【数学】2019届一轮复习苏教版基本初等函数学案

【数学】2019届一轮复习苏教版基本初等函数学案

专题1：基本初等函数 问题归类篇 类型一：分段函数 一、前测回顾 ‎1．已知函数f(x)＝，①若f(x)≥2，则x的取值范围为 ．②f(x)在区间[－1，3]的值域为 ．‎ 答案：①[－，＋∞)；②[2，4]． ‎ ‎2．设函数f(x)＝，若f(f(b))＝－2，求实数b的值．‎ 答案：b＝或－2．‎ 二、方法联想 方法1：分类讨论，按分段区间进行分类讨论，最后汇总(求并集)；‎ 方法2：图象法，画出分段函数的图象，根据图象探讨不等式解集及值域问题．‎ 三、归类巩固 ‎*1．已知f(x)＝，则f[f(－1)]＝ ．‎ 答案：0．(考查分段函数求值问题) ‎ ‎*2．设函数f(x)＝，则f(－2)＋f(log212)＝ ．‎ 答案：9‎ ‎**3．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．‎ 答案：[0，＋∞)‎ ‎**4．已知函数f(x)＝，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是 ．‎ 答案：[－2，0]‎ ‎***5．已知函数f(x)＝，若关于的方程f(x)－bf(x)＋c＝0(b，c∈R)有8个不同的实数根，则b＋c的取值范围是 ．‎ ‎ 答案：(0，3)‎ ‎***6已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝，则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．‎ ‎ 答案：4‎ 类型二：求函数的解析式 一、前测回顾 ‎1．已知f[f(x)]＝9＋4x，且f(x)是一次函数，则f(x)＝ ．若f(x2＋1)＝x2，则f(x)＝ ．‎ 答案：①2x＋3或－2x－9；②．x－1(x≥1)‎ ‎2．已知函数满足2f(x)＋f()＝x，则f(2)＝ ；f(x)＝ ．‎ 答案：，x－ 二、方法联想 方法1：待定系数法；‎ 方法2：换元法、拼凑法；‎ 方法3：函数方程法．‎ 三、归类巩固 ‎*1．已知f(x)＝x2＋3x＋2，则f(x＋1)＝________．‎ 答案：x2＋5x＋6．‎ ‎*2．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________．‎ 答案：2x＋7‎ ‎*3．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)的表达式为______‎ 答案：x2＋x．‎ ‎**4．已知f＝lgx，则f(x)＝_________．‎ 答案：lg．‎ ‎**5．若2f(x)－f(－x)＝x，则f(x)＝ ． ‎ 答案：则f(x)＝．‎ ‎***6．若f(x－)＝x2＋－3x＋，则f(x)＝ ．‎ 答案：x2＋－3x＋4 ．‎ 类型三：二次函数 一、前测回顾 ‎1．若二次不等式f(x)＜0的解集为(1，2)，且函数y＝f(x)的图象过点(－1，2)，则f(x)＝ ．‎ 答案：x2－x＋；．‎ ‎2．已知f(x)＝－x2＋2x－2，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，则h(t)＝ ．已知函数满足2f(x)＋f()＝x，则f(2)＝ ；f(x)＝ ．‎ 答案： 二、方法联想 二次函数的解析式一般设为三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；‎ ‎(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；‎ ‎(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．‎ 二次函数在给定区间内的值域与最值问题:‎ ‎ 方法: 结合图象，分区间讨论．‎ 步骤: ①配方求对称轴（也可以用公式），画出草图(关注：对称轴，开口方向及给定区间)；‎ ‎②结合图象，由函数的单调性，求出最值．若对称轴在给定区间内，则考虑顶点及端点的函数值，若对称轴不在给定区间内，则最值为端点的函数值．‎ 三、归类巩固 ‎*1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象的顶点为(－1，10)，且方程ax2＋bx＋c＝0的两根的平方和为12，‎ 则f(x)的解析式是____________．‎ 答案：f(x)＝－2x2－4x＋8． ‎ ‎*2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]．若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．‎ 答案：1．‎ ‎**3．若定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x)＝4(x－1)被f(x)的图像截得的线段长为4，则函数f(x)的解析式为__________．‎ 解析：设f(x)＝a(x－1)2(a＞0)．‎ 由得ax2－(4＋‎2a)x＋a＋4＝0．‎ 由韦达定理，得x1＋x2＝，x1·x2＝．‎ 由弦长公式，得 ‎4＝ ．‎ ‎∴a＝1．∴f(x)＝(x－1)2． ‎ 答案：f(x)＝(x－1)2．‎ ‎**4．已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．‎ 答案：(－2，1) ．‎ ‎**5．方程mx2－(m－1) x＋1＝0在区间(0，1)内有两个不同的实数根，则m的取值范围为__________．