【数学】2018届一轮复习人教A版第8章第5节椭Բ学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版第8章第5节椭Բ学案

第五节 椭 圆 ‎1.椭圆的定义 ‎(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F‎1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.‎ ‎(2)集合P={M||MF1|+|MF2|=‎2a},|F‎1F2|=‎2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.‎ ‎①当2a>|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆;‎ ‎②当2a=|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2;‎ ‎③当2a<|F1F2|时,M点的轨迹不存在.‎ ‎2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 +=1(a>b>0)‎ +=1(a>b>0)‎ 图形 性 质 范围 ‎-a≤x≤a ‎-b≤y≤b ‎-b≤x≤b ‎-a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0),‎ B1(0,-b),B2(0,b)‎ A1(0,-a),A2(0,a),‎ B1(-b,0),B2(b,0)‎ 离心率 e=,且e∈(0,1)‎ a,b,c的关系 c2=a2-b2‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(  )‎ ‎(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF‎1F2的周长为‎2a+‎2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).(  )‎ ‎(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(  )‎ ‎(4)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√‎ ‎2.(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是(  )‎ A.+=1    B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ D [椭圆的焦点在x轴上,c=1.‎ 又离心率为=,故a=2,b2=a2-c2=4-1=3,‎ 故椭圆的方程为+=1.]‎ ‎3.已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.9‎ B [由左焦点为F1(-4,0)知c=4.又a=5,∴25-m2=16,解得m=3或-3.又m>0,故m=3.]‎ ‎4.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. B [如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a· ‎,所以e==.]‎ ‎5.椭圆+=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B,当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是__________. 【导学号:51062285】‎ ‎3 [直线x=m过右焦点(1,0)时,△FAB的周长最大,由椭圆定义知,其周长为‎4a=8,即a=2,‎ 此时,|AB|=2×==3,‎ ‎∴S△FAB=×2×3=3.]‎ 椭圆的定义与标准方程 ‎ (1)如图851所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是(  )‎ 图851‎ A.椭圆   B.双曲线 C.抛物线 D.圆 ‎(2)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0|OF|.‎ ‎∴P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.‎ ‎(2)不妨设点A在第一象限,设半焦距为c,‎ 则F1(-c,0),F2(c,0).‎ ‎∵AF2⊥x轴,则A(c,b2)(其中c2=1-b2,0|F‎1F2|这一条件.‎ ‎(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时,常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义,但一定要注意|PF1|+|PF2|与|PF1|·|PF2|的整体代换.‎ ‎2.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定位,再定量,即首先确定焦点所在的位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组,若焦点位置不确定,可把椭圆方程设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)的形式.‎ ‎[变式训练1] (1)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且⊥.‎ 若△PF1F2的面积为9,则b=__________.‎ ‎(2)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为__________.‎ ‎(1)3 (2)+=1 [(1)由定义,|PF1|+|PF2|=‎2a,且⊥,‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,‎ ‎∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2,‎ ‎∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,∴|PF1||PF2|=2b2.‎ ‎∴S△PF1F2=|PF1||PF2|=×2b2=9,因此b=3.‎ ‎(2)依题意,设椭圆C:+=1(a>b>0).‎ 过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|=3,‎ ‎∴点A必在椭圆上,‎ ‎∴+=1.①‎ 又由c=1,得1+b2=a2.②‎ 由①②联立,得b2=3,a2=4.‎ 故所求椭圆C的方程为+=1.]