福建省南平市邵武市第四中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

福建省南平市邵武市第四中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

数学试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知向量，则下列向量中与平行的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行的定义知与平行，由此判断选项,即可求解．‎ ‎【详解】由题意，向量，则与平行，‎ 时，．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了共线向量的概念，以及向量的坐标表示，其中解答中熟记向量的共线表示是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎2.过点（1，1）的抛物的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题抛物线过点（1,1）可求得抛物线方程，化成标准形式即可得出焦点坐标.‎ ‎【详解】因为抛物过点（1，1），‎ 将点的坐标代入抛物线方程得：，‎ 抛物线方程：，焦点在轴，焦点坐标.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查抛物线的标准方程，通过标准方程求出焦点坐标，易错点在于弄错开口方向和焦点所在的位置.‎ ‎3.已知命题的否定是，命题双曲线 的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 命题的否定是，则命题是真命题 双曲线中，，则离心率，故命题为假命题 则是真命题，其余为假命题 故选 ‎4.若两个向量,则平面的一个法向量为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设平面ABC的法向量为，根据数量积等于0，列出方程组，即可求解.‎ ‎【详解】设平面ABC法向量为，‎ 则，即，令，则，‎ 即平面ABC的一个法向量为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面的法向量的求解，其中解答中根据法向量与平面内的两个不共线的向量垂直，列出关于的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎5.函数在区间上的平均变化率等于（　 ）‎ A. B. C. D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出：，化简即可.‎ ‎【详解】由题：‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查函数在某区间平均变化率的基本计算，考查对基本概念的掌握和基本运算能力，易错点在于容易出现计算出错.‎ ‎6.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．‎ ‎【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．‎ ‎【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．‎ ‎7.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：根据题意，结合椭圆的性质，可得，进而可得，再由双曲线的渐近线方程的定义可得答案．‎ 详解：根据题意，椭圆的离心率为，‎ 则有，即，‎ 则双曲线的渐近线方程为，即，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了椭圆的离心率以及双曲线的渐近线定义，解本题时，注意椭圆与双曲线的标准方程中，、的意义与相互间的关系.‎ ‎8.椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意可得：|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,而结合椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a,‎ ‎∴2a=4，2c=2，由a2=b2+c2，∴b2=3‎ ‎∴椭圆的方程为，选B.‎ 考点：本试题主要考查了椭圆方程求解．‎ 点评：解决该试题的关键是根据已知的等差中项的性质得到a,,bc,关系式，结合a2=b2+c2,‎ 求解得到其方程．‎ ‎9.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．‎ ‎10.已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故选B．‎ ‎11.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与 的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 为等边三角形，不妨设 为双曲线上一点，‎ 双曲线上一点,‎ 由 在中运用余弦定理得：‎ ‎,‎ 故答案选 点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率．‎ ‎12.若函数y=f（x）在区间D上是增函数，且函数y=在区间D上是减函数，则称函数f（x）是区间D上的“H函数”．对于命题：‎ ‎①函数f（x）=-x+是区间（0，1）上的“H函数”；‎ ‎②函数g（x）=是区间（0，1）上的“H函数”．下列判断正确的是（　　）‎ A. 和均为真命题 B. 为真命题，为假命题 C. 为假命题，为真命题 D. 和均为假命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①，求得函数f（x）=-x+的导数，即可判断单调性；‎ 对于②，函数g（x）=即为g（x）=，考虑y=-x在（0，1）上y＞0，且递减，可得g（x）单调性，再由y=在（0，1）的单调性，可判断结论．