高考数学难点突破40__探索性问题

高考数学难点突破40__探索性问题

高中数学难点 40 探索性问题 高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题 者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分 析、创造性地运用所学知识和方法解决问题. 1.（★★★★）已知三个向量 a、b、c，其中每两个之间的夹角为 120°，若｜a｜=3, ｜b｜=2,｜c｜=1，则 a 用 b、c 表示为 . 2.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为 1–p，且各引擎是否有故障是 独立的，如有至少 50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的 p 而言，4 引 擎飞机比 2 引擎飞机更为安全？ ［例 1］已知函数 1 )( 2    ax cbx xf (a,c∈R,a＞0,b 是自然数）是奇函数，f(x)有最大值 2 1 ， 且 f(1)＞ 5 2 . （1）求函数 f(x)的解析式； （2）是否存在直线 l 与 y=f(x)的图象交于 P、Q 两点，并且使得 P、Q 两点关于点（1， 0）对称，若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由. 命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的 能力，属★★★★★级题目. 知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题. 错解分析：不能把 a 与 b 间的等量关系与不等关系联立求 b；忽视 b 为自然数而导致求 不出 b 的具体值；P、Q 两点的坐标关系列不出解. 技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在 的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证. 解：（1）∵f(x)是奇函数 ∴f(–x)=–f(x)，即 11 22      ax cbx ax cbx ∴–bx+c=–bx–c ∴c=0 ∴f(x)= 12 ax bx 由 a＞0，b 是自然数得当 x≤0 时，f(x)≤0， 当 x＞0 时，f(x)＞0 ∴f(x)的最大值在 x＞0 时取得. ∴x＞0 时， 2 2 1 1 1 )( b a bx x b a xf    当且仅当 bx x b a 1  即 a x 1  时，f(x)有最大值 2 1 2 1 2  b a ∴ 2b a =1,∴a=b 2 ① 又 f(1)＞ 5 2 ，∴ 1a b ＞ 5 2 ,∴5b＞2a+2 ② 把①代入②得 2b 2–5b+2＜0 解得 2 1 ＜b＜2 又 b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)= 12 x x （2）设存在直线 l 与 y=f(x)的图象交于 P、Q 两点，且 P、Q 关于点（1，0）对称， P(x0,y0)则 Q（2–x0,–y0)，∴             02 0 0 02 0 0 1)2( 2 1 y x x y x x ,消去 y0，得 x0 2–2x0–1=0 解之，得 x0=1± 2 , ∴P 点坐标为( 4 2 ,21 )或( 4 2 ,21  )进而相应 Q 点坐标为 Q（ 4 2 ,21  ） 或 Q( 4 2 ,21 ). 过 P、Q 的直线 l 的方程：x–4y–1=0 即为所求. ［例 2］如图，三条直线 a、b、c 两两平行，直线 a、 b 间的距离为 p，直线 b、c 间的距离为 2 p ，A、B 为直线 a 上两定点，且｜AB｜=2p，MN 是在直线 b 上滑动的长度为 2p 的线段. （1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN 的外心 C 的轨迹 E； （2）接上问，当△AMN 的外心 C 在 E 上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？ （其中 d 是外心 C 到直线 c 的距离）. 命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、 综合解题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程. 错解分析：①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中 确定 C 点位置需要一番分析. 技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点 C 所在位置，然后加以论证和计算， 得出正确结论，是条件探索型题目. 解：（1）以直线 b 为 x 轴，以过 A 点且与 b 直线垂直的直线为 y 轴建立直角坐标系. 设△AMN 的外心为 C(x,y)，则有 A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)， 由题意，有｜CA｜=｜CM｜ ∴ 2222 )()( ypxxpyx  ,化简，得 x 2 =2py 它是以原点为顶点，y 轴为对称轴，开口向上的抛物线. （2）由（1）得，直线 C 恰为轨迹 E 的准线. 