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文档介绍
2020-2021年新高三数学一轮复习考点 常用逻辑用语
2020-2021 年新高三数学一轮复习考点 常用逻辑用语 1.最新考试说明： （1）考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的命题． 【2020 年高考全国Ⅱ卷文理 16】设有下列四个命题： 1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，则 lm ． 则下述命题中所有真命题的序号是 ． ① 41 pp ② 21 pp ③ 32 pp ④ 43 pp 【答案】①③④ 【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题 1p 的真假；利用三点共线可判断命题 2p 的真假；利 用异面直线可判断命题 3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 4p 的真假．再利用复合命题的真假可得 出结论． 【解析】对于命题 ，可设 1l 与 2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若 3l 与 相交，则交点 A 在平面 内， 同理 与 的交点 B 也在平面 内，∴ AB ，即 3l ，命题 为真命题；对于命题 ，若三点共线， 则过这三个点的平面有无数个，命题 为假命题；对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题 为假命题；对于命题 ，若直线 m 平面 ，则 m 垂直于平面 内所有直线， 直线 l 平面 ， 直线 直线 l ，命题 为真命题．综上可知， 14pp 为真命题， 12pp 为假命题， 23pp 为真命题， 34pp 为真命题．故答案为：①③④． 【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活应用，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合 命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位 置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义及其真值表． （2）考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进 行否定． 【2015 新课标】设命题 p ： nN ， 2 2 nn ，则 p 为（ ） A． 2,2nn N n B． 2,2nn N n ≤ C． 2,2nn N n ≤ D． 2,2nn N n = 【答案】C 【解析】命题 p 是一个特称命题，其否定是全称命题． 【2015 浙江】命题“ **N , ( ) Nn f n 且 ()f n n≤ 的否定形式是 A． **N,()Nnfn 且 ()f n n B． **N,()Nnfn 或 C． ** 00N,()Nnfn 且 00()f n n D． ** 00N,()Nnfn 或 【答案】D 【解析】 根据全称命题的否定是特称命题，因此命题“ 且 ”的否定为 “ 或 ”可知选 D． （3）了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系． 【2020 年高考全国Ⅱ卷文理 16】设有下列四个命题： 1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线 l 平面 ，直线 m 平面 ，则 lm ． 则下述命题中所有真命题的序号是 ． ① 41 pp ② 21 pp ③ 32 pp ④ 43 pp 【答案】①③④ 【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题 1p 的真假；利用三点共线可判断命题 2p 的真假；利 用异面直线可判断命题 3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 4p 的真假．再利用复合命题的真假可得 出结论． 【解析】对于命题 ，可设 1l 与 2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若 3l 与 相交，则交点 A 在平面 内， 同理 与 的交点 B 也在平面 内，∴ AB ，即 3l ，命题 为真命题；对于命题 ，若三点共线， 则过这三个点的平面有无数个，命题 为假命题；对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题 3p 为假命题；对于命题 4p ，若直线 m 平面 ，则 m 垂直于平面 内所有直线， 直线 l 平面 ， 直线 直线 l ，命题 为真命题．综上可知， 14pp 为真命题， 12pp 为假命题， 23pp 为真命题， 34pp 为真命题．故答案为：①③④． 【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活应用，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合 命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位 置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义及其真值表． （4）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 【2020 年高考浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，则“m，n，l 在同一平面”是“m，n，l 两两相交”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由已知 ,,m n l 不过同一点，当 两两相交时， 在同一平面内；但当m // n ， l 与它 们相交时， 也在同一平面内，故选 B． 