‎ ‎【详解】函数f（x）=-x+的导数为f′（x）=-1+，‎ 可得f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，不满足新定义，‎ 不是区间（0，1）上的“H函数”；‎ ‎②函数g（x）=即为g（x）=，‎ 由y=-x在（0，1）上y＞0，且递减，‎ 可得g（x）在（0，1）递增；‎ 又y==在（0，1）递增，‎ 则g（x）是区间（0，1）上的“H函数”，‎ 则①为假命题，②为真命题，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的判断，注意运用导数和性质，考查运算能力，属于基础题．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．‎ ‎【答案】e ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】由函数的解析式可得：，‎ 则，‎ 即的值为e，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎14.函数在点处的切线方程为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出该点坐标和导函数，该点的导数值即为此处切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简可得.‎ ‎【详解】由题：，，‎ 所以函数在处的切线斜率，‎ 所以切线方程：，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】此题考查导数的几何意义，求函数在某点处的切线方程，易错点在于容易混淆函数值与导数值，考查基本运算，是基础题.‎ ‎15.直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过补图：补一个完全相同的直三棱柱使它们底面重合，构成一个新的直三棱柱将异面直线平移求解.‎ ‎【详解】补一个与直三棱柱ABCA1B1C1完全相同的直三棱柱使它们底面重合，形成一个新的直三棱柱，如图所示：‎ ‎∥，且，所以四边形是平行四边形，∥，‎ 所以异面直线BA1与AC1所成角就是直线与AC1所成角，‎ 由题∠BAC＝90°，设AB＝AC＝AA1=1，则，，，‎ 在中，由余弦定理：‎ 所以，则直线与AC1所成角，‎ 所以异面直线BA1与AC1所成角.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查求异面直线的夹角，常规解法通过平移转化成解三角形问题，在几何体中适当使用补图可以更加直观，简化运算.‎ ‎16.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.‎ ‎【详解】方法1：由题意可知，‎ 由中位线定理可得，设可得，‎ 联立方程 可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，‎ 求得，所以 方法2：焦半径公式应用 解析1：由题意可知，‎ 由中位线定理可得，即 求得，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知函数，且，‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求函数的单调递减区间 ‎【答案】(1) (2) 单调递减区间为 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，依次代入，即可求解；‎ ‎（2）根据第一问的结果，求出导函数，解不等式即可.‎ ‎【详解】(1)‎ 所以，解得综上所述 ‎ ‎(2) =‎ 令，解得或 令，解得 所以的单调增区间为和，单调递减区间为 ‎ ‎【点睛】此题考查根据已知求参数值和利用导函数求函数的单调区间，易错点在于计算出错和不等式求解出错.‎ ‎18.命题关于的不等式命题函数 求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 容易求出命题p为真时，﹣2＜a＜2，而q为真时，a＜1．由p∨q为真，p∧q为假便可得到p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况的a的范围，再求并集即可得出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】①若命题p为真，则：△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2；‎ ‎②若命题q为真，则：3﹣2a＞1，∴a＜1；‎ ‎∴p∨q为真，p∧q为假，则p真q假，或p假q真；‎ ‎∴，或；‎ ‎∴1≤a＜2，或a≤﹣2；‎ ‎∴实数a的取值范围为．‎ ‎【点睛】“”，“”“”等形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题的真假；（3）确定“”，“”“”等形式命题的真假.‎ ‎19.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）求二面角P﹣AB﹣D的大小．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) 45°．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过证明AB⊥平面PAD得出面面垂直；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的大小.‎ ‎【详解】证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，AB⊥AD，‎ PD⊥底面ABCD，平面ABCD，‎ ‎∴AB⊥PD，又AD∩PD＝D，∴AB⊥平面PAD，‎ ‎∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．