江苏省连云港市老六所四星高中2020届高三下学期模拟考试数学试题

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江苏省连云港市老六所四星高中2020届高三下学期模拟考试数学试题

高三数学模拟试题 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)‎ ‎1.已知集合,,则集合中元素的个数为__________.‎ ‎2.复数,则__________.‎ ‎3.已知一组数据4,6,5,8,6,7,那么该组数据的方差为__________.‎ ‎4.根据如图所示的伪代码,最后输出的的值为__________.‎ ‎ 5.的定义域为__________.‎ ‎6.从长度分别为的四条线段中,任取三条的不同取法共有种,在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为,则等于____________.‎ ‎7.若双曲线的一条渐近线方程为,则_______.‎ ‎8.已知是等差数列的前项和,若,,则______.‎ ‎9. 若关于的不等式的解集不是空集,则的取值范围是________.‎ ‎10. 已知等边三角形的边长为,为边的中点,沿将折成直二面角,则三棱锥的外接球的表面积为__________.‎ ‎11. 若,是方程的两个根,则__________.‎ ‎12.设为正实数,则的最小值为__________.‎ ‎13. 已知点,,均位于同一单位圆上,且,若,则的取值范围为__________.‎ ‎14. 已知函数,若有两个零点,则 的取值范围__________.‎ 二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.(本题满分14分)‎ ‎ 设函数 ‎(1)当时,求的值域;‎ ‎(2)已知中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,求面积的最大值.‎ ‎16. (本题满分14分)‎ ‎ 如图,四棱锥中,底面为矩形,,为上一点.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)若∥平面,求证:为的中点.‎ ‎17. (本题满分14分)‎ ‎ 如图,在宽为的路边安装路灯,灯柱高为,灯杆是半径为的圆的一段劣弧.路灯采用锥形灯罩,灯罩顶到路面的距离为,到灯柱所在直线的距离为.设为灯罩轴线与路面的交点,圆心在线段上.‎ ‎(1)当为何值时,点恰好在路面中线上?‎ ‎(2)记圆心在路面上的射影为,且在线段上,求的最大值.‎ ‎18. (本题满分16分)‎ ‎ 如图,椭圆:()和圆:,已知圆将椭圆的长轴三等分,椭圆右焦点到右准线的距离为,椭圆的下顶点为,过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.‎ ‎①求证:直线经过一定点;‎ ‎②试问:是否存在以为圆心,为半径的圆,使得直线和直线都与圆相交?若存在,请求出实数的范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎19. (本题满分16分)‎ ‎ 已知函数(a,).‎ ‎(1)若,且在内有且只有一个零点,求a的值;‎ ‎(2)若,且有三个不同零点,问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)若,,试讨论是否存在,使得.‎ ‎20. (本题满分16分)‎ ‎ 设数列(任意项都不为零)的前项和为,首项为,对于任意,满足.‎ ‎(1)数列的通项公式;‎ ‎(2)是否存在使得成等比数列,且成等差数列?若存在,试求的值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)设数列,,若由的前项依次构成的数列是单调递增数列,求正整数的最大值.‎ 高三数学模拟试题附加题 ‎21A.已知矩阵,向量.‎ ‎(1)求矩阵的特征值及属于每个特征值的一个特征向量;‎ ‎(2)求.‎ ‎21B.已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是: (是参数).‎ 若直线与曲线相交于、两点,且,试求实数值.‎ 设为曲线上任意一点,求的取值范围.‎ ‎21C.已知a≥2,x∈R.求证:|x-1+a|+|x-a|≥3.‎ ‎22.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,平面,垂足为,在上,且,是的中点.‎ ‎ ‎ ‎(1)求异面直线与所成角的余弦值;‎ ‎(2)若点是棱上一点,且,求的值.‎ ‎23.棋盘上标有第、、、、站,棋子开始位于第站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到调到第站或第站时,游戏结束.设棋子位于第站的概率为.‎ ‎(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币次后,求棋手所走步数之和的分布列与数学期望;‎ ‎(2)证明:;‎ ‎(3)求、的值.‎ 参考答案 ‎1.4; 2.1; 3.略 4.7; 5.; 6. ;7. ;8.; 9.或;‎ ‎10.;11. ;12.;13.;14.‎ ‎15. 解:(1)因为 所以 即,‎ ‎,,‎ 所以的值域为;‎ ‎(2)由,得,‎ 又,,‎ 在中,由余弦定理,得,‎ 把,代入得:,当且仅当时取等号,‎ 的面积,‎ 则面积的最大值为.‎ ‎16. (1)底面为矩形,‎ ‎,‎ 又,‎ ‎,,‎ 平面,‎ 又,‎ 平面平面;‎ ‎(2)连接,交于,连接,‎ 平面,‎ 平面平面,‎ ‎,‎ ‎,‎ 底面为矩形,‎ 是的中点,即,‎ ‎,‎ 为的中点.‎ ‎17. (1)以O为原点,以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,8),P(2,10),Q(7,0),‎ ‎∴直线PQ的方程为2x+y﹣14=0.设C(a,b),则,‎ 两式相减得:a+b﹣10=0,又2a+b﹣14=0,解得a=4,b=6,‎ ‎∴.∴当时,点Q恰好在路面中线上.