【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查充分条件、必要 条件及充要条件的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线 面的位置关系，理解充分条件、必要条件及充要条件的定义． 【2019 年高考天津理数】设 x R ，则“ 2 50xx”是“ |1|1x ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由 可得05x，由 可得02x，易知由 推不出 ， 由 能推出 ，故 是 的必要而不充分条件，即“ 2 50xx”是 “| 1| 1x ”的必要而不充分条件.故选 B. 【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到 x 的取值范围. 2.命题方向预测： （1）全称命题、特称命题的否定、真假的判断及逻辑联结词是高考的热点，常与其他知识相结合命题．题 型一般为选择题，属容易题．相关内容往往与充要条件等轮番出现在高考题中，有时与相关内容同时考查． （2）四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点. (3)题型主要以选择题、填空题的形式出现． （4）本节知识常与集合、函数、不等式、数列、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数、平面解析 几何等知识结合，复习中在理解命题及其关系、充分条件与必要条件等基础知识的同时，重在掌握其它相 关数学知识. 3.课本结论总结： （1）一个关系 逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、 补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题． （2）两类否定 ①含有一个量词的命题的否定 (i)全称命题的否定是特称命题 全称命题 p： x∈M，p(x)，它的否定¬p： x0∈M，¬p(x0)． (ii)特称命题的否定是全称命题 特称命题 p： x0∈M，p(x0)，它的否定¬p： x∈M，¬p(x)． ②复合命题的否定 (i) ¬ (p∧q) (¬p)∨(¬q)；(ii) ¬ (p∨q) (¬p)∧(¬q)． (3)三条规律 ①对于“p∧q”命题：有假则假； ②对“p∨q”命题：有真则真； ③对“¬p”命题：与“p”命题真假相反． （4）命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命 题，判定为假的命题叫假命题. （5）四种命题及其关系 ①四种命题及其关系 ②四种命题的真假关系 逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题，它们的真假没 有关系. (6)充分条件与必要条件 ①若 pq ，则 p 是 q 充分条件， q 是 的必要条件. ②若 ，且 qp ，则 是 充要条件 4.名师二级结论： （1）命题的否定形式： 原语句 是 都是 至少有一 个 至多有一 个 Ax 使 p(x)真 Bx 0 使 p(x0)成立 ＞ 否定形式 不是 不都是 一个也没 有 至少有两 个 Ax 0 使 p(x０)假 Bx 使 p(x)不成 立 (2) 复合命题的否定 ① ¬ (p∧q) (¬p)∨(¬q)； ② ¬ (p∨q) (¬p)∧(¬q)． (3) 常见结论的否定形式 (4)充要条件判定方法 ①定义法：若 ，则 是 充分条件；若 ，则 是 必要条件；若 ，且 ，则 结 论 是 都 是 大 于 小 于 至少 一个 至多 一个 至少 n 个 至多有 个 对所有 x ，成 立 p 或 q 且 对任何 ，不 成立 否 定 不 是 不 都 是 不 大 于 不 小 于 一个 也没 有 至少 两个 至多有 （ 1n ） 个 至少有 （ 1n ） 个 存在某 ，不 成立 p 且 q 或 存在某 ，成 立 是 q 充要条件. ②集合法：若满足条件 p 的集合为 A，满足条件 q 的集合为 B，若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 B A，则 是 必要不充分条件；若 A=B 则， 是 充要条件。 对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法. ③利用原命题与逆命题的真假判断 若原命题为“若 p 则 q ”，则有如下结论： （1）若原命题为真逆命题为假，则 是 的充分不必要条件； （2）若原命题为假逆命题为真，则 是 的必要不充分条件； （3）若原命题与逆命题都为真，则 是 的充要条件； （4）若原命题与逆命题都为假，则 是 的既不充分也不必要条件 5.课本经典习题： (1)新课标 A 版选修 2-1 第 17 页，例 4 题 写出下列命题的否定，并判断它们的真假： （1）p：y=sinx 是周期函数；（2）p：３＜２；（3）p：空集是集合 A 的子集。 解答：（1）¬p：y=sinx 不是周期函数；命题 p 是真命题，¬p 是假命题； （2）¬p：３ ２；命题 p 是假命题，¬p 是真命题； （3）¬p：空集不是集合 A 的子集。命题 p 是真命题，¬p 是假命题； 【经典理由】命题的否定与否命题是学生最易搞错弄混的，同时命题真假的判断也最是容易出错的，这个 也是高考命题的常考点。 (2) 新课标 A 版选修 2-1 第 24 页，例 3 题及第 25 页，例 4 题： 例 3 写出下列全称命题的否定： （1）p：所有能被 3 整除的整数都是奇数； （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆； （3）p：对任意 2,xzx 的个位数字不等于 3． 解答：（1）¬p：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数； （2）¬p：存在一个四边形的四个顶点不共圆； （3）¬p： 2 00 , xzx 个位数字等于 3． 例 4 写出下列特称命题的否定： （1）p： 022, 0 2 00 xxRx ；（ 2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有一个素数含三个正因数． 解答：（1）¬p： 022, 2 xxRx ； （2）¬p：所有的三角形都不是等边三角形； （3）¬p：每一个素数都不含三个正因数． 【经典理由】全称命题与特称命题是新增内容，它们的否定是学生不太容易理解的，同时又是高考的常考 点，在教学中应引起足够的重视． (3)新课标 A 版第 8 页习题 1.1A 组，第 2 题 【经典理由】本题考查了命题的四种形式及其真假的判定，特别是都是的否定是一个难点，也是一个常考 点. (4)新课标 A 版第 12 页习题 1.2A 组第 3 题 【经典理由】本题主要考查了充要条件的三种判定方法，具有代表性. 6.考点交汇展示： (1) 以函数为平台考查逻辑联结词 【例】已知命题 1p ：函数 22xxy 在 R 为增函数， 2p ：函数 22xxy 在 R 为减函数，则在命题 1q ： 12pp ， 2q ： 12pp ， 3q ： 12pp和 4q ： 12pp 中，真命题是 A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 【解析】∵ 1p 是真命题，则 1p 为假命题； 2p 是假命题，则 2p 为真命题，∴ 1q ： 12pp 是真命题， 2q ： 12pp 是假命题， 3q ： 为假命题， ： 为真命题，故选 C． (2) 以不等式为平台考查逻辑联结词 【例】已知命题 p ：若 xy ，则 xy ；命题 q ：若 xy ，则 22xy ．在命题① pq ； ② pq ； ③ ()pq ；④()pq中，真命题是 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【解析】由不等式的性质可知，命题 p 是真命题，命题 q 为假命题，故① 为假命题，② 为真命 题，③ q 为真命题，则 为真命题，④ p 为假命题，则 为假命题，所以选 C． (3) 以不等式为平台考查逻辑联结词 【例】设 ,,abc是非零向量，已知命题 P：若 0ab ， 0bc ，则 0ac ；命题 q：若 / / , / /a b b c ，则 //ac，则下列命题中真命题是（ ） A． pq B． pq C． ( ) ( )pq D． ()pq 【答案】A 【解析】若 0,0 cbba ，则 cbba , ，故 ca // ，故命题 P 是假命题；若 cbba //,// ，则 ca // ， 故命题 q 是真命题，由复合命题真假的判断知 是真命题；故选 A。 （4）全称与特称与集合交汇 【例】命题“ 0xR Qð ， 3 0x Q ”的否定是 A． 0xR Qð ， 3 0x Q B． 0xR Qð ， 3 0x Q C． xR Qð ， 3x Q D． xR Qð ， 3x Q 【答案】D 【解析】存在性命题的否定为“ ”改为“ ”，后面结论加以否定，故为 3 00,RxCQ xQ ． （5）全称与特称与函数交汇 【例】下列命题中，真命题是( ) A．∃m0∈R，使函数 f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数 B．∃m0∈R，使函数 f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数 C．∀m∈R，函数 f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 D．∀m∈R，函数 f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数 【答案】A 【解析】由于当 m＝0 时，函数 f(x)＝x2＋mx＝x2 为偶函数，故“∃m0∈R，使函数 f(x)＝x2＋m0x(x∈R)为 偶函数”是真命题． 【例】若“ 0, , tan4x x m ”是真命题，则实数 m 的最小值为 . 【答案】1 【解析】若“ ”是真命题，则 m 大于或等于函数 tanyx 在 0, 4 的最大值 因为函数 ta nyx 在 0, 4 上为增函数，所以，函数 在 上的最大值为 1， 所以， 1m ，即实数 m 的最小值为 1. (6)全称与特称与不等式交汇 【例】命题“ 30,.0xxx ”的否定是 A． 30,.0xxx B． 3,0.0xxx C． 3 000 0,.0xxx D． 3 000 0,.0xxx 【答案】C 【解析】 把量词“ ”改为“ ”，把结论否定，故选 C． 【例】命题“ *xn ，RN，使得 2nx ”的否定形式是（ ） A． *xn ，RN，使得 2nx B． *xn ，RN，使得 2nx C． *xn ，RN，使得 2nx D． *xn ，RN，使得 2nx 【答案】D 【解析】 的否定是 ， 的否定是 ， 2nx 的否定是 2nx ．故选 D． (7)与集合交汇 【例】设集合 21,2,,MNa则 “ 1a ”是“ NM ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】显然 1a 时一定有 NM ，反之则不一定成立，如 1a ，故“ 1a ”是“ ” 充分 不必要条件． 【例】设U 为全集， BA, 是集合，则“存在集合C 使得 CCBCA U , 是“ BA ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】①当 CA ， CCB U ，且 CB ，则 BA ，反之当 ，必有 CCBCA U , .