‎ 椭圆的几何性质 ‎ 已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 ‎(  )‎ A. B. C. D. A [法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k=,从而直线AM的方程为y=(x+a),令x=0,得点E的纵坐标yE=.‎ 同理,OE的中点N的纵坐标yN=.‎ ‎∵2yN=yE,∴=,即2a-2c=a+c,‎ ‎∴e==.‎ 法二:如图,设OE的中点为N,由题意知 ‎|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a.‎ ‎∵PF∥y轴,‎ ‎∴==,==.‎ 又=,即=,‎ ‎∴a=3c,故e==.]‎ ‎[规律方法] 1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析.‎ ‎2.求椭圆离心率的主要方法有:(1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.‎ ‎[变式训练2] 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. A [根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A,B两点到椭圆左、右焦点的距离为‎4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以a=2.又d=≥,所以1≤b<2,所以 e===.因为1≤b<2,所以0b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为.‎ 图852‎ ‎(1)求椭圆E的离心率;‎ ‎(2)如图852,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.‎ ‎ [解] (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d==,3分 由d=c,得a=2b=2 ,解得离心率=.6分 ‎(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①‎ 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.‎ 易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,‎ 代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.10分 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=-,x1x2=.‎ 由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.‎ 从而x1x2=8-2b2.12分 于是|AB|=|x1-x2|‎ ‎==.‎ 由|AB|=,得=,解得b2=3.‎ 故椭圆E的方程为+=1.15分 角度2 由位置关系研究直线的性质 ‎ 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. ‎ ‎【导学号:51062286】‎ ‎[解] (1)由题意有=,+=1,‎ 解得a2=8,b2=4.3分 所以C的方程为+=1.6分 ‎(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).8分 将y=kx+b代入+=1,得 ‎(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.10分 故xM==,yM=k·xM+b=.‎ 于是直线OM的斜率kOM==-,‎ 即kOM·k=-.‎ 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.15分 ‎[规律方法]‎ ‎ 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.‎ ‎2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= ‎=(k为直线斜率).‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解、掌握定义是关键,应注意定义中的常数大于|F‎1F2|,避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.‎ ‎2.求椭圆方程的方法,除了直接根据定义外,常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,设方程为+=1(m>0,n>0,且m≠n)可以避免讨论和烦琐的计算,也可以设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠‎ B),这种形式在解题中更简便.‎ ‎3.讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点,常用方法:‎ ‎(1)求得a,c的值,直接代入公式e=求得;‎ ‎(2)列出关于a,b,c的齐次方程(或不等式),然后根据b2=a2-c2,消去b,转化成关于e的方程(或不等式)求解.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x2与y2的分母大小.‎ ‎2.注意椭圆的范围,在设椭圆+=1(a>b>0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在求与点P有关的最值问题中用到,也是容易被忽视而导致求最值错误的原因.‎ ‎3.椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为a+c,最小距离为a-c.‎ 课时分层训练(四十七) 椭 圆 A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为(  )‎ A.4   B.3‎ C.2 D.5‎ A [由题意知,在△PF‎1F2中,|OM|=|PF2|=3,∴|PF2|=6,∴|PF1|=‎2a-|PF2|=10-6=4.]‎ ‎2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. B [原方程化为+=1(m>0),‎ ‎∴a2=,b2=,则c2=a2-b2=,‎ 则e2=,∴e=.]‎ ‎3.(2017·盐城模拟)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ‎(  )‎ A.-=1 B.+=1‎ C.-=1 D.