‎ 解析：令f(x)＝mx2－(m－1)x＋1，‎ 则f(x)的图像恒过定点(0，1)，由题意可得解得m＞3＋2．‎ 答案：m＞3＋2．‎ ‎***6．函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上的最小值记为g(a)，求g(a)的函数表达式为___________．‎ 答案：g(a)＝．‎ 类型四：指数函数与对数函数 一、前测回顾 ‎1．已知2≤()，则函数y＝()的值域为 ．‎ 答案：[，81] ．‎ ‎2．设loga＜2，则实数a的取值范围为 ．‎ 答案：(0，)∪(1，＋∞) ．‎ ‎3．已知函数y＝log(x2－2x＋2)，则它的值域为 ．‎ 答案：(－∞，0]．‎ 二、方法联想 ‎（1）指(对)数方程与不等式问题：‎ 方法1：转化为同底的指(对)数，利用指(对)数函数的单调性化简方程或不等式，与对数有关问题要注意定义域及转化过程中的等价性．‎ 方法2：利用换元法，转化为代数方程或不等式．‎ 变式：解不等式lg2x－lgx2－3≥0．‎ ‎ (答案：0＜x≤或x≥1000，考查利用换元法解指(对)不等式)．‎ ‎（2）与指(对)数函数有关的值域问题，‎ 方法1：复合函数法，转化为利用指(对)数函数的单调性；‎ 方法2：换元法，转化为基本初等函数的复合函数来求．‎ ‎（3）指数首先要注意值域，对数首先要注意定义域，其次这两个函数都要考虑单调性．‎ 三、归类巩固 ‎*1．若点(a，9)在函数y＝3x的图像上，则tan的值为_______．‎ 答案：．‎ ‎*2．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为__________．‎ 答案：m＜n．‎ ‎**3．函数y＝ax－2－1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点__________．‎ 答案：(2，0) ．‎ ‎**4．解不等式lg2x－lgx2－3≥0的解集是_________．‎ 答案：0＜x≤或x≥1000．‎ ‎**5．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为__________．‎ 解析：由题可知函数f(x)＝ax＋logax在[1，2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故a＝2．‎ 答案：a＝2． ‎ ‎***6．已知函数f(x)＝log2(a－2x)＋x－2，若f(x)＝0有解，则实数a的取值范围是____________．‎ 解析：方法一：f(x)＝log2(a－2x)＋x－2＝0，得a－2x＝22－x，即a－2x＝，令t＝2x(t＞0)，则t2－at＋4＝0在t∈(0，＋∞)上有解，令g(t)＝t2－at＋4，g(0)＝4＞0，故满足得a≥4．‎ 方法二：f(x)＝log2(a－2x)＋x－2＝0，得a－2x＝22－x，a＝2x＋≥4． ‎ 答案：a≥4．‎ 类型五：函数的零点问题 一、前测回顾 ‎1．函数f(x)＝lgx－sinx零点的个数为 ． ‎ 答案：3 ．‎ ‎2．函数f(x)＝2x＋x－4零点所在区间为(k，k＋1 )，k∈N，则k＝ ． ‎ 答案：1． ‎ 二、方法联想 零点存在定理：连续函数y＝f(x)在区间(a，b)上有f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上至少存在一个零点．反之不一定成立．‎ 零点存在问题：①能解出x＝x0；②x0∈A（定义域）；方法2：分离参数，转化为求值域（要分清谁是参数，谁是自变量）；方法3：数形结合法．‎ 零点个数问题：方法1：数型结合；方法2：①解出x＝xi(＝1，2，…，n)，②根据问题中零点有k个，则选择k个x∈A（定义域），n－k个xA．‎ 三、归类巩固 ‎*1．若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是 ．‎ 答案：0和－ ． ‎ ‎*2．函数函数f(x)＝log2(x+2)－x有____________个零点． ‎ 答案：2． ‎ ‎**3．已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是 ．‎ 答案：m≤0或m＞1．‎ ‎**4．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g (x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是__________．‎ 解析：由于f(－1)＝－1＝－＜0，f(0)＝1＞0，‎ 故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1，0)．‎ 因为g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；‎ h＝－1＋＝－＜0，h(1)＝1＞0，‎ 故h(x)的零点c∈，因此a＜c＜b． ‎ 答案：a＜c＜b．‎ ‎**5．若函数x2－m x＋4(x＞0)存在零点，则实数的取值范围是__________．‎ 答案：[2，＋∞)．‎ ‎***6．已知函数f(x)＝ (k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k的取值范围是 ．‎ 答案：k≤－2．‎ 综合应用篇 一、例题分析 例1 已知函数f(x)＝loga(8－2x)(a＞0，且a≠1)．