【数学】2018届一轮复习人教A版1-3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版1-3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案

‎§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎  考纲展示►‎ ‎  考点1 含有逻辑联结词的命题及其真假判断 简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的________、________、________叫做逻辑联结词.‎ ‎(2)命题p∧q,p∨q,綈p的真假判定:‎ p q p∧q p∨q 綈p 真 真 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ 真 假 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ 假 真 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ 假 假 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ 答案:(1)且 或 非 ‎(2)真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 ‎(1)[教材习题改编]命题“28是7的倍数也是2的倍数”含有逻辑联结词________,是________命题.(填“真”或“假”)‎ 答案:且 真 解析:这是一个p∧q型命题, 若p,q都是真命题,则p∧q 是真命题,所以“28是7的倍数也是2的倍数”是真命题.‎ ‎(2)[教材习题改编]若p:y=2x是偶函数,q:y=2x是递增函数,则命题p∨q是________命题,命题p∧q是________命题(填“真”或“假”).‎ 答案:真 假 含逻辑联结词的命题真假的判断方法:真值表法.‎ 已知命题p:∃x0∈R,x+≤2,命题q是命题p的否定,则命题p,q,p∧q,p∨q中是真命题的是________.‎ 答案:p,p∨q 解析:当x0=1时,x+=2,所以p是真命题,则q是假命题,p∧q是假命题,p∨q是真命题.‎ ‎[典题1] (1)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(  )‎ A.(綈p)∨(綈q) B.p∨(綈q)‎ C.(綈p)∧(綈q) D.p∨q ‎[答案] A ‎[解析] 解法一:命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况:“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围,乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围,甲没有降落在指定范围”,故可表示为(綈p)∨(綈q).‎ 解法二:命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否定,即“p∧q”的否定.故选A.‎ ‎(2)已知命题p:函数y=e|x-1|的图象关于直线x=1对称,q:函数y=cos的图象关于点对称,则下列命题中是真命题的为(  )‎ A.p∧q B.p∧(綈q)‎ C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)‎ ‎[答案] A ‎[解析] 函数y=e|x-1|的图象如图所示.‎ 所以其图象关于直线x=1对称,所以命题p正确;‎ y=cos=0,所以函数y=cos的图象关于点对称,‎ 所以命题q正确,所以“p∧q”正确.‎ ‎[点石成金] 1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤 ‎2.“或”——一真即真,“且”——一假即假,“非”——真假相反.‎ 考点2 全(特)称命题的否定及其真假判定 ‎1.全称量词和存在量词 ‎(1)全称量词有“所有的,任意一个,任给一个”,用符号“________”表示;存在量词有“存在一个,至少有一个,有些”,用符号“________”表示.‎ ‎(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.“对M中任意一个x,有p(x)成立”用符号简记为:____________.‎ ‎(3)含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在M中元素x0,使p(x0)成立”用符号简记为:____________.‎ 答案:(1)∀ ∃ (2)∀x∈M,p(x) (3)∃x0∈M,p(x0)‎ ‎2.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M,p(x)‎ ‎________________‎ ‎∃x0∈M,p(x0)‎ ‎________________‎ 答案:∃x0∈M,綈p(x0) ∀x∈M,綈p(x)‎ ‎(1)[教材习题改编]命题“∃x0∈R,x+2x0+3=‎0”‎中含有________量词,其否定是____________________________.‎ 答案:存在 ∀x∈R,x2+2x+3≠0‎ 解析:这是一个特称命题,特称命题的否定是全称命题,将存在量词改为全称量词,再将结论否定,所以,命题的否定是“∀x∈R,x2+2x+3≠‎0”‎.‎ ‎(2)[教材习题改编]命题“∀x∈R,x2+x+1>‎0”‎的否定为________.‎ 答案:∃x0∈R,x+x0+1≤0‎ 特称命题为真的判断方法:只要找到一个对象使结论成立即可.‎ 命题p:∃x0∈R,2x0<x,则命题p为________命题.(填“真”或“假”)‎ 答案:真 解析:当x0=3时,23<32,故命题p为真命题.‎ ‎[考情聚焦] 全称命题与特称命题是高考的常考内容,题型多为选择题,难度较小,属容易题.‎ 主要有以下几个命题角度:‎ 角度一 全称命题、特称命题的否定 ‎[典题2] (1)已知命题p:∃x0∈R,sin x0<x0,则綈p为(  )‎ A.∃x0∈R,sin x0=x0 ‎ B.∀x∈R,sin x<x C.∃x0∈R,sin x0≥x0 ‎ D.∀x∈R,sin x≥x ‎[答案] D ‎[解析] 原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即綈p:∀x∈R,sin x≥x.‎ ‎(2)命题“对任意x∈R,都有x2≥ln ‎2”‎的否定为(  )‎ A.对任意x∈R,都有x20‎ B.∀x∈N*,(x-1)2>0‎ C.∃x0∈R,ln x0<1‎ D.∃x0∈R,tan x0=2‎ ‎[答案] B ‎[解析] 因为2x-1>0,对∀x∈R恒成立,所以A是真命题;当x=1时,(x-1)2=0,所以B是假命题;存在0< x00,x+≥4;命题q:∃x0∈(0,+∞),2x0=,则下列判断正确的是(  )‎ A.p是假命题 ‎ B.q是真命题 C.p∧(綈q)是真命题 ‎ D.(綈p)∧q是真命题 ‎[答案] C ‎[解析] 当x>0时,x+≥2=4,p是真命题;当x>0时,2x>1,q是假命题,所以p∧(綈q)是真命题,(綈p)∧q是假命题.‎ ‎[点石成金] 1.全称命题真假的判断方法 ‎(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立.‎ ‎(2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可.‎ ‎2.特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题.‎ 考点3 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题 ‎[典题4] 已知命题p:关于x的不等式ax>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},命题q ‎:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] 由关于x的不等式ax>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},知0<a<1;‎ 由函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,‎ 知不等式ax2-x+a>0的解集为R,‎ 则解得a>.‎ 因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,‎ 所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”,‎ 故或 解得a≥1或0n B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0‎ D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0‎ 答案:D 解析:写全称命题的否定时,要把量词∀改为∃,并且否定结论,注意把“且”改为“或”.‎ ‎3.[2015·新课标全国卷Ⅰ]设命题p:∃n∈N,n2>2n,则綈p为(  )‎ A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 答案:C 解析:因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,綈p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C.‎ ‎4.[2015·山东卷]若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.‎ 答案:1‎ 解析:由题意,原命题等价于tan x≤m在区间上恒成立,即y=tan x在上的最大值小于或等于m.又y=tan x在上的最大值为1,所以m≥1,即m的最小值为1.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围 以逻辑联结词为工具,与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,根据命题的真假求参数的取值范围在模拟题中也常出现,题型为选择题或填空题.‎ ‎[典例1] 给定命题p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0成立;q:关于x的方程x2-x+‎ a=0有实数根.如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,那么实数a的取值范围为________.‎ ‎[答案] (-∞,0)∪ ‎[解析] 当p为真命题时,‎ ‎“对任意实数x都有ax2+ax+1>0成立”⇔a=0或所以0≤a<4.‎ 当q为真命题时,“关于x的方程x2-x+a=0有实数根”⇔Δ=1-‎4a≥0,所以a≤.‎ 因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,‎ 所以p,q一真一假.‎ 若p真q假,则
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