②当 CA ， CCB U ，且 CB ，则 BA ，反之，若 ，则 CA ， CCB U ，所以 .③当 BA ，则 ；反之， ， .综上所述，“存在集合 C 使得 是“ BA ”的充要条件. (8)与不等式交汇 【例】【2019 年高考浙江】若 a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 0 , 0a > b > 时， 2a b a b ，则当 4ab时，有 24a b a b ，解得 4ab ，充分 性成立；当 = 1 , = 4ab时，满足 ，但此时 = 5 > 4a+b ，必要性不成立，综上所述，“ ”是 “ ”的充分不必要条件. 【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”， 通过取 ,ab的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 【例】【2018 年高考天津理数】设 x R ，则“ 11||22x ”是“ 3 1x ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】绝对值不等式 ，由 .据此可知 是 的充分而不必要条件.故选 A. 【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. （9）与函数交汇 【例】【2019 年高考北京文数】设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数” 的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当 0b 时， ()cossincosfxxbxx ， ()fx为偶函数；当 为偶函数时， ( ) ( )f x f x 对任意的 x 恒成立，由 ()cos()sin()cossinfxxbxxbx ，得 cossincossin xbxxbx ， 则 s i n 0bx 对任意的 恒成立，从而 .故“ ”是“ 为偶函数”的充分必要条件. 【名师点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【例】【2017 天津，理 4】设 R ，则“ π π||12 12 ”是“ 1sin 2 ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 π π π||0 12126 1s in 2 ，但 10 ,sin 2，不满足 π π||12 12 ，所以是 充分不必要条件，选 A. （10）与平面向量结合 【例】【2019 年高考北京理数】设点 A，B，C 不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“||||ABACBC ” 的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵A､B､C 三点不共线，∴| AB + AC |>| BC | | + |>| - | | + |2> | - |2 AB · >0 与 的夹角为锐角，故“ 与 的夹角为锐角”是 “| + |>| |”的充分必要条件.故选 C. 【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数 学思想. 【例】【2017 年高考北京文数】设 m,n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 mn”是“ 0<mn ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若 0 ，使 mn，则两向量 ,mn反向，夹角是 180 ，那么 cos1800 mnmnmn ； 若 0mn ，那么两向量的夹角为 90 ,180，并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得 ， 所以是充分而不必要条件.故选 A. 【名师点睛】本题考查平面向量的知识及充分必要条件的判断，若 pq ，则 p 是 q 的充分条件，若 pq ， 则 p 是 q 的必要条件. （11）与复数交汇 【例】已知 i 是虚数单位， ,a b R ，则“ 1ab”是“ 2( ) 2a b i i”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A. 【解析】(a+bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，于是 a2－b2＝0，2ab＝2 解得 a＝b＝1 或 a＝b＝－1 ,故选 A. 【例】“实数 1a ”是“复数 ( 1 ) a i i （ ,a R i 为虚数单位）的模为 2 ”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件又不必要条件 【答案】 A 【解析】 时,即(1)1,ai iaii 其模为 ；当(1) aiiai 的模为 时， 2()12a ，解得 1a ，即“实数 ”是“复数 （ 为虚数单位）的模为 ” 的充分非必要条件，选 A . （12）与立体几何交汇 【例】【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是 A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行 C．α，β 平行于同一条直线 D．α，β 垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知： 内有两条相交直线都与 平行是∥ 的充分条件；由面面平行的 性质定理知，若∥ ，则 内任意一条直线都与 平行，所以 内有两条相交直线都与 平行是∥ 的必要条件.