2018届二轮复习（理）专题六　概率与统计第2讲课件（全国通用）

2018届二轮复习（理）专题六　概率与统计第2讲课件（全国通用）

第 2 讲　概率、随机变量及其分布列 高考定位　 1. 计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题 ， 中低档难度； 2. 概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的 “ 热点 ” ， 多在解答题的前三题的位置呈现 ， 常考查独立事件的概率 ， 超几何分布和二项分布的期望等 . 真 题 感 悟 答案 　 C 解析　 如图所示 ， 画出时间轴： 答案　 B 3. (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， X 表示抽到的二等品件数，则 D ( X ) ＝ ________. 解析 　有放回地抽取 ， 是一个二项分布模型 ， 其中 p ＝ 0.02 ， n ＝ 100 ， 则 D ( X ) ＝ np (1 － p ) ＝ 100 × 0.02 × 0.98 ＝ 1.96. 答案 　 1.96 4. (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 . 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 ( 单位： ℃ ) 有关 . 如果最高气温不低于 25 ，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 [20 ， 25) ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ，需求量为 200 瓶 . 为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10 ， 15) [15 ， 20) [20 ， 25) [25 ， 30) [30 ， 35) [35 ， 40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 . (1) 求六月份这种酸奶一天的需求量 X ( 单位：瓶 ) 的分布列； (2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y ( 单位：元 ) ，当六月份这种酸奶一天的进货量 n ( 单位：瓶 ) 为多少时， Y 的数学期望达到最大值？ X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2) 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500 ，至少为 200 ，因此只需考虑 200 ≤ n ≤ 500. 当 300 ≤ n ≤ 500 时， 若最高气温不低于 25 ，则 Y ＝ 6 n － 4 n ＝ 2 n ， 若最高气温位于区间 [20 ， 25) ，则 Y ＝ 6 × 300 ＋ 2( n － 300) － 4 n ＝ 1 200 － 2 n ； 若最高气温低于 20 ，则 Y ＝ 6 × 200 ＋ 2( n － 200) － 4 n ＝ 800 － 2 n ； 因此 E ( Y ) ＝ 2 n × 0.4 ＋ (1 200 － 2 n ) × 0.4 ＋ (800 － 2 n ) × 0.2 ＝ 640 － 0.4 n . 当 200 ≤ n <300 时， 若最高气温不低于 20 ，则 Y ＝ 6 n － 4 n ＝ 2 n ； 若最高气温低于 20 ，则 Y ＝ 6 × 200 ＋ 2( n － 200) － 4 n ＝ 800 － 2 n ； 因此 E ( Y ) ＝ 2 n × (0.4 ＋ 0.4) ＋ (800 － 2 n ) × 0.2 ＝ 160 ＋ 1.2 n . 所以 n ＝ 300 时， Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元 . 考 点 整 合 4. 离散型随机变量的均值、方差 (1) 离散型随机变量 ξ 的分布列为 ξ x 1 x 2 x 3 … x i … n P p 1 p 2 p 3 … p i … p n 离散型随机变量 ξ 的分布列具有两个性质： ① p i ≥ 0 ； ② p 1 ＋ p 2 ＋ … ＋ p i ＋ … ＋ p n ＝ 1( i ＝ 1 ， 2 ， 3 ， … ， n ). (2) E ( ξ ) ＝ x 1 p 1 ＋ x 2 p 2 ＋ … ＋ x i p i ＋ … ＋ x n p n 为随机变量 ξ 的数学期望或均值 . D ( ξ ) ＝ ( x 1 － E ( ξ )) 2 · p 1 ＋ ( x 2 － E ( ξ )) 2 · p 2 ＋ … ＋ ( x i － E ( ξ )) 2 · p i ＋ … ＋ ( x n － E ( ξ )) 2 · p n 叫做随机变量 ξ 的方差 . (3) 数学期望、方差的性质 . ① E ( aξ ＋ b ) ＝ aE ( ξ ) ＋ b ， D ( aξ ＋ b ) ＝ a 2 D ( ξ ). ② X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ np ， D ( X ) ＝ np (1 － p ). ③ X 服从两点分布，则 E ( X ) ＝ p ， D ( X ) ＝ p (1 － p ). 探究提高　 1. 求古典概型的概率 ， 关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数 . 常常用到排列、组合的有关知识 ， 计数时要正确分类 ， 做到不重不漏 . 2 . 计算几何概型的概率 ， 构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键 ， 有时需要设出变量 ， 在坐标系中表示所需要的区域 . 热点二　互斥事件、相互独立事件的概率 命题角度 1 　互斥条件、条件概率 【例 2 － 1 】 (2016· 全国 Ⅱ 卷选编 ) 某险种的基本保费为 a ( 单位：元 ) ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 保费 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2 a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60% 的概率 . 命题角度 2 　相互独立事件与独立重复试验的概率 【训练 2 】 (2017· 邯郸质检 ) 2017 年 4 月 1 日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新 3 县设立雄安新区，这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区，是千年大计、国家大事。多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司 . 若规定每家央企只能在雄县、容城、安新 3 个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司 . 向雄安新区申请建立分公司的任意 4 家央企中， (1) 求恰有 2 家央企申请在 “ 雄县 ” 片区建立分公司的概率； (2) 用 X 表示这 4 家央企中在 “ 雄县 ” 片区建立分公司的个数，用 Y 表示在 “ 容城 ” 或 “ 安新 ” 片区建立分公司的个数，记 ξ ＝ | X － Y | ，求 ξ 的分布列 . 