2018届二轮复习7-4直接证明与间接证明课件（全国通用）

2018届二轮复习7-4直接证明与间接证明课件（全国通用）

7 . 4 　 直接证明与间接证明 - 2 - - 3 - 知识梳理 考点自测 1 . 直接证明 成立 充分 - 4 - 知识梳理 考点自测 2 . 间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 , 反证法是一种常用的间接证明方法 . (1) 反证法的定义 : 假设原命题 　　　　 ( 即在原命题的条件下 , 结论不成立 ), 经过正确的推理 , 最后得出 　　　 , 因此说明假设错误 , 从而证明 　　　　　　 的证明方法 .   (2) 用反证法证明的一般步骤 : ① 反设 —— 假设命题的结论不成立 ; ② 归谬 —— 根据假设进行推理 , 直到推出矛盾为止 ; ③ 结论 —— 断言假设不成立 , 从而肯定原命题的结论成立 . 不成立 矛盾 原命题成立 - 5 - 知识梳理 考点自测 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 综合法的思维过程是由因导果 , 逐步寻找已知的必要条件 . ( 　　 ) (2) 分析法是从要证明的结论出发 , 逐步寻找使结论成立的充要条件 . ( 　　 ) (3) 反证法是指将结论和条件同时否定 , 推出矛盾 . ( 　　 ) (4) 用反证法证明时 , 推出的矛盾不能与假设矛盾 . ( 　　 ) (5) 常常用分析法寻找解题的思路与方法 , 用综合法展现解决问题的过程 . ( 　　 ) (6) 证明不等式 最合适的方法是分析法 . ( 　　 ) √ × × × √ √ - 6 - 知识梳理 考点自测 2 . 命题 “ 对于任意角 θ ,cos 4 θ - sin 4 θ = cos 2 θ ” 的证明 :“cos 4 θ - sin 4 θ = (cos 2 θ - sin 2 θ )(cos 2 θ + sin 2 θ ) = cos 2 θ - sin 2 θ = cos 2 θ ” 过程应用了 ( 　　 ) A. 分析法 B. 综合法 C. 综合法、分析法综合使用 D. 间接证明法 B 解析 : 因为证明过程是 “ 从左往右 ”, 即由条件推出结论 . 故选 B . 3 . 若实数 a , b 满足 a+b< 0, 则 ( 　　 ) A. a , b 都小于 0 B. a , b 都大于 0 C. a , b 中至少有一个大于 0 D. a , b 中至少有一个小于 0 D 解析 : 假设 a , b 都不小于 0, 即 a ≥ 0, b ≥ 0, 则 a+b ≥ 0, 这与 a+b< 0 相矛盾 , 因此假设错误 , 即 a , b 中至少有一个小于 0 . - 7 - 知识梳理 考点自测 4 . 用分析法证明不等式 时 , 最后推得的显然成立的最简不等式是 　　　　　 .   0 < 4 5 . ( 教材习题改编 P 15 T (2) ) 用反证法证明 “ 把 100 个球放在 90 个盒子里 , 至少有一个盒子里不少于 2 个球 ” 应假设 　　　　　　　　　　 . 每个盒子里都少于 2 个球 解析 : 因为 “ 至少有一个盒子里不少于 ” 的反面是 “ 所有盒子里都少于 ”, 所以应填 “ 每个盒子里都少于 2 个球 ” . - 8 - 考点一 考点二 考点三 综合法的应用 ( 多考向 ) 考向 1 　 数列中的证明 例 1 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 3 a n - 2 S n = 2 . (1) 证明 { a n } 是等比数列并求出通项公式 a n ; - 9 - 考点一 考点二 考点三 - 10 - 考点一 考点二 考点三 思考 哪些问题的证明适合用综合法 ? 