故 α∥β 的充要条件是 α 内有两条相交直线与 β 平行. 【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆 断. 【例】【2018 年高考浙江】已知平面 α，直线 m，n 满足 m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为 ，所以根据线面平行的判定定理得 .由 不能得出 与 内任一直 线平行，所以 是 的充分不必要条件.故选 A. 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法： （1）定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ⇒ ”为真，则 是 的充 分条件． （2）等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇔ 与非 ⇔非 的等价关系，对于条件或结论是否 定式的命题，一般运用等价法． （3）集合法：若 ⊆ ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ＝ ，则 是 的充要条件． (13)与数列交汇 【例】【2018 年高考北京文数】设 a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当 时， 不成等比数列，所以不是充分条件；当 成等比数列 时，则 ，所以是必要条件.综上所述，“ ”是“ 成等比数列”的必要不充分条件. 【名师点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“ ”以及“ ”的真假.判断一个命题为真 命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很 难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题. 【例】【2017 年高考浙江】已知等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由 46511 210212(510)SSSadadd ，可知当 0d 时，有 465 20S S S ，即 465 2S S S ，反之，若 465 2S S S ，则 0d ，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充分必要条件. 【名师点睛】本题考查等差数列的前 n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知 465 2S S S d ， 结 合充分必要性的判断，若 pq ，则 p 是 q 的充分条件，若 pq ，则 p 是 q 的必要条件，该题 “ 0d ” “ 4 6 520S S S ”，故互为充要条件． (14)与平面解析几何交汇 【例】“m<8”是“方程 x2 m－10－ y2 m－8＝1 表示双曲线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】方程 x2 m－10－ y2 m－8＝1 表示双曲线，则(m－8)·(m－10)>0，解得 m<8 或 m>10，故“m<8”是“方 程 x2 m－10－ y2 m－8＝1 表示双曲线”的充分不必要条件. 【例】直线 1l ： 10mxy 与直线 2l ：(2)10mxmy ，则“ 1m ”是“ 12ll ”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A. 【解析】 12ll(2)00m mmm 或 1m ，故是充分不必要条件，故选 A. 【考点分类】 热点 1 简单的逻辑联结词 1.【2017 山东，理 3】已知命题 p: xx＞0,ln1 ＞0 ；命题 q：若 a＞b，则 ab22＞ ，下列命题为真命题的 是 （A） pq （B） pq （C） pq （D） pq 【答案】B 2. 在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围”， q 是“乙降落在指 定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A． pq B． pq C． pq D． pq 【答案】A 【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”． 3. 设命题 p：函数 sin 2yx 的最小正周期为 2 ；命题 q：函数 c o syx 的图象关于直线 2x 对称.则下列 判断正确的是 A．p 为真 B． q 为假 C． pq 为假 D． pq 为真 【答案】C 【解析】命题 p 为假,命题 q 也为假,故选 C． 【方法规律】 1.“p∨q”、“p∧q”、“¬q”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题 p、 q 的真假；(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“¬q”形式命题的真假． 2. 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中 所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简 单命题的真假；③判断复合命题的真假． 【解题技巧】 1.判断含有含有逻辑联结词的命题的真假，一定要先确定命题的形式，再判断简单命题的真假，最后按真 值表进行． 2.真值表可记为:有真“或”为真，有假“且”为假． 【易错点睛】 1.已知命题，写出复合命“p∨q”，“ p∧q”时，一定要注意所写命题要符合真值表． 2.