热点三　随机变量的分布列、均值与方差 命题角度 1 　超几何分布 【例 3 － 1 】 (2017· 山东卷 ) 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用 . 现有 6 名男志愿者 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ， A 5 ， A 6 和 4 名女志愿者 B 1 ， B 2 ， B 3 ， B 4 ，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示 . (1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A 1 但不包含 B 1 的概率； (2) 用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 E ( X ). 因此 X 的分布列为 命题角度 2 　与独立重复试验有关的分布列 【例 3 － 2 】 (2017· 郴州二模 ) 某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 . (1) 求未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 8 吨，另一天日销售量低于 8 吨的概率； (2) 用 X 表示未来 3 天内日销售量不低于 8 吨的天数，求随机变量 X 的分布列、数学期望与方差 . 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 E ( X ) ＝ 3 × 0.4 ＝ 1.2 ， D ( X ) ＝ 3 × 0.4 × (1 － 0.4) ＝ 0.72. 【训练 3 】 (2017· 西安二模 ) 中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票，推出三种购票方式：窗口购票、电话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式 . 若甲、乙、丙 3 名旅客都准备购买火车票，并且这 3 名旅客选择购票的方式是相互独立的 . (1) 求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率； (2) 记这三名旅客购票方式的种数为 ξ ，求 ξ 的分布列和数学期望 . 热点四　概率与统计的综合问题 【例 4 】 　 (2017· 衡阳联考 ) 当今信息时代，众多高中生也配上了手机，某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级 50 名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示如下图 ( 记 60 分为及格 ) ： (1) 根据茎叶图中数据完成下面的 2 × 2 列联表，并判断是否有 95% 的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？   及格 不及格 总计 很少使用手机       经常使用手机       总计       (2) 从 50 人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数列题，甲、乙独立解决此题的概率分别为 p 1 ， p 2 ，且 p 2 ＝ 0.4 ，若 p 1 － p 2 ≥ 0.3 ，则此二人适合结为学习上互帮互助的 “ 师徒 ” ，记 X 为两人中解决此题的人数，若 E ( X ) ＝ 1.12 ，问两人是否适合结为 “ 师徒 ” ？ P ( K 2 ≥ k 0 ) 0.10 0.05 0.025 k 0 2.706 3.841 5.024 解 　 (1) 由茎叶图数据，得 2 × 2 列联表：   及格 不及格 总计 很少使用手机 20 7 27 经常使用手机 10 13 23 总计 30 20 50 (2) 依题意，随机变量 X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2. 则 P ( X ＝ 0) ＝ (1 － p 1 )(1 － p 2 ) ， P ( X ＝ 2) ＝ p 1 p 2 ， P ( X ＝ 1) ＝ (1 － p 1 ) p 2 ＋ p 1 (1 － p 2 ) ， ∴ 随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P (1 － p 1 )(1 － p 2 ) (1 － p 1 ) p 2 ＋ p 1 (1 － p 2 ) p 1 p 2 ∴ E ( X ) ＝ (1 － p 1 ) p 2 ＋ p 1 (1 － p 2 ) ＋ 2 p 1 p 2 ＝ p 1 ＋ p 2 ＝ 1.12 ，所以 p 1 ＝ 1.12 － p 2 ＝ 0.72 ， 因此 p 1 － p 2 ＝ 0.72 － 0.4 ＝ 0.32 ≥ 0.3 ，两人适合结为 “ 师徒 ”. 探究提高 　 1. 本题考查统计与概率的综合应用 ， 意在考查考生的识图能力和数据处理能力 . 此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率 ， 在求解时 ， 要明确基本事件的构成 . 2 . 联系高中生使用手机这一生活现象 ， 利用数学中列联表、独立性检验 ， 予以研究二者的相关性 ， 考查了茎叶图、相互独立事件同时发生、分布列 . 题目主旨 ， 引导学生正确对待使用手机 ， 切勿玩物丧志 ， 并倡导互帮互助的学习风气 . 【训练 4 】 (2017· 全国 Ⅰ 卷改编 ) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸 ( 单位： cm). 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ). (1) 假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的零件数，求 P ( X ≥ 1) 及 X 的数学期望； (2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 . ① 试说明上述监控生产过程方法的合理性； ② 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 解　 (1) 由题可知尺寸落在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之内的概率为 0.997 4 ，落在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的概率为 0.002 6. 由题可知 X ～ B (16 ， 0.002 6) ， P ( X ≥ 1) ＝ 1 － P ( X ＝ 0) ＝ 1 － 0.997 4 16 ≈ 0.040 8. ∴ E ( X ) ＝ 16 × 0.002 6 ＝ 0.041 6. (2) ① 如果生产状态正常，一个零件尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的概率只有 0.002 6 ，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的零件的概率只有 0.040 8 ，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的 .