2019届二轮复习 函数与导数学案（全国通用）
回扣8 函数与导数
1．函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为，当a<0时，值域为；
③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
3．关于函数周期性、对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；
②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；
③设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期．
(2)函数图象的对称性
①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，
即f(x)＝f(2a－x)，
则f(x)的图象关于直线x＝a对称；
②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，
即f(x)＝－f(2a－x)，
则f(x)的图象关于点(a,0)对称；
③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
4．函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．
①单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．
5．函数图象的基本变换
(1)平移变换
y＝f(x)y＝f(x－h)，
y＝f(x)y＝f(x)＋k.
(2)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ωx)，
y＝f(x)y＝Af(x)．
(3)对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)，
y＝f(x)y＝f(－x)，
y＝f(x)y＝－f(－x)．
6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0,1)点；
y＝logax(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点．
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；
当0
0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；
③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．
10．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域；
②解方程f′(x)＝0；
③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：
若左正右负，则x0为极大值点；
若左负右正，则x0为极小值点；
若不变号，则x0不是极值点．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤
①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；
②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．
2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．
3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性容易忽视字母a的取值讨论，忽视ax
>0；对数函数y＝logax(a>0，a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．
6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
7．已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)>0(<0)的解集为(a，b)．
8．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．
1．若曲线f(x)＝x4－4x在点A处的切线平行于x轴，则点A的坐标为( )
A．(－1,2) B．(1，－3)
C．(1,0) D．(1,5)
答案 B
解析 对f(x)＝x4－4x，求导得f′(x)＝4x3－4，由在点A处的切线平行于x轴，可得4x3－4＝0，解得x＝1，即点A的坐标为(1，－3)．
2．若函数f(x)＝则f(－3)的值为( )
A．5 B．－1 C．－7 D．2
答案 D
解析 依题意，f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)
＝f(－1＋2)＝f(1)＝1＋1＝2，故选D.
3．若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为( )
答案 C
解析 根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A，D；从适合f′(x)＝0的点可以排除B，故选C.
4．(2016·全国Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )
答案 D
解析 f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；当x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，当x∈时，f′(x)<×4－e0＝0，因此f(x)在上单调递减，排除C，故选D.
5．函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意可知，f(0)＝－2<0，f＝－1>0，f＝－2<0，
根据函数零点的判定定理知，零点所在的区间为，故选C.
6．已知函数f(x)为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f(log2m)时，f＝f，则f(6)等于( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
答案 D
解析 当x>时，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．当x<0时，f(x)＝x3－1且当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( )
A．11或18 B．11
C．18 D．17或18
答案 C
解析 ∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，
又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，
即解得或
而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．
∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.
10．已知奇函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，当x>0时，有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 018)2f(x＋2 018)＋4f(－2)<0的解集为( )
A．(－∞，－2 016) B．(－2 016，－2 012)
C．(－∞，－2 018) D．(－2 016,0)
答案 A
解析 由题意观察联想可设g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，结合条件x>0,2f(x)＋xf′(x)>x2，得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0，g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
又f(x)为R上的奇函数，所以g(x)为奇函数，
所以g(x)在(－∞，0)上为增函数．
由(x＋2 018)2f(x＋2 018)＋4f(－2)<0，
可得(x＋2 018)2f(x＋2 018)<4f(2)，
即g(x＋2 018)0.02，
所以0≤x≤1不合题意，
又由x>1，得·x≤，得x≤，
所以x≥4，故至少要过4小时后才能开车．
13．偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝，若直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是________．
答案
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)可知，函数关于x＝1对称，因为f(x)是偶函数，所以f(1－x)＝f(1＋x)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期是2，由y＝f(x)＝，得(x－1)2＋y2＝1(y≥0，x∈[0,1])，
作出函数y＝f(x)和直线y＝k(x＋1)的图象，
要使直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则由图象可知，0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．
答案
解析 f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，
由f′(x)＝0，得x＝±a，
当－aa或x<－a时，f′(x)>0，函数单调递增．
∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，
解得a>.∴a的取值范围是.
15．已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
(2)若a＝0，x0<1，设直线y＝g(x)为函数f(x)的图象在x＝x0处的切线，求证：f(x)≤g(x)．
(1)解 易得f′(x)＝－，
由已知f′(x)≥0对x∈(－∞，2)恒成立，
故x≤1－a对x∈(－∞，2)恒成立，
∴1－a≥2，∴a≤－1.
故实数a的取值范围为(－∞，－1]．
(2)证明 若a＝0，则f(x)＝.
函数f(x)的图象在x＝x0处的切线方程为
y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)．
令h(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，x∈R，
则h′(x)＝f′(x)－f′(x0)
＝－＝.
设φ(x)＝(1－x)－(1－x0)ex，x∈R，
则φ′(x)＝－－(1－x0)ex，∵x0<1，∴φ′(x)<0，
∴φ(x)在R上单调递减，又φ(x0)＝0，
∴当x0，当x>x0时，φ(x)<0，
∴当x0，当x>x0时，h′(x)<0，
∴h(x)在区间(－∞，x0)上为增函数，在区间(x0，＋∞)上为减函数，
∴当x∈R时，h(x)≤h(x0)＝0，
∴f(x)≤g(x)．
16．已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围．
解 (1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－，
∴当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，
单调递减区间为(0，＋∞)．
(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，
则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.
∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，
∴φ′(x)＝＝－.
①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，
∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1；
②当t≤0时，φ′(x)≥0，φ(x)在[0,1]上单调递增，
∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；
③当0
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