【数学】2019届一轮复习人教B版　直线、平面垂直的判定及其性质学案

【数学】2019届一轮复习人教B版　直线、平面垂直的判定及其性质学案

第42讲　直线、平面垂直的判定及其性质 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．‎ ‎2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.‎ ‎2016·全国卷Ⅰ，18‎ ‎2016·全国卷Ⅱ，19‎ ‎2016·江苏卷，16‎ ‎2016·浙江卷，18‎ 与直线、平面垂直有关的命题判断，线线、线面、面面垂直的证明，直线与平面所成的角的计算，求解二面角大小，由线面垂直或面面垂直探求动点的位置.‎ 分值：5～6分 ‎1．直线与平面垂直 ‎(1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的__任意一条__直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线__都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线__平行__‎ ⇒a∥b ‎2．平面与平面垂直 ‎(1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直．‎ ‎(2)判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的一条__垂线__，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于__交线__的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.(　×　)‎ ‎(2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个．(　√　)‎ ‎(3)若两条直线垂直，则这两条直线相交．(　×　)‎ ‎(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面．(　×　)‎ ‎(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　×　)‎ 解析 (1)错误．直线l与α内两条相交直线都垂直才有l⊥α.‎ ‎(2)正确．过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线，而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直．‎ ‎(3)错误．两条直线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面．‎ ‎(4)错误．两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而不是任意一条直线．‎ ‎(5)错误．α内的一条直线如果与β内的两条相交直线都垂直才能线面垂直，从而面面垂直．‎ ‎2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　A　)‎ A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件　　 D．既不充分也不必要条件 解析 由面面垂直的性质定理可知，当α⊥β时，b⊥α.‎ 又因为a⊂α，则a⊥b; ‎ 如果a∥m，a⊥b，不能得到α⊥β，‎ 故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．故选A．‎ ‎3．已知m和n是两条不同的直线，α 和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　C　)‎ A．α⊥β且m⊂α　　 B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β　　 D．m⊥n，n⊂α且α∥β 解析 α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故A项不成立；‎ α⊥β，且m∥α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故B项不成立；‎ m∥n，且n⊥β⇒m⊥β.故C项成立；‎ m⊥n，n⊂α，且α∥β，知m⊥β不成立，故D项不成立，故选C．‎ ‎4．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有__7__对．‎ 解析 平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD，‎ 平面PAD⊥平面PCD，平面PCD⊥平面PBC，‎ 平面PAD⊥平面PAB，平面PAC⊥平面PBD，共有7对．‎ ‎5．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC内的射影为点O.‎ ‎(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的__外__心；‎ ‎(2)若PA⊥PB，PB⊥PC, PC⊥PA，则点O是△ABC的__垂__心．‎ 解析 (1)若PA＝PB＝PC，由勾股定理易得OA＝OB＝OC，‎ 故O是△ABC的外心；‎ ‎(2)由PA⊥PB，PC⊥PA，得PA⊥平面PBC，则PA⊥BC．‎ 又由PO⊥平面ABC知PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，则AO⊥BC，同理得BO⊥AC，CO⊥AB，故O是△ABC的垂心．‎ 一　直线与平面垂直的判定与性质 ‎(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．‎ ‎(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．‎ ‎(3)线面垂直的性质常用来证明线线垂直．‎ ‎【例1】 如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．‎ ‎(1)求证：直线AE⊥直线DA1；‎ ‎(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.‎ 解析 (1)证明：由正方体的性质可知，‎ DA1⊥AD1，DA1⊥AB，‎ 又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1，‎ 又AE⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.‎ ‎(2)所求G点即为A1点，证明如下：‎ 由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，‎ 连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE.‎ 又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.‎ 二　平面与平面垂直的判定与性质 ‎(1)判定面面垂直的方法：‎ ‎①面面垂直的定义；‎ ‎②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．‎ ‎(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．‎ 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．‎ ‎【例2】 已知三棱柱A1B‎1C1－ABC的侧棱与底面成60°角，底面是等边三角形，侧面B‎1C1CB是菱形且与底面垂直，求证：AC1⊥BC．‎ 证明 过C1作C1H⊥BC于H，连接AH，‎ 又∵侧面B‎1C1CB⊥底面ABC，‎ 侧面B‎1C1CB ∩底面ABC＝BC，‎ ‎∴C1H⊥底面ABC．‎ ‎∴侧棱CC1与底面ABC所成角，‎ 即为∠C1CH＝60°，‎ 在Rt△C1CH中，CH＝CC1，‎ 又∵CC1＝BC，∴CH＝BC，即H为BC的中点，‎ ‎∴在等边△ABC中，AH⊥BC，‎ 又∵C1H⊥BC，AH∩C1H＝H，∴BC⊥平面AC1H，‎ 又∵AC1⊂平面AC1H，∴AC1⊥BC．‎ 三　垂直关系中的探索性问题 解决垂直关系中的探索性问题的方法 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明．‎ ‎【例3】 如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC．‎ ‎(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；‎ ‎(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．