解题心得 综合法的适用范围是 :(1) 定义明确的问题 , 如证明函数的单调性、奇偶性等 , 求证没有限制条件的等式或不等式 . (2) 已知条件明确 , 并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型 . - 11 - 考点一 考点二 考点三 对点训练 1 (2017 湖北黄冈模拟 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且 (3 -m ) S n + 2 ma n =m+ 3( n ∈ N * ), 其中 m 为常数 , 且 m ≠ - 3 . (1) 求证 :{ a n } 是等比数列 ; - 12 - 考点一 考点二 考点三 - 13 - 考点一 考点二 考点三 考向 2 　 立体几何中的证明 例 2 (2017 山东枣庄一模 , 文 18) 如图 , 在四棱台 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 四边形 ABCD 是菱形 , AB= 2 A 1 B 1 , AA 1 ⊥ 平面 ABCD. 求证 : (1) BD ⊥ C 1 C ; (2) C 1 C ∥ 平面 A 1 BD. - 14 - 考点一 考点二 考点三 证明 (1) 连接 AC , ∵ AA 1 ⊥ 平面 ABCD , ∴ AA 1 ⊥ BD. ∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴ AC ⊥ BD , 又 AC ∩ AA 1 =A , ∴ BD ⊥ 平面 ACC 1 A 1 . ∵ CC 1 ⊂ 平面 ACC 1 A 1 , ∴ BD ⊥ CC 1 . (2) 连接 AC 和 A 1 C 1 , 设 AC ∩ BD=E. ∵ 底面 ABCD 是菱形 , ∴ E 为菱形 ABCD 的中心 , 由棱台的定义及 AB= 2 A 1 B 1 , 可得 EC ∥ A 1 C 1 , 且 EC=A 1 C 1 , 故 ECC 1 A 1 为平行四边形 , ∴ CC 1 ∥ A 1 E. ∵ CC 1 ⊄ 平面 A 1 BD , A 1 E ⊂ 平面 A 1 BD , ∴ CC 1 ∥ 平面 A 1 BD. - 15 - 考点一 考点二 考点三 解题心得 用综合法证明立体几何中的平行或垂直问题常用转化法 , 例如证明线面平行或垂直一般转化成证明线线平行或垂直 . - 16 - 考点一 考点二 考点三 对点训练 2 如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中 , 平面 PAB ⊥ 平面 ABCD , AB=AD , ∠ BAD= 60 ° , E , F 分别是 AP , AB 的中点 .   求证 :(1) 直线 EF ∥ 平面 PBC ; (2) 平面 DEF ⊥ 平面 PAB. - 17 - 考点一 考点二 考点三 证明 (1) 在 △ PAB 中 , 因为 E , F 分别为 PA , AB 的中点 , 所以 EF ∥ PB. 又因为 EF ⊄ 平面 PBC , PB ⊂ 平面 PBC , 所以直线 EF ∥ 平面 PBC. (2) 连接 BD , 因为 AB=AD , ∠ BAD= 60 ° , 所以 △ ABD 为正三角形 . 因为 F 是 AB 的中点 , 所以 DF ⊥ AB. 因为平面 PAB ⊥ 平面 ABCD , DF ⊂ 平面 ABCD , 平面 PAB ∩ 平面 ABCD=AB , 所以 DF ⊥ 平面 PAB. 又因为 DF ⊂ 平面 DEF , 所以平面 DEF ⊥ 平面 PAB. - 18 - 考点一 考点二 考点三 考向 3 　 证明不等式 例 3 已知 x , y , z 是互不相等的正数 , 且 x+y+z= 1, 思考 综合法证明的特点是什么 ? - 19 - 考点一 考点二 考点三 解题心得 用综合法证明的特点是 “ 由因导果 ”, 即从命题的条件出发 , 利用定义、公理、定理及运算法则 , 通过演绎推理 , 一步一步地接近要证明的结论 , 直到完成命题的证明 . - 20 - 考点一 考点二 考点三 - 21 - 考点一 考点二 考点三 分析法的应用 - 22 - 考点一 考点二 考点三 思考 哪些问题的证明适合用分析法 ? 