ),S6+a6是S4+a4,S5+a5的等差中项.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设,数列的前n项和为Tn,求Tn.‎ ‎【分析】(1)根据S6+a6是S4+a4,S5+a5的等差中项建立关系,a1=2,即可求解数列{an}的通项公式 ‎(2)设,将{an}的通项公式带入化简可得{bn}的通项公式,利用裂项相消法前n项和为Tn,‎ ‎【解析】:(1)∵S6+a6是S4+a4,S5+a5的等差中项.‎ ‎∴2(S4+a4)=S4+a4+S5+a5‎ 化简得4a6=a4‎ ‎∵a1=2,{an}是等比数列,设公比为q,‎ 则.‎ ‎∵an>0(n∈N ),∴q>0‎ ‎∴q=‎ ‎∴数列{an}的通项公式an==;‎ ‎ ‎ ‎21.(2018•四平模拟)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若bn=anlogan,Sn=b1+b2+b3+…+bn,对任意正整数n,Sn+(n+m)an+1<0恒成立,试求m的取值范围.‎ ‎【分析】(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,根据2(a3+2)=a2+a4,可求得a3.进而求得a2+a4=20.两式联立方程即可求得a1和q的值,最后根据等比数列的通项公式求得an.‎ ‎(2)把(1)中的an代入bn,再利用错位相减法求得Sn,再由Sn+(n+m)an+1<0恒成立进而求得m的范围.‎ ‎【解析】:(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.‎ 依题意,‎ 有2(a3+2)=a2+a4,‎ 代入a2+a3+a4=28,‎ 得a3=8.‎ ‎∴a2+a4=20.‎ ‎∴‎ 解之得,或 又{an}单调递增,‎ ‎∴q=2,a1=2,∴an=2n,‎ 由Sn+(n+m)an+1<0,‎ 即2n+1﹣2﹣n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1<0对任意正整数n恒成立,‎ ‎∴m•2n+1<2﹣2n+1.‎ 对任意正整数n,‎ m<﹣1恒成立.‎ ‎∵﹣1>﹣1,∴m≤﹣1.‎ 即m的取值范围是(﹣∞,﹣1].‎ ‎22(2018•东莞市二模)已知等比数列{an}与等差数列{bn},a1=b1=1,a1≠a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设Sn,Tn分别是数列{an},{bn},的前n项和,若Sn+Tn>100,求n的最小值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,d≠0,运用等比数列和等差数列中项的性质,可得d,q的方程组,解方程即可得到所求通项;‎ ‎(Ⅱ)运用等比数列和等差数列的求和公式,结合数列的单调性,即可得到所求n的最小值.‎ ‎【解析】:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,d≠0,‎ a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列,‎ 可得a1+b3=2a2,a22=b1b4,‎ 则解得(舍)或,‎ ‎∴.‎
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