‎ ‎（1）当a＝2时，求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围；‎ ‎（2）当a＞1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值．‎ 答案：（1）实数x的取值范围为[2，3)．‎ ‎（2）函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值为loga49．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法：‎ ‎1．解指(对)数不等式问题：‎ 方法：①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解．‎ ‎ ②换元法：转化为整式不等式，指（对）数必须先注意值（定义）域．‎ ‎2．与指(对)数有关的函数值域：‎ 方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理．‎ ‎ ②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题．‎ ‎（2）方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化 为代数不等式，所以选择方法①．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方 便，所以选择方法①．‎ 指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围．‎ 本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x＞‎0”‎的定义域部分；二是第二问中函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域．‎ 例2已知函数f(x)＝a－．‎ ‎（1）求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；‎ ‎（2）若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若函数y＝f(x)在[m，n]上的值域是[m，n](m≠n)，求实数a的取值范围．‎ 解：（1）f(x)在(0，＋∞)上为增函数．‎ ‎（2）a的取值范围为(－∞，3]．‎ ‎（3）a的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．讨论函数的单调性问题：‎ 方法:①利用函数的图象；‎ ‎ ②复合函数的单调性；‎ ‎③利用函数单调性的定义．‎ ‎④利用导函数来求函数的单调区间．‎ ‎2．不等式恒成立问题：‎ ‎3．已知函数的值域，求参数的取值： ‎ ‎(2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题是证明函数的单调性，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，所以选择方法①．‎ 例3已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0．‎ ‎（1）若ab＞0，判断函数f(x)的单调性，并证明；‎ ‎（2）若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时x的取值范围．‎ 解：（1）当a＞0，b＞0时，函数f(x)在R上是增函数．‎ 当a＜0，b＜0时，函数f(x)在R上是减函数．‎ ‎（2）当a＜0，b＞0时，x的取值范围为(log1．5，＋∞)；‎ 当a＞0，b＜0时，x的取值范围为(－∞，log1．5)．‎ 解析：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R， x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝a（2x1－2x2）＋b（3x1－3x2）‎ ‎∵2x1＜2x2，a＞0Þ a（2x1－2x2）＜0，同理b（3x1－3x2）＜0‎ ‎∴f(x1)－f(x2)＜0∴函数f(x)在R上是增函数 同理，当a＜0，b＜0时，函数f(x)在R上是减函数．‎ ‎（2）f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0 当a＜0，b＞0时，（）x＞－，则x的取值范围为(log1．5，＋∞)；‎ 当a＞0，b＜0时，（）x＜－，x的取值范围为(－∞，log1.5)．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎(1)主要问题归类与方法：‎ ‎1．讨论函数的单调性问题：‎ 方法:①利用函数的图象；‎ ‎ ②复合函数的单调性；‎ ‎③利用函数单调性的定义；‎ ‎④利用导函数．‎ ‎2．与指(对)数有关的解不等式问题：‎ 方法：①利用函数的单调性，转化为代数不等式；‎ ‎ ②用换元法，依次解几个代数不等式．‎ ‎ (2)方法选择与优化建议：‎ 对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题不仅要求判断还需要证明结论，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．‎ 对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题函数的单调性比较明确，便于转化，所以选择方法①．‎ 本题的易错点是第二问中忽视字母a的符号对不等号的方向的影响．