+=1‎ D [设圆M的半径为r,‎ 则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,‎ ‎∴M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,‎ 且2a=16,2c=8,‎ 故所求的轨迹方程为+=1,故选D.]‎ ‎4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,若P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为(  ) 【导学号:51062287】‎ A.2 B.3‎ C.6 D.8‎ C [由题意知,O(0,0),F(-1,0),设P(x,y),则=(x,y),=(x+1,y),∴·=x(x+1)+y2=x2+y2+x.又∵+=1,∴y2=3-x2,‎ ‎∴·=x2+x+3=(x+2)2+2.‎ ‎∵-2≤x≤2,∴当x=2时,·有最大值6.]‎ ‎5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为(  )‎ A.+=1‎ B.+y2=1‎ C.+=1‎ D.+=1‎ A [∵+=1(a>b>0)的离心率为,∴=.‎ 又∵过F2的直线l交椭圆于A,B两点,△AF1B的周长为4,‎ ‎∴4a=4,∴a=,∴b=,‎ ‎∴椭圆方程为+=1.]‎ 二、填空题 ‎6.(2017·绍兴质检)已知椭圆:+=1(0b>0),由题意可知,|OF|=c,|OB|=b,‎ ‎∴|BF|=a.∵∠OFB=,∴=,a=2b.‎ ‎∴S△ABF=·|AF|·|BO|=(a-c)·b=(2b-b)b=2-,‎ 解得b2=2,则a=2b=2.‎ ‎∴所求椭圆的方程为+=1.]‎ ‎8.如图854,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 ________. 【导学号:51062288】‎ 图854‎  [将y=代入椭圆的标准方程,得+=1,‎ 所以x=±a,故B,C.‎ 又因为F(c,0),所以=,=.‎ 因为∠BFC=90°,所以·=0,‎ 所以+2=0,即c2-a2+b2=0,将b2=a2-c2代入并化简,得a2=c2,所以e2==,所以e=(负值舍去).]‎ 三、解答题 ‎9.如图855所示,F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.‎ 图855‎ ‎(1)求椭圆C的离心率;‎ ‎(2)已知△AF1B的面积为40,求a,b的值.‎ ‎【解】 (1)由题意可知,△AF1F2为等边三角形,a=2c,‎ 所以e=.7分 ‎(2)法一:a2=‎4c2,b2=‎3c2,直线AB的方程为y=-(x-c),‎ 将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2,得B,10分 所以|AB|=·=c.12分 由S△AF1B=|AF1|·|AB|·sin∠F1AB=a·c·=a2=40,解得a=10,b=5.15分 法二:设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a.10分 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t,‎ 再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60°可得,t=a.13分 由S△AF1B=a·a·=a2=40知,‎ a=10,b=5.15分 ‎10.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.‎ ‎(1)求E的离心率e;‎ ‎(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB.‎ ‎[解] (1)由题设条件知,点M的坐标为,2分 又kOM=,从而=.‎ 进而a=b,c==2b,故e==.6分 ‎(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为,可得=.8分 又=(-a,b),‎ 从而有·=-a2+b2=(5b2-a2).12分 由(1)的计算结果可知a2=5b2,‎ 所以·=0,故MN⊥AB.15分 B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,椭圆C:+=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,则a的值为 ‎(  )‎ A.   B.1‎ C.2 D.4‎ C [圆M的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,‎ 则由题意得m2+3=4,即m2=1(m<0),‎ ‎∴m=-1,则圆心M的坐标为(1,0).‎ 又直线l过椭圆C的左焦点,且垂直于x轴,‎ ‎∴直线l的方程为x=-c.‎ 又∵直线l与圆M相切,‎ ‎∴c=1,∴a2-3=1,∴a=2.]‎ ‎2.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右焦点与抛物线C2:y2=4x的焦点相同,记为F,设点M是两曲线在第一象限内的公共点,且|MF|=,则M点的横坐标是________,a+b=________. 【导学号:51062289】‎  2+ [设M(xM,yM).易知F(1,0),|MF|=1+xM=,∴xM=.从而y=.‎ 由解得∴a+b=2+.]‎ ‎3.(2017·舟山调研)如图856,椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.‎ 图856‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.‎ ‎[解] (1)由题设知=,b=1,‎ 结合a2=b2+c2,解得a=.3分 所以椭圆的方程为+y2=1.6分 ‎(2)证明:由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2),代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.8分 由已知Δ>0,‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,‎ 则x1+x2=,x1x2=.10分 从而直线AP,AQ的斜率之和 kAP+kAQ=+=+ ‎=2k+(2-k)=2k+(2-k) ‎=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.‎ 所以直线AP与AQ的斜率之和为定值2.15分
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