由抛物线的定义知 d=｜CF｜，其中 F（0, 2 p ）是抛物线的焦点. ∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜ 由两点间直线段最短知，线段 BF 与轨迹 E 的交点即为所求的点 直线 BF 的方程为 pxy 2 1 4 1  联立方程组        pyx pxy 2 2 1 4 1 2 得          . 16 179 )171( 4 1 py px . 即 C 点坐标为( pp 16 179 , 4 171  ). 此时 d+｜BC｜的最小值为｜BF｜= p 2 17 . 如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么 把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探 索性问题的基本特征. 解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题 中一般对这类问题有如下方法：（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断； （4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊——一般——特殊. 一、选择题 1.（★★★★）已知直线 l⊥平面α ，直线 m平面β ，有下面四个命题，其中正确命 题是( ) ①α ∥β  l⊥m ②α ⊥β  l∥m ③l∥mα ⊥β ④l⊥mα ∥β A.①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④ 2.（★★★★）某邮局只有 0.60 元，0.80 元，1.10 元的三种邮票.现有邮资为 7.50 元的 邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为 7.50 元，则最少要购买邮票( ) A.7 张 B.8 张 C.9 张 D.10 张 二、填空题 3.(★★★★)观察 sin 2 20°+cos 2 50°+sin20°cos50°= 4 3 ,sin 2 15°+cos 2 45°+sin15° ·cos45°= 4 3 ，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 . 三、解答题 4.（★★★★）在四棱锥P—ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD， 底面 ABCD 是矩形，问底面的边 BC 上是否存在点 E.（1）使 ∠PED=90°；（2）使∠PED 为锐角.证明你的结论. 5.（★★★★★）已知非零复数 z1,z2 满足｜z1｜=a,｜z2｜ =b,｜z1+z2｜=c（a、b、c 均大于零），问是否根据上述条件求出 1 2 z z ？请说明理由. 6.（★★★★★）是否存在都大于 2 的一对实数 a、b(a＞b)使得 ab, a b ,a–b,a+b 可以 按照某一次序排成一个等比数列，若存在，求出 a、b 的值，若不存在，说明理由. 7.（★★★★★）直线 l 过抛物线 y 2 =2px(p＞0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛 物线上另外两点 A、B 直线 l 能否平分线段 AB？试证明你的结论. 8.（★★★★★）三个元件 T1、T2、T3 正常工作的概率分别为 0.7、0.8、0.9，将它们的 某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故 障的概率最大？ 参 考 答 案 ●难点磁场 1.解析：如图–a 与 b，c 的夹角为 60°,且|a|=|–a|=3. 由平行四边形关系可得–a=3c+ 2 3 b,∴a=–3c– 2 3 b. 答案：a=–3c– 2 3 b 2.解析：飞机成功飞行的概率分别为：4 引擎飞机为： 42224 4 33 4 222 4 )1(4)1(6C)1(C)1(C PPPPPPPPPP  2 引擎飞机为 222 2 1 2 )1(2C)1(C PPPPPP  . 要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机安全，则有： 6P 2（1–P）2 +4P 2（1–P）+P 4≥2P(1–P)+P 2 ,解得 P≥ 3 2 . 即当引擎不出故障的概率不小于 3 2 时，4 引擎飞机比 2 引擎飞机安全. ●歼灭难点训练 一、1.解析：①l⊥α 且α ∥β  l⊥β ,mβ  l⊥m. ②α ⊥β 且 l⊥α  l∥β ,但不能推出 l∥m. ③l∥m,l⊥α m⊥α ,由 mβ α ⊥β . ④l⊥m,不能推出α ∥β . 答案：B 2.解析：选 1.1 元 5 张，0.6 元 2 张，0.8 元 1 张.故 8 张. 答案：B 二、3.解析：由 50°–20°=(45°–15°)=30° 可得 sin 2 α +cos 2 (α +30°)+sinα cos(α +30°)= 4 3 . 答案：sin 2 α +cos 2 (α +30°)+sinα cos(α +30°)= 4 3 三、4.