准确理解逻辑联结词“或”的含义：“p∨q”为真命题时，包括三种情形：p 真 q 假，p 假 q 真，p 真 q 真．如“ Ax 或 Bx ”包括：“ Ax 或 Bx ”， “ Ax 或 Bx ”， “ 或 ”三种情 况． 热点 2 全称量词与存在量词 1.命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( ) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0 【答案】C 【解析】全称命题的否定是特称命题，否定结论． 2.命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( ) A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1 C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1 【答案】A 【解析】该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选 A. 3. 命题“ a，b>0，a＋ 1 b ≥2 和 b＋ 1 a ≥2 至少有一个成立”的否定为（ ） A． a，b>0，a＋ <2 和 b＋ <2 至少有一个成立 B． a，b>0，a＋ ≥2 和 b＋ ≥2 都不成立 C． a，b>0，a＋ <2 和 b＋ <2 至少有一个成立 D． a，b>0，a＋ ≥2 和 b＋ ≥2 都不成立 【答案】D 【解析】 【分析】将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到. 【详解】“ a，b>0，a＋ ≥2 和 b＋ ≥2 至少有一个成立”的否定为： a，b>0，a＋ ≥2 和 b＋ ≥2 都不成立.故选：D 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题. 【方法规律】全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题的否定是将全称量词改为存在量 词，并把结论否定；特称命题的否定是将存在量词改为全称量词，并把结论否定；而命题的否定是直接否 定其结论． 【解题技巧】含有一个量词的命题的否定： 全称命题 )(,: xpMxp ；它的否定 )(,: 00 xpMxp ，它是一个特称命题． 特称命题 )(,: 00 xpMxp ；它的否定 )(,: xpMxp ，它是一个全称命题． 【易错点睛】1.注意对全称命题的否定与特称命题的否定的区别，全称命题的否定是特称命题，而特称命 题的否定是全称命题． 2．“否命题”与“命题的否定”不是同一概念，“否命题”是对原命题“若 p 则 q”既要否定条件，又要 否定其结论，其为“若 p 则 q”；而“命题的否定”即非 p，只是否定其结论，如命题“若 p 则 q”的 否定命题为：“若 p 则 q”。 热点 3 简单命题、全称命题、特称命题真假的判断 1. 已知:命题 :p “ ,sincos2xxxR ”;命题 :q “ 1,2 0xx R ”,则下列命题正确的是 A．命题“ pq ”是真命题 B．命题“ pq”是真命题 C．命题“ pq ”是真命题 D．命题“ pq ”是真命题 【答案】B 【解析】因为 πsincos2 sin2 4xxx ,所以命题 p 是假命题,则命题 p 是真命题;由指数函数的 性质可知,命题 q 是真命题,命题 q 是假命题,故命题“ ”是真命题.故选 B 2.原命题为“若 1 2 nn n aa a ， nN ，则 na 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性 的判断依次如下，正确的是（ ） （A）真，真，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假 【答案】A 【解析】由 }{2 1 1 nnnn nn aaaaaa 为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若 }{ na 为递 减数列，则 Nnaaa n nn ,2 1 ；若 为递减数列， nn aa 1 ，即 n nn aaa 2 1 ，所以逆命题为真； 否命题：若 Nnaaa n nn ,2 1 ，则 不为递减数列；由 Nnaaa n nn ,2 1 1 nn aa 不为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原命题的真假相同，所以逆否命题也为真命 题；故选 A。 3.已知命题 p ： x R ， 2 340xx ，则下列说法正确的是（ ） A． p ： xR ， 2 340xx ，且 为假命题 B． ： xR ， 2 3 4 0 xx ，且 为真命题 C． ： xR ， 2 3 4 0 xx ，且 为假命题 D． ： xR ， 2 340xx ，且 为真命题 【答案】D 【解析】否命题，既否定假设，又否定结论.二次函数 2 3 4 0xx 的判别式为 2(3)447 <0 则二次函数大于0恒成立.故选D. 【方法规律】要肯定一个全称命题是真命题，须对所有可能情形予以考察，穷尽一切可能；但要说明一个 全称命题是假命题时，则只需举一个反倒即可． 【解题技巧】1．一个命题真假的判断除了符合真值表，重要的是简单命题真假的判断，那么拿握这个命所 涉及的相应的知识是至关重要的，没有相应的知识，就不能准确的判断一个命题的真假． ２．如果一个含有否定词的命题真假不好判断，则可以根据互为逆否的两个命题是同真同假的，来判断它 的逆否命题的真假． 【易错点睛】1．判断一个命题的真假，首先要注意区分是特称命题还是全称命题． ２．对简单命题真假的判断则主要决定于该命题所涉及到的相关的知识的理解与掌握． 