‎ ‎(2)由(1)知a+b﹣10=0,‎ 当a=2时,灯罩轴线所在直线方程为x=2,此时HQ=0.‎ 当a≠2时,灯罩轴线所在方程为:y﹣10=(x﹣2),‎ 令y=0可得x=12﹣,即Q(12﹣,0),‎ ‎∵H在线段OQ上,∴12﹣≥a,解得2≤a≤10.‎ ‎∴|HQ|=12﹣﹣a=12﹣(+a)≤12﹣=12﹣,‎ 当且仅当=a即a=时取等号.∴|HQ|的最大值为(12﹣)m.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程,直线与圆的位置关系,考查基本不等式与函数最值的计算,属于中档题.‎ ‎18. Ⅰ )依题意,,则,‎ ‎∴,又,∴,则,‎ ‎∴椭圆方程为.‎ ‎(2)①由题意知直线的斜率存在且不为0,设直线的斜率为,则:,‎ 由得或 ‎∴,‎ 用去代,得,‎ 方法1:,‎ ‎∴:,即,‎ ‎∴直线经过定点.‎ 方法2:作直线关于轴的对称直线,此时得到的点、关于轴对称,则与相交于轴,可知定点在轴上,‎ 当时,,,此时直线经过轴上的点,‎ ‎∵‎ ‎∴,∴、、三点共线,即直线经过点,‎ 综上所述,直线经过定点.‎ ‎②由得或∴,‎ 则直线:,‎ 设,则,直线:,直线:,‎ 假设存在圆心为,半径为的圆,使得直线和直线都与圆相交,‎ 则由()得对恒成立,则,‎ 由()得,对恒成立,‎ 当时,不合题意;当时,,得,即,‎ ‎∴存在圆心为,半径为的圆,使得直线和直线都与圆相交,所有的取值集合为.‎ 解法二:圆,由上知过定点,故;又直线过原点,故,从而得.‎ 考点:1.直线与圆锥曲线的关系;2.椭圆的标准方程.‎ ‎19. (1)若,则,,‎ 若,则在,则,则在上单调递增,‎ 又,故在上无零点,舍;‎ 若,令,得,,,‎ 在上,,在上单调递减,‎ 在上,,在上单调递增,‎ 故,‎ 若,则,在上无零点,舍;‎ 若,则,在上恰有一零点,此时;‎ 若,则,,,‎ 则在和上有各有一个零点,舍;‎ 故a的值为.‎ ‎(2)因为,则,若有三个不同零点,且成等差数列,可设,‎ 故,则,故,,.‎ 此时,,,故存在三个不同的零点.‎ 故符合题意的a的值为.‎ ‎(3)若,,,‎ ‎∴若存在,使得,‎ 必须在上有解.‎ ‎,‎ 方程的两根为:,,‎ 只能是,‎ 依题意,即,‎ 即,‎ 又由,得,故欲使满足题意的存在,则,‎ ‎∴当时,存在唯一的满足,‎ 当时,不存在使.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点问题,解方程,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎20.‎ ‎(1)数列是非零数列,.‎ 当时,,;‎ 当且时,,,‎ 是首项为,公差为的等差数列,是首项为,公差为的等差数列,‎ ‎,,‎ ‎.‎ ‎(2)设存在,满足题意,‎ 成等比数列,;‎ 成等差数列,,‎ 消去可得:,,‎ ‎,,,解得:,‎ ‎,,,,.‎ ‎(3)若是单调递增数列,则为偶数时,恒成立,‎ 两边取自然对数化简可得:,显然,‎ 设,则,‎ 当时,;当时,,‎ 在上单调递增,在上单调递减,‎ 在处取得极大值,‎ 当时,是递减数列,又,是的最大值,‎ ‎;‎ 设,则,‎ 是递减数列,当时,,当时,,‎ 当时,存在,使得恒成立;‎ 当时,不成立,‎ 至多前项是递增数列,即正整数的最大值是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题,涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题;由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为恒成立问题,通过构造函数的方式来确定上下限,进而通过讨论得到结果,属于难题.‎ ‎21A.(1)矩阵的特征多项式为,‎ 令,可求得特征值为,,‎ 设对应的一个特征向量为,‎ 则由,得,可令,则,‎ 所以矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为,‎ 同理可得矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为.‎ ‎(2)‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎21B. 解:曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为:,直线的直角坐标方程为:.‎ 圆心到直线的距离(弦心距),‎ 圆心到直线的距离为 :,‎ 或.‎ 曲线的方程可化为,其参数方程为: (为参数)‎ 为曲线上任意一点, ‎ 的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程与极坐标的应用,属于中档题.‎ ‎22.试题解析:(1)以点为原点,、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,‎ ‎,故 ‎∵,‎ ‎∴与所成角的余弦值为.‎ ‎(2)解:设,则,‎ ‎∵,∴,‎ 即,∴,‎ 又,即,‎ ‎∴,故,‎ ‎,∴‎ ‎ ‎ 考点:空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用.‎ ‎23.(1)由题意可知,随机变量的可能取值有、、、.‎ ‎,,‎ ‎,.‎ 所以,随机变量的分布列如下表所示:‎ 所以,随机变量的数学期望为;‎ ‎(2)根据题意,棋子要到第站,由两种情况,由第站跳站得到,其概率为 ,也可以由第站跳站得到,其概率为,所以,.‎ 等式两边同时减去得;‎ ‎(3)由(2)可得,,.‎ 由(2)可知,数列是首项为,公比为的等比数列,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,则,‎ 由于若跳到第站时,自动停止游戏,故有.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用,同时也考查了累加法求数列通项,综合性较强,属于难题.‎
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