‎ 解析 (1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，∴DF∥平面ACE.‎ 又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.‎ ‎(2)线段BE上存在点G，且BG＝BE，使得平面DFG⊥平面CDE.‎ 证明如下：‎ 取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G.连接GD，‎ ‎∴CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，‎ 由AB⊥BC得DE⊥EF.‎ 由CF⊥平面DEF，得CF⊥DE.‎ 又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.‎ 又CE∩DE＝E，∴GF⊥平面CDE.‎ 又GF⊂平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE.‎ 此时，如平面图所示，∵O为CE的中点，‎ EF＝CF＝2BC，易证△HOC≌△FOE，‎ ‎∴HB＝BC＝EF.‎ 由△HGB∽△FGE可知＝，即BG＝BE.‎ ‎1．(2018·山东青岛模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是(　C　)‎ A．a⊥α，b∥β，α⊥β　　 B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β　　 D．a⊂α，b∥β，α⊥β 解析 对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C．‎ ‎2．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　C　)‎ A．m∥l　　 B．m∥n C．n⊥l　　 D．m⊥n 解析 ∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.‎ ‎3．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD, AC⊥CD，∠ABC＝60°， PA＝AB＝BC，E是PC的中点．‎ 证明：(1) CD⊥AE；‎ ‎(2)PD⊥平面ABE.‎ 证明 (1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，‎ 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.‎ ‎(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．‎ ‎∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．‎ 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.‎ ‎4．如图，在四棱锥S－ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，‎ 且P为AD的中点，Q为SB的中点．‎ ‎(1)求证：CD⊥平面SAD；‎ ‎(2)求证：PQ∥平面SCD；‎ ‎(3)若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．‎ 解析 (1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD．‎ 又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，‎ 所以CD⊥平面SAD．‎ ‎(2)证明：取SC的中点R，连接QR，DR.‎ 由题意知，PD∥BC且PD＝BC．‎ 在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，‎ 所以QR∥BC且QR＝BC．‎ 所以QR∥PD且QR＝PD，‎ 则四边形PDRQ为平行四边形，‎ 所以PQ∥DR.‎ 又PQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD，所以PQ∥平面SCD．‎ ‎(3)存在点N为SC的中点，使得平面DMN⊥平面ABCD．‎ 连接PC，DM交于点O，连接PM，SP，NM，ND，NO，‎ 因为PD∥CM，且PD＝CM，‎ 所以四边形PMCD为平行四边形，‎ 所以PO＝CO.‎ 又因为N为SC的中点，所以NO∥SP.‎ 易知SP⊥AD，‎ 平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，‎ 所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD．‎ 因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD．‎ 易错点　联想不到已学定理 错因分析：已知条件中给出了线面垂直，求证的是线线平行，若忽略线面垂直的性质定理，则觉得论证无从下手，从而造成解题困难．‎ ‎【例1】 在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点M，N分别在BD，B‎1C上，且MN⊥BD, MN⊥B‎1C，求证：MN∥AC1.‎ 证明 连接A1D，A1B，AC，‎ ‎∵MN⊥B‎1C，B‎1C∥A1D，∴MN⊥A1D．‎ 又∵MN⊥BD，BD∩A1D＝D，‎ ‎∴MN⊥平面A1BD．‎ ‎∵CC1⊥底面ABCD，∴CC1⊥BD．‎ 又∵BD⊥AC，AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1.‎ ‎∴BD⊥AC1.同理AC1⊥A1B．‎ 又A1B∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD．‎ 又∵MN⊥平面A1BD，∴MN∥AC1.‎ ‎【跟踪训练1】 如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在PB, PC上的射影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥BC．正确结论的个数为(　C　)‎ A．1　　　 B．2‎ C．3　　　 D．4‎ 解析 ∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又PA⊥面ABC，故PA⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥AF.‎ 又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，∴AF⊥面PBC，故AF⊥PB．‎ 又AE⊥PB，且AF∩AE＝A，∴PB⊥面AEF，从而EF⊥PB，故①②③正确．若AE⊥BC，则可证AE⊥面PBC，则AE∥AF，这是不可能的，选C．‎ 课时达标　第42讲 ‎[解密考纲]对直线、平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面垂直的判定与性质常以解答题为主，难度中等．‎ 一、选择题 ‎1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是　(　D　)‎ A．AB∥m　　 B．AC⊥m C．AB∥β　　 D．AC⊥β 解析 如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D项不一定成立，故选D．‎ ‎2．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是(　D　)‎ A．若l∥α，m⊥l，则 m⊥α　　 B．若l⊥m，m⊥n，则l∥n C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α　　 D．若l⊥α，l∥a，则a⊥α 解析 对于A项，m与α位置关系不确定，故A项错；对于B项，当l与m，m与n为异面垂直时，l与n可能异面或相交，故B项错；对于C项，也可能b⊂α，故C项错；对于D项，由线面垂直的定义可知正确．‎ ‎3．(2018·江西南昌模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　D　)‎ A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l 解析 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但不一定垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l.‎ ‎4．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β(　D　)‎ A．不存在　　 B．有且只有一对 C．