‎ 本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的，“ab＞0”和“ab＜0”的含义是字母a、b同号或异号，因此需要具体到a、b各自的符号．‎ 例4已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．‎ ‎（1）求a和b的值；‎ ‎（2）设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2，2]，求函数y＝h(x)的零点个数．‎ 解：（1）a＝0，b＝－3；‎ ‎（2）有9 个零点．‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎（1）主要问题归类与方法：‎ ‎1．求函数的解析式问题:‎ ‎ 方法：待定系数法，换元法，函数方程法 ‎2．讨论函数的零点个数问题：‎ 方法：解方程，图象法，零点的存在定理与单调性 ‎（2）方法选择与优化建议：‎ ‎ 对于第1小题，是常规问题，方法也非常清楚——待定系数法。‎ 第2小题函数零点的个数问题，用解方程求解或零点的存在定理的方法显然不行，因为本题应用图象法来讨论。‎ 用图象法的关键是转化为哪两个曲线的交点个数，且这两个曲线尽量满足: ①图像尽量为直线和曲线，②两个函数的图像都是曲线则必须保证图像都能够好画．‎ 本题可以有两种考虑:一是直接画函数的y＝f(f(x))和y＝c，尽管y＝f(f(x))是9次函数，其图像还是能够画出来的，二是将问题分解成和t＝f(x)，通过两个三次函数的图像来看解的个数问题．本题采用第二种想法，会简单些。‎ 二、反馈巩固 ‎*1．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝lgx，则f(f())的值等于 ．‎ 答案：lg2．‎ ‎(考查函数的奇偶性，对数运算)‎ ‎*2． 已知f(x)＝则不等式f(x2－x＋1)＜12的解集是________．‎ 答案：(－1，2)．‎ ‎(考查分段函数及利用函数的单调性解不等式)．‎ ‎*3． 函数y＝()x+1的值域为______________．‎ 答案：(0，]．‎ ‎(考查指数函数)‎ ‎*4． 函数f(x)＝lnx＋2x－1零点的个数为_______________．‎ 答案：1．‎ ‎(考查函数的图象，数形结合的思想方法)．‎ ‎**5．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．‎ 答案：－．‎ ‎(考查分段函数的问题，解方程，分类讨论的思想)．‎ ‎**6．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．‎ 答案：c＝9．‎ ‎(考查二次函数的值域，一元二次不等式的解集)．‎ ‎***7． 已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是_________．‎ 解析： 答案：[，)．‎ ‎（本题考查分段函数的单调性和一次函数与对数函数）‎ ‎***8． 已知函数f(x)＝若关于x的方程f (x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是 ；‎ 答案 (0，1)．‎ ‎(考查函数的零点)‎ ‎***9． 已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是 ；‎ 答案 ．‎ ‎(考查方程解的问题)‎ ‎***10． 已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，则x 的取值范围是________．‎ 答案：(－2，)．‎ ‎（考查函数的单调性，不等式恒成立）‎ ‎*11． 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解 (1)由f(0)＝1得，c＝1，‎ ‎∴f(x)＝ax2＋bx＋1．‎ 又f(x＋1)－f(x)＝2x ‎∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，‎ ‎∴∴．因此，f(x)＝x2－x＋1．‎ ‎(2)f(x)＞2x＋m等价于x2－x＋1＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可．‎ ‎∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，‎ ‎∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0得，m＜－1．‎ 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．‎ ‎(考查二次函数的解析式，不等式恒成立)‎ ‎*12．已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．当－1≤x≤≤1，f(x)＝x3．‎ ‎（1）求证：x＝1是函数y＝f(x)的一条对称轴；‎ ‎（2）当x∈[1，5]时，求f(x)的表达式．‎ 答案：（1）略；（2）f(x)的解析式为f(x)＝ ‎ (考查用定义证明函数的对称性，利用函数的奇偶性、周期性求函数的解析式)．‎ ‎**13．设函数f(x)＝其中b＞0，c∈R．当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2．