【数学】2018届一轮复习苏教版9-4直线与圆、圆与圆的位置关系教案（江苏专用）
9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.
d
r⇔相离.
(2)代数法：
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离
d＝＝<1.
所以直线与圆相交.
(2)直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内.
∴直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交.
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
过点A(，1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
答案 [0，]
解析 设直线l的方程为y－1＝k(x－)，则圆心到直线l的距离d＝，因为直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，所以d≤1，即≤1，得0≤k≤.
题型二 圆与圆的位置关系
例2 (1)(2016·山东改编)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是________.
(2)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________.
答案 (1)相交 (2)(－2，0)∪(0,2)
解析 (1)∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，
圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，
由勾股定理得2＋()2＝a2，解得a＝2.
∴M(0,2)，r1＝2.
又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，
∴MN＝＝，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.
∴r1－r2＜MN＜r1＋r2，
∴两圆相交.
(2)圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0<<2＋2，
∴0<|a|<2.
∴a∈(－2，0)∪(0,2).
思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长.
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论.
已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切；
(2)m取何值时两圆内切；
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解 (1)两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.
当两圆外切时，＝＋，
解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因为定圆的半径小于两圆圆心间距离5，
故只有－＝5，解得m＝25－10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为
2＝2.
题型三 直线与圆的综合问题
命题点1 求弦长问题
例3 (2016·全国丙卷)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB＝2，则CD＝________.
答案 4
解析 设AB的中点为M，
由题意知，圆的半径R＝2，AB＝2，所以OM＝3，
解得m＝－，
由解得A(－3，)，B(0，2)，
则AC的直线方程为y－＝－(x＋3)，
BD的直线方程为y－2＝－x，
令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以CD＝4.
命题点2 直线与圆相交求参数范围
例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求MN.
解 (1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，
所以<1.
解得－)，
则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍).
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，
则kAN＝－kBN⇒＋＝0
⇒＋＝0
⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0
⇒－＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立.