解题心得 分析法证明问题的适用范围 : 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接 , 或证明过程中所需知识不太明确、具体时 , 往往采用分析法 , 特别是含有根号、绝对值的等式或不等式 , 从正面不易推导时 , 常考虑用分析法 . - 23 - 考点一 考点二 考点三 - 24 - 考点一 考点二 考点三 反证法的应用 例 5 设数列 { a n } 是公比为 q 的等比数列 , S n 是它的前 n 项和 . (1) 求证 : 数列 { S n } 不是等比数列 . (2) 数列 { S n } 是等差数列吗 ? 为什么 ? - 25 - 考点一 考点二 考点三 因为 a 1 ≠0, 所以 (1 +q ) 2 = 1 +q+q 2 , 即 q= 0, 这与公比 q ≠0 矛盾 , 所以数列 { S n } 不是等比数列 . (2) 解 当 q= 1 时 , S n =na 1 , 故 { S n } 是等差数列 ; 当 q ≠1 时 ,{ S n } 不是等差数列 . 假设 { S n } 是等差数列 , 则 2 S 2 =S 1 +S 3 , 即 2 a 1 (1 +q ) =a 1 +a 1 (1 +q+q 2 ), 得 q= 0, 这与公比 q ≠0 矛盾 . 综上 , 当 q= 1 时 , 数列 { S n } 是等差数列 ; 当 q ≠1 时 ,{ S n } 不是等差数列 . - 26 - 考点一 考点二 考点三 思考 反证法的适用范围及证题的关键是什么 ? 解题心得 反证法的适用范围及证题的关键 (1) 适用范围 : 当一个命题的结论是以 “ 至多 ”“ 至少 ”“ 唯一 ” 或以否定形式出现时 , 宜用反证法来证 . (2) 关键 : 在正确的推理下得出矛盾 , 矛盾可以是与已知条件矛盾 , 与假设矛盾 , 与定义、公理、定理矛盾 , 与事实矛盾等 . 推导出的矛盾必须是明显的 . - 27 - 考点一 考点二 考点三 对点训练 5 设 { a n } 是公比为 q 的等比数列 , 且 q ≠1, 证明数列 { a n + 1} 不是等比数列 . 证明 假设 { a n + 1} 是等比数列 , 则对任意的 k ∈ N * ,( a k+ 1 + 1) 2 = ( a k + 1)( a k+ 2 + 1), ∵ a 1 ≠0, ∴ 2 q k =q k- 1 +q k+ 1 . ∵ q ≠0, ∴ q 2 - 2 q+ 1 = 0, ∴ q= 1, 这与已知矛盾 . ∴ 假设不成立 , 故 { a n + 1} 不是等比数列 . - 28 - 考点一 考点二 考点三 1 . 分析法是从结论出发 , 逆向思维 , 寻找使结论成立的充分条件 . 应用分析法要严格按分析法的语言表达 , 下一步是上一步的充分条件 . 2 . 证明问题的常用思路 : 在解题时 , 常常把分析法和综合法结合起来运用 , 先以分析法寻求解题思路 , 再用综合法表述解答或证明过程 . 3 . 用反证法证明问题要把握三点 :(1) 必须先否定结论 , 即肯定结论的反面 ;(2) 必须从否定结论进行推理 , 即应把结论的反面作为条件 , 且必须依据这一条件进行推证 ;(3) 推导出的矛盾可能多种多样 , 有的与已知矛盾 , 有的与假设矛盾 , 有的与已知事实矛盾等 , 且推导出的矛盾必须是明显的 . - 29 - 考点一 考点二 考点三 1 . 应用分析法要书写规范 , 常用 “ 要证 …… ”“ 只需证 …… ” 等分析到一个明显成立的结论 . 2 . 应用反证法要将假设作为条件进行推理 , 不使用假设而推出矛盾的 , 其推理过程是错误的 . 3 . 注意推理的严谨性 , 在证明过程中每一步推理都要有充分的依据 , 这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论 , 不可盲目使用正确性未知的自造结论 .