有且只有两对　　 D．有无数对 解析 过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b 确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D．‎ ‎5．(2018·宁夏银川一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　A　)‎ A．AH⊥平面EFH　　 B．AG⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF　　 D．HG⊥平面AEF 解析 由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，‎ ‎∴AH⊥平面HEF，故选A．‎ ‎6．(2018·陕西宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：‎ ‎①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；‎ ‎②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；‎ ‎③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；‎ ‎④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD．‎ 其中为真命题的是(　D　)‎ A．①②　　 B．②③　　　　‎ C．②④　　 D．①④‎ 解析 ①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD．④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC．‎ 二、填空题 ‎7．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为__②④__.‎ ‎①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；‎ ‎②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；‎ ‎③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；‎ ‎④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线．‎ 解析 对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若m⊂α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确．‎ ‎8．(2018·吉林长春模拟)如图所示，在直角梯形ABCD 中，BC⊥DC，AE⊥DC，N，M分别是AD，BE的中点， 将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是__①②__(填上所有正确的序号)．‎ ‎①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；‎ ‎②不论D折至何位置都有MN⊥AE；‎ ‎③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB．‎ 解析 ①如图，分别取EC，DE的中点P，Q，由已知易知四边形MNQP为平行四边形，则MN∥PQ，又PQ⊂平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；‎ ‎②取AE的中点O，易证NO⊥AE，MO⊥AE.故AE⊥平面MNO，又MN⊂平面MNO，则AE⊥MN，②正确；‎ ‎③∵D∉平面ABC，∴N∉平面ABC，又A，B，M∈平面ABC，‎ ‎∴MN与AB异面，③错误．‎ ‎9．如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B‎1F的长为____.‎ 解析 设B‎1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，‎ DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.‎ 由已知可以得A1B1＝.‎ 设Rt△AA1B斜边AB1上的高为h，则DE＝h.‎ 又2×2＝h，所以h＝，DE＝.‎ 在Rt△DB1E中，B1E＝＝.‎ 由面积相等得×＝x，得x＝.‎ 即线段B‎1F的长为.‎ 三、解答题 ‎10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．‎ ‎(1)求证：SD⊥平面ABC；‎ ‎(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．‎ 证明 (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC．‎ 在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，‎ 所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD．‎ 又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．‎ ‎(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．‎ 由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC．‎ ‎11．(2018·河南郑州模拟)如图，已知三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．‎ ‎(1)证明：MN∥平面AA′C′C；‎ ‎(2)设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．‎ 解析 (1)证明：如图，取A′B′的中点E，连接ME，NE.‎ 因为E，N分别为A′B′和B′C′的中点，所以NE∥A′C′，ME∥BB′∥AA′.‎ 又A′C′⊂平面AA′C′C，NE⊄平面AA′C′C，‎ 所以NE∥平面AA′C′C，同理ME∥平面AA′C′C，‎ 又EM∩EN＝E，所以平面MNE∥平面AA′C′C，‎ 因为MN⊂平面MNE，所以MN∥平面AA′C′C．‎ ‎(2)当λ＝时，CN⊥平面A′MN，证明如下：‎ 连接BN，设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa，‎ 由题意知BC＝λa，CN＝BN＝，‎ 因为三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，‎ 所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，‎ 因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，‎ 所以A′N⊥平面BB′C′C，所以CN⊥A′N，‎ 要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，‎ 所以CN2＋BN2＝BC2，即2＝2λ‎2a2，‎ 解得λ＝，故当λ＝时，CN⊥平面A′MN.‎ ‎12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝，BC＝1，D，E两点分别是边AB，AC的中点，现将△ABC沿DE折成直二面角A－DE－B．‎ ‎(1)求证：平面ADC⊥平面ABE；‎ ‎(2)求直线AD与平面ABE所成角的正切值．‎ 解析 (1)证明：∵D，E两点分别是边AB，AC的中点，‎ ‎∴DE∥BC．‎ ‎∵∠B＝90°，∠ADE＝90°，∴DE⊥AD，DE⊥BD，‎ ‎∴∠ADB为二面角A－DE－B的平面角，∵∠ADB＝90°，‎ ‎∴AD⊥平面BCD．又∵BE⊂平面BCD，∴AD⊥BE.‎ 又∵BD＝，DE＝，BC＝1，即＝，‎ ‎∴△BDE∽△CBD，∴∠EBD＝∠DCB，‎ ‎∴∠EBD＋∠BDC＝90°，‎ ‎∴BE⊥DC．又∵DC∩AD＝D，∴BE⊥平面ADC．‎ 又∵BE⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面ADC．‎ ‎(2)设BE交CD于H，连接AH，过点D作DO⊥AH于O.‎ ‎∵AD⊥BE，BE⊥DH，又∵AD∩DH＝D，‎ ‎∴BE⊥平面ADH.‎ ‎∵DO⊂平面ADH，∴BE⊥DO.‎ 又∵DO⊥AH，BE∩AH＝H，∴DO⊥平面ABE，‎ ‎∴∠DAO为AD与平面ABE所成的角．‎ 在Rt△BDE中，BD＝，DE＝，∴DH＝＝.‎ 在Rt△ADH中，tan∠DAO＝＝×＝，‎ ‎∴直线AD与平面ABE所成角的正切值为.‎