热点 4 命题及其关系 1、【2017 年高考全国Ⅰ卷理数】设有下面四个命题 1p ：若复数 z 满足 1 z R ，则 z R ； 2p ：若复数 满足 2z R ，则 ； 3p ：若复数 12,zz满足 12zz R ，则 12zz ； 4p ：若复数 ，则 z R . 其中的真命题为 A． 13,pp B． 14,pp C． 23,pp D． 24,pp 【答案】B 【解析】令 i( , )z a b a b R ，则由 22 11i i ab zabab R 得 0b ，所以 z R ，故 1p 正确； 当 iz 时，因为 22i1z R ，而 iz R 知，故 2p 不正确；当 12izz时，满足 12 1zz R ， 但 12zz ，故 3p 不正确；对于 4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故 正确.故选 B. 【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成 的形式进行 判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可. 2．(2015·高考山东卷)设 m∈R，命题“若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆否命题是( ) A．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m>0 B．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m≤0 C．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m>0 D．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0 【答案】D 【解析】由原命题和逆否命题的关系可知 D 正确． 3. (2018 北京)能说明“若 ( ) ( 0 )f x f 对任意的 ( 0 ,2 ]x 都成立，则 ()fx在 [ 0,2 ] 上是增函数”为假命题的 一个函数是__________． 【答案】 s i nyx （不答案不唯一） 【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足 对任意的 ( 0 ,2 ]x 都成立，且函数 ()fx 在 上不是增函数即可，如， ( ) s i nf x x ，答案不唯一． 【方法规律】 1.判断一个命题的真假有两种方法，法一：直接法，用直接法判定命题为真命题，需要严格的推理、考虑 各种情况由命题条件推出结论正确，要判定一个命题为假命题，只要举出一个反例就行；法二：等价值法， 若不易直接判断它的真假，利用原命题与其逆否命题同真假转化为判断其逆否命题的真假。 2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不 同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要． 3. 在书写命题的四种形式时，首先要将命题转化成“若 p，则 q”的形式，然后严格按定义书写，注意正 确应用常见词语的否定. 4.在判断四种形式的命题真假时，先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否 命题和逆否命题的真假． 【解题技巧】 1.当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时，必须保留大前提且不作改换． 2.在判断命题的真假时，如果不易直接判断它的真假，可以转化为判断其逆否命题的真假． 3.在书写否命题题与您否命题时，要特别注意条件的否定和结论的否定即为条件的反面和结论的反面. 【易错点睛】 1.区分否命题与命题：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一 个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 2.特别要注意含有逻辑连结词的否定形式. 例 写出命题“若 220xy，则 x ， y 全为 0”的否命题. 【错解】若 ，则 ， 全不为 0. 【错因分析】①将命题否定与否命题混淆；②命题结论否定错误, “ x ， y 全为 0”的否定应为“ ， 不 全为 0”，而不是“ ， 全为 0”. 【预防措施】①要正确区分命题的否定与否命题：写一个命题的否命题，既要否定条件又要否定结论，只 否定结论，得到的命题是命题的否定；②对条件和结论的否定要正确，如“都是”的否定是“不都是”，而 不是“都不是”，条件和结论的否定就是分别找条件和结论的对立面，抓住这一点就可以避免类似的错误. 【正解】若 220xy，则 x ， y 不全为 0. 热点 5 充分条件与必要条件 1、“ 1x ”是“ 1 2 log ( 2) 0x ”的（ ） A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 1 2 log(2)0211xxx ，因此选 B. 2、直线 :1l y k x 与圆 22:1O x y 相交于 ,AB两点，则 " 1 "k 是“ O A B 的面积为 1 2 ”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】由 1k 时,圆心到直线 :1lyx 的距离 2 2d .所以弦长为 2 .所以 121 2222OABS . 所以充分性成立,由图形的对成性当 1k 时, 的面积为 .所以不要性不成立.故选 A. 3.设{}na 是公比为 q 的等比数列，则 " 1 "q 是 " { } "na 为递增数列的（ ） .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 【答案】D. 【解析】当 a1<0，q>1 时，数列{an}递减；当 a1<0，数列{an}递增时，0查看更多