‎ ‎（2）由（1）AB⊥平面PAD，所以CD⊥平面PAD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设PD＝DC＝DP＝2，则A（2，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），‎ ‎（﹣2，0，2），（0，2，0），‎ 设平面PAB的法向量（x，y，z），‎ 则，‎ 取x＝1，得（1，0，1），平面ABD的法向量（0，0，1），‎ 设二面角P﹣AB﹣D的大小为θ，则cosθ，θ＝45°，‎ ‎∴二面角P﹣AB﹣D的大小为45°．‎ ‎【点睛】此题考查面面垂直的证明和二面角大小的求法，对基本方法的考查；建立空间直角坐标系利用向量法求二面角的大小可以考虑让两个法向量方向“一进一出”，则法向量所成角即二面角的大小.‎ ‎20.已知椭圆.‎ ‎（1）求椭圆C的离心率e；‎ ‎（2）若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积.‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将椭圆的方程化为标准方程，得出、与的等量关系，可得出椭圆的离心率的值；‎ ‎（2）设直线的方程为，设点、，将的值代入得出椭圆的方程，将直线的方程与椭圆联立，消去，列出韦达定理，利用弦长公式结合条件可求出，利用点到直线的距离公式计算出原点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可得出的面积.‎ ‎【详解】（1）椭圆，椭圆长半轴长为，短半轴长为，‎ ‎；‎ ‎（2）设斜率为的直线的方程为，且、，‎ ‎，椭圆的方程为，‎ 由，.消去得，又有.‎ ‎，‎ 解得：满足，直线的方程为.‎ 故到直线的距离，.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查椭圆中的弦长与三角形面积的计算，一般将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式进行计算求解，难点在于计算量大，属于中等题.‎ ‎21.如图，在多面体中，平面平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且，是边长为1的等边三角形，M为线段中点，.‎ ‎(1)求证：； ‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎(3)线段上是否存在点N，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）线段BD上存在点N,使得直线平面AFN，且，详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据面面垂直的性质定理证得平面，由此证得.（2）取中点，中点，连接，证得两两垂直.分别以为轴建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量计算出线面角的正弦值.（3）通过向量共线设出点坐标，求得的坐标，根据列方程，解方程求得的值，由此证得存在点符合题意.‎ ‎【详解】(1)证明：因为为正方形，‎ 所以．‎ 又因为平面平面，‎ 且平面平面，‎ 所以平面．‎ 所以． ‎ ‎(2)取AD中点O,EF中点K，连接OB，OK.于是在△ABD中，，在正方ADEF中，又平面平面，故平面，进而，‎ 即两两垂直． ‎ 分别以x轴，y轴,z轴 建立空间直角坐标系（如图）．‎ 于是，，,,,‎ 所以 设平面的一个法向量为，‎ 则 即 ‎ 令，则，则．‎ 设直线与平面所成角为， ‎ ‎(3) 要使直线平面，只需，‎ 设,则,‎ ‎,‎ ‎，所以,‎ 又 ，由得 解得 所以线段BD上存在点N,使得直线平面AFN，且．‎ ‎【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查利用空间向量法求线面角的正弦值，考查利用空间向量法求解存在性问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎22.如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线恒过定点 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程；（Ⅱ）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入消去y，设 P，Q，利用韦达定理，通过BP⊥BQ，化简求出，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入，消去y，解得x，设 P ‎，转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标 试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为．依题意，得，‎ 且，‎ 解得．‎ 所以，椭圆的方程是．‎ ‎（Ⅱ）证法一：易知，直线的斜率存在，设其方程为．‎ 将直线的方程代入，‎ 消去，整理得．‎ 设，，‎ 则，．（1）‎ 因为，且直线的斜率均存在，‎ 所以， 整理得．（2）‎ 因为，，‎ 所以，．（3）‎ 将（3）代入（2），整理得 ‎．（4）‎ 将（1）代入（4），整理得．‎ 解得，或（舍去）．‎ 所以，直线恒过定点．‎ 证法二：直线的斜率均存在，设直线的方程为．‎ 将直线的方程代入，消去，得 解得，或．‎ 设，所以，，‎ 所以．‎ 以替换点坐标中的，可得．‎ 从而，直线的方程是．‎ 依题意，若直线过定点，则定点必定在轴上．‎ 在上述方程中，令，解得．‎ 所以，直线恒过定点．‎ 考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程