【数学】2020届北京一轮复习通用版4-4解三角形

【数学】2020届北京一轮复习通用版4-4解三角形

‎4.4　解三角形 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.正弦、余弦定理的应用 ‎1.理解正弦定理与余弦定理的推导过程 ‎2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 ‎2013北京,5‎ 运用正弦定理解三角形 ‎★★★‎ ‎2012北京,11‎ 运用余弦定理解三角形 ‎2011北京,9‎ 运用正弦定理、余弦定理解三角形 同角三角函数基本关系 ‎2.解三角形的综合应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 ‎2018北京,15‎ 运用正弦定理、余弦定理解三角形、面积公式的选择 同角三角函数基本关系、诱导公式 ‎★★☆‎ ‎2018北京文,14‎ 三角恒等变换 ‎2017北京,15‎ 解三角形中的基本运算 ‎2014北京,15‎ 运用正弦、余弦定理解三角形 两角差的正弦公式 分析解读　　1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关的量的问题时,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.高考中常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　正弦、余弦定理的应用 ‎1.在△ABC中,a=1,∠A=π‎6‎,∠B=π‎4‎,则c=(　　)‎ A.‎6‎‎+‎‎2‎‎2‎　　　　B.‎6‎‎-‎‎2‎‎2‎　　　　C.‎6‎‎2‎　　　　D.‎‎2‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎2.在△ABC中,∠A=π‎3‎,BC=3,AB=‎6‎,则∠C=　　　　.  ‎ 答案　‎π‎4‎ ‎3.在△ABC中,a=2,c=4,且3sin A=2sin B,则cos C=　　　　. ‎ 答案　-‎‎1‎‎4‎ 考点二　解三角形的综合应用 ‎4.在△ABC中,a=1,b=‎7‎,且△ABC的面积为‎3‎‎2‎,则c=　　　　. ‎ 答案　2或2‎‎3‎ ‎5.在△ABC中,a=5,c=7,cos C=‎1‎‎5‎,则b=　　　　,△ABC的面积为　　　　. ‎ 答案　6;6‎‎6‎ ‎6.在△ABC中,a=3,∠C=‎2π‎3‎,△ABC的面积为‎3‎‎3‎‎4‎,则b=　　　　;c=　　　　. ‎ 答案　1;‎‎13‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　三角形形状的判断 ‎1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状是(　　)‎ A.等腰三角形 B.直角三角形　　C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案　D　‎ ‎2.在△ABC中,若tanAtanB=a‎2‎b‎2‎,则△ABC的形状是(　　)‎ A.直角三角形　　　　B.等腰或直角三角形　　　　C.等腰三角形　　　　D.不能确定 答案　B　‎ 方法2　解三角形的常见题型及求解方法 ‎3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若A=π‎3‎,a=‎3‎,b=1,则c=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎4.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ ‎5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2B+cos B=0.‎ ‎(1)求角B的值;‎ ‎(2)若b=‎7‎,a+c=5,求△ABC的面积.‎ 解析　(1)由已知得2cos2B-1+cos B=0,‎ 即(2cos B-1)(cos B+1)=0.‎ 解得cos B=‎1‎‎2‎或cos B=-1.‎ 因为0b,则∠B=(　　)‎ A.π‎6‎　　　　B.π‎3‎　　　　C.‎2π‎3‎　　　　D.‎‎5π‎6‎ 答案　A　‎ ‎4.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=‎3‎,sin B=‎1‎‎2‎,C=π‎6‎,则b=　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎5.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3‎15‎,b-c=2,cos A=-‎1‎‎4‎,则a的值为　　　　. ‎ 答案　8‎ ‎6.(2011北京文,9,5分)在△ABC中,若b=5,∠B=π‎4‎,sin A=‎1‎‎3‎,则a=　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎2‎‎3‎ ‎7.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=‎3π‎4‎,AB=6,AC=3‎2‎,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.‎ 解析　设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,‎ 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3‎2‎)2+62-2×3‎2‎×6×cos‎3π‎4‎=18+36-(-36)=90,所以a=3‎10‎.‎ 又由正弦定理得sin B=bsin∠BACa=‎3‎‎3‎‎10‎=‎10‎‎10‎,‎ 由题设知0b>c,‎3‎c-2bsin C=0.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若b=‎3‎,c=1,求a和△ABC的面积.‎ 解析　(1)因为‎3‎c-2bsin C=0,‎ 所以‎3‎sin C-2sin Bsin C=0.‎ 因为0b>c,所以B=π‎3‎.‎ ‎(2)因为b=‎3‎,c=1,B=π‎3‎,‎ 所以由余弦定理得(‎3‎)2=a2+1-2a·1×‎1‎‎2‎,则a2-a-2=0.‎ 解得a=2或a=-1(舍去).所以a=2.‎ S△ABC=‎1‎‎2‎acsin B=‎1‎‎2‎×2×1×‎3‎‎2‎=‎3‎‎2‎.‎ 思路分析　(1)由正弦定理可将‎3‎c-2bsin C=0化为‎3‎sin C-2sin Bsin C=0,即sin B=‎3‎‎2‎,可求角B的大小.‎ ‎(2)由余弦定理求出a,即可求S△ABC.‎