高考数学专题复习教案: 空间点、直线、平面之间的位置关系备考策略

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高考数学专题复习教案: 空间点、直线、平面之间的位置关系备考策略

空间点、直线、平面之间的位置关系备考策略 主标题:空间点、直线、平面之间的位置关系备考策略 副标题:通过考点分析高考命题方向,把握高考规律,为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词:点,直线,平面,备考策略 难度:2‎ 重要程度:4‎ 内容 考点一 平面的基本性质及其应用 ‎【例1】 (1)以下四个命题中,正确命题的个数是(  ).‎ ‎①不共面的四点中,其中任意三点不共线;‎ ‎②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;‎ ‎③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;‎ ‎④依次首尾相接的四条线段必共面.‎ ‎                  ‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体的过P,Q,R的截面图形是(  ).‎ A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 解析 (1)①正确,可以用反证法证明;②从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,但是若A,B,C共线,则结论不正确;③不正确,共面不具有传递性;④不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上.‎ ‎(2)如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE,则PE,RE为截面的部分外形.‎ 同理连PQ并延长交CD于N,连接NG交DD1于F,连接QF,FG.‎ ‎∴截面为六边形PQFGRE.‎ 答案 (1)B (2)D ‎【备考策略】(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据;公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据;公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理.‎ ‎(2)画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两个公共点即可确定,作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快地确定交线的位置.‎ 考点二 空间两条直线的位置关系 ‎【例2】 如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,‎ ‎①GH与EF平行;‎ ‎②BD与MN为异面直线;‎ ‎③GH与MN成60°角;‎ ‎④DE与MN垂直.‎ 以上四个命题中,正确命题的序号是________.‎ 解析 把正四面体的平面展开图还原.如图所示,GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE⊥MN.‎ 答案 ②③④‎ ‎【备考策略】 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.‎ 考点三 异面直线所成的角 ‎【例3】 在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.‎ ‎(1)求四棱锥的体积;‎ ‎(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.‎ 审题路线 (1)找出PB与平面ABCD所成角⇒计算出PO的长⇒求出四棱锥的体积.‎ ‎(2)取AB的中点F⇒作△PAB的中位线⇒找到异面直线DE与PA所成的角⇒计算其余弦值.‎ 解 (1)在四棱锥P-ABCD中,‎ ‎∵PO⊥面ABCD,‎ ‎∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角,即∠PBO=60°,‎ ‎∵BO=AB·sin 30°=1,‎ ‎∵PO⊥OB,∴PO=BO·tan 60°=,‎ ‎∵底面菱形的面积S=2××22=2.‎ ‎∴四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=×2×=2.‎ ‎(2)取AB的中点F,连接EF,DF,‎ ‎∵E为PB中点,∴EF∥PA,‎ ‎∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角).‎ 在Rt△AOB中,AO=AB·cos 30°==OP,∴在Rt△POA中,PA=,‎ ‎∴EF=.‎ 在正△ABD和正△PDB中,DF=DE=,‎ 在△DEF中,由余弦定理,‎ 得cos∠DEF= ‎===.‎ 即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.‎ ‎【备考策略】(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决,具体步骤如下:‎ ‎①平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;‎ ‎②认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;‎ ‎③计算:求该角的值,常利用解三角形;‎ ‎④取舍:由异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.‎ ‎(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.‎
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