解：(1)当 AB≤ 2 1 AD 时，边 BC 上存在点 E，使∠PED=90°;当 AB> 2 1 AD 时， 使∠PED=90°的点 E 不存在.（只须以 AD 为直径作圆看该圆是否与 BC 边有无交点）（证略） （2）边 BC 上总存在一点，使∠PED 为锐角，点 B 就是其中一点. 连接 BD，作 AF⊥BD，垂足为 F，连 PF，∵PA⊥面 ABCD，∴PF⊥BD，又△ABD 为 直角三角形，∴F 点在 BD 上，∴∠PBF 是锐角. 同理，点 C 也是其中一点. 5.解：∵|z1+z2| 2 =(z1+z2)( 1z + 2z )=|z1| 2 +|z2| 2 +(z1 2z + 1z z2) ∴c 2 =a 2 +b 2 +(z1 2z + 1z z2) 即：z1 2z + 1z z2=c 2–a 2–b 2 ∵z1≠0,z2≠0，∴z1 2z + 1z ·z2= 1 211 2 221 z zzz z zzz  =|z2| 2 ( 2 1 z z )+|z1| 2 ( 1 2 z z ) 即有：b 2 ( 2 1 z z )+a 2 ( 1 2 z z )=z1z2+z1z2 ∴b 2 ( 2 1 z z )+a 2 ( 1 2 z z )=c 2–a 2–b 2 ∴a 2 ( 1 2 z z ) 2 +(a 2 +b 2–c 2 )( 1 2 z z )+b 2 =0 这是关于 1 2 z z 的一元二次方程，解此方程即得 1 2 z z 的值. 6.解：∵a>b,a>2,b>2,∴ab, a b ,a–b,a+b 均为正数，且有 ab>a+b> a b ,ab>a+b>a–b. 假设存在一对实数 a,b 使 ab, a b ,a+b,a–b 按某一次序排成一个等比数列，则此数列必是 单调数列.不妨设该数列为单调减数列，则存在的等比数列只能有两种情形，即①ab,a+b, a–b, a b ,或②ab,a+b, a b ,a–b 由（a+b）2≠ab· a b 所以②不可能是等比数列，若①为等比数 列，则有：                2 2710 257 ))(( )()( 2 b a a b abbaba baabba 解得 经 检 验 知 这 是 使 ab,a+b,a – b, a b 成 等 比 数 列 的 惟 一 的 一 组 值 . 因 此 当 a=7+ 25 ,b= 2 2710 时，ab,a+b,a–b, a b 成等比数列. 7.解：如果直线 l 垂直平分线段 AB，连 AF、BF，∵F（ 2 p ，0）∈l.∴|FA|=|FB|,设 A（x1,y1）,B(x2,y2),显然 x1>0,x2>0,y1≠y2,于是有（x1– 2 p ）2 +y1 2 =(x2– 2 p ) 2 +y2 2 ,整理得：（x1+x2 –p)(x1–x2)=y2 2–y1 2 =–2p(x1–x2).显然 x1≠x2(否则 AB⊥x 轴，l 与 x 轴重合，与题设矛盾） 得：x1+x2–p=–2p 即 x1+x2=–p<0,这与 x1+x2>0 矛盾，故直线 l 不能垂直平分线段 AB. 8.解：设元件 T1、T2、T3 能正常工作的事件为 A1、A2、A3，电路不发生故障的事件为 A， 则 P（A1）=0.7，P（A2）=0.8，P（A3）=0.9. （1）按图甲的接法求 P（A）：A=（A1+A2）·A3，由 A1+A2与 A3相互独立，则 P（A） =P（A1+A2）·P（A3） 又 P（A1+A2）=1–P（ 21 AA  ）=1–P（ 1A · 2A ）由 A1与 A2 相互独立知 1A 与 2A 相 互独立，得：P（ 1A · 2A ）=P（ 1A ）·P（ 2A ）=［1–P（A1）］·［1–P（A2）］=（1–0.7） ×(1–0.8)=0.06，∴P(A1+A2)=0.1–P( 1A · 2A )=1–0.06=0.94， ∴P(A)=0.94×0.9=0.846. (2)按图乙的接法求 P（A）：A=（A1+A3）·A2 且 A1+A3与 A2 相互独立，则 P（A）=P（A1+A3）· P（A2），用另一种算法求 P（A1+A3）.∵A1与 A3 彼此不互斥，根据容斥原理 P（A1+A3）= P（A1）+P（A3）–P（A1A3），∵A1与 A3 相互独立，则 P（A1·A3）=P（A1）·P（A3）=0.7 ×0.9=0.63,P(A1+A3)=0.7+0.9–0.63=0.97.∴P(A)=P(A1+A3)·P(A2)=0.97×0.8=0.776. (3)按图丙的接法求 P（A），用第三种算法. A=（A2+A3）A1=A2A1+A3A1,∵A2A1 与 A3A1彼此不互斥，据容斥原理，则 P（A）=P（A1A2） +P（A1A3）–P（A1A2A3），又由 A1、A2、A3 相互独立，得 P（A1·A2）=P（A1）P（A2）=0.8 ×0.7=0.56, P(A3A1)=P(A3)·P(A1)=0.9×0.7=0.63, P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=0.7×0.8×0.9=0.504, ∴P(A)=0.56+0.63–0.504=0.686. 综合（1）、（2）、（3）得，图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概率值分别为 0.846,0.776,0.686. 故图甲的接法电路不发生故障的概率最大.