‎ ‎（1）求函数f(x)的表达式；‎ ‎（2）若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求a的取值集合．‎ 答案：(1)f(x)＝(2)实数a取值的集合为．‎ ‎(考查求二次函数的解析式，方程解的个数问题，分类讨论及数形集合的思想方法)．‎ ‎**14．已知函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－．‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．‎ 解析：由题意，可知f′(x)＝3ax2－b．‎ ‎(1)于是解得 故所求的解析式为f(x)＝x3－4x＋4．‎ ‎(2)由(1)可知，f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．‎ 令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2．‎ 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：‎ x ‎(－∞，－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2，2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递增 单调递减 ‎－ 单调递增 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值；‎ 当x＝2时，f(x)有极小值－．‎ 所以函数的大致图像如图．‎ 故实数k的取值范围是－＜k＜．‎ ‎(考查待定系数求解析式，方程解的个数问题，分类讨论及数形集合的思想方法)．‎ ‎**15．已知f(x)＝3x，并且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[－1，1]．‎ ‎（1）求函数g(x)的解析式；‎ ‎（2）判断g(x)的单调性；‎ ‎（3）若方程g(x)－m＝0有解，求m的取值范围．‎ 答案：（1）g(x)＝2x－4x，x∈[－1，1]；‎ ‎ （2）g(x)在[－1，1]上单调递减；‎ ‎ （3）[－2，]．‎ 说明：（1）考查解指数方程；‎ ‎ （2）考查函数的单调性；‎ ‎ （3）考查方程有解的问题：①分离变量，求函数的值域；②数形结合，对应函数图象有公共点．‎ 解析：①f(a＋2)＝18，得到3a＋2＝18，∴3a＝2，∴g(x)＝2x－4x，x∈[－1，1]‎ ‎ ②令t＝2x，≤t≤2，则y＝t－t，∴g(x)在[－1，1]上单调递减；‎ ‎③方程g(x)－m＝0有解，则有交点 ‎∴≤t≤2，则y＝t－t的范围是[－2，]，所以m∈[－2，]‎ ‎***16．设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c (a＞0，a，c∈R)．‎ ‎(1)设a＞c＞0．若f(x)＞c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围；‎ ‎(2)函数f(x)在区间(0，1)内是否有零点，有几个零点？为什么？‎ ‎(考查不等式恒成立，函数零点)‎ 解 (1)因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴为x＝，由条件a＞c＞0，得2a＞a＋c，‎ 故＜＝＜1，‎ 即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，‎ 且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞)内是增函数．‎ 若f(x)＞c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，‎ 则f(x)min＝f(1)＞c2－2c＋a，‎ 即a－c＞c2－2c＋a，得c2－c＜0，所以0＜c＜1．‎ ‎(2)①若f(0)·f(1)＝c·(a－c)＜0，‎ 则c＜0，或a＜c，二次函数f(x)在(0，1)内只有一个零点．‎ ‎②若f(0)＝c＞0，f(1)＝a－c＞0，则a＞c＞0．‎ 因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴是x＝．而f＝＜0，‎ 所以函数f(x)在区间和内各有一个零点，故函数f(x)在区间(0，1)内有两个零点．‎ ‎***17．已知a∈R，函数f(x)＝log2(＋a)．‎ ‎（1）当a＝5时，解不等式f(x)＞0；‎ ‎（2）若关于x的方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；‎ ‎（3）设a＞0，若对任意t ∈[，1]，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．‎ 答案：（1）（2）（3）‎ 说明：本题综合性较强，考察了对数不等式、二次函数求值域和方程有解问题。‎ 解析：‎ ‎（1）由，得，‎ 解得．‎ ‎（2），，‎ 当时，，经检验，满足题意．‎ 当时，，经检验，满足题意．‎ 当且时，，，．‎ 是原方程的解当且仅当，即；‎ 是原方程的解当且仅当，即．‎ 于是满足题意的．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎（3）当时，，，‎ 所以在上单调递减．‎ 函数在区间上的最大值与最小值分别为，．‎ 即，对任意成立．‎ 因为，所以函数在区间上单调递增，‎ 时，有最小值，由，得．‎ 故的取值范围为． ‎ ‎(考查对数函数的图像和性质，函数零点)‎