2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4
4.4.2
对数函数的图象和性质
第
1
课时 对数函数的图象和性质
必备知识
·
自主学习
1.
对数函数的图象和性质
(1)
图象和性质：
导思
1.
与指数函数类比，对数函数的图象和性质是怎样的？
2.
实数有相反数，函数有反函数吗？
0
1
图 象
01
定义域
(0
，
+∞)
值 域
R
性 质
过定点
_______
在
(0
，
+∞)
上是
_______
在
(0
，
+∞)
上是
_______
(1
，
0)
减函数
增函数
(2)
本质：作出不同底数的对数函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即对数函数的性质
.
(3)
应用：①比较大小；②求定义域、值域；③解不等式；
④求参数的范围
.
【
思考
】
对于对数函数
y=log
3
x
，
y=log
5
x
，
y=
，
y=
，
…
，为什么一定过点
(1
，
0)
？
提示：
当
x=1
时，
log
a
1=0
恒成立，即对数函数的图象一定过点
(1
，
0).
2.
反函数
指数函数
y=a
x
(a>0
，且
a≠1)
与对数函数
y=log
a
x(a>0
，且
a≠1)
互为反函数，
它们的
_______
与
_____
正好互换
.
定义域
值域
【
思考
】
函数
y=log
3
x
与
y=
互为反函数吗？
提示：
不是，同底数的指数函数与对数函数互为反函数
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”，错的打“
×”)
(1)
对数函数
y=log
5
x
与
y=
的图象关于
y
轴对称
. (
)
(2)
对数函数的图象都在
y
轴的右侧
. (
)
(3)
若对数函数
y=log
(a-1)
x
是减函数，则
a>2. (
)
提示：
(1)×.
两函数的图象关于
x
轴对称
.
(2)√.
由对数函数的图象可知，正确
.
(3)×.
由对数函数的单调性可知，
00
且
a≠1)
的图象恒过定点
P
，则
P
点的坐标是
_______.
【
解析
】
令
2x-3=1
，解得
x=2
，且
f(2)=log
a
1=0
恒成立，所以函数
f(x)
的图象恒过定点
P(2
，
0).
答案：
(2
，
0)
关键能力
·
合作学习
类型一 利用单调性比较大小
(
逻辑推理
)
【
题组训练
】
1.
已知
a=log
2
3
，
b=log
2
e
，
c=ln 2
，则
a
，
b
，
c
的大小关系是
(
)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
2.(2020·
遵义高一检测
)
已知：
a=log65
，
b=π0.3
，
c=ln
，则下列结论
正确的是
(
)
A.ab>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
【
解析
】
1.
选
A.a=log
2
3>b=log
2
e>log
2
2=1
，
c=ln 2b>c.
2.
选
D.
因为
0=log
6
1π
0
=1
，
ln log
4
20>2
，且
log
6
30b>c.
【
解题策略
】
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)
同底数的利用对数函数的单调性
.
(2)
同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化
.
(3)
底数和真数都不同，找中间量
.
(4)
若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论
.
提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与
0
或
1
的大小
.
【
补偿训练
】
(2020·
鄂尔多斯高一检测
)
已知
a=
，
b=log
4
5
，
c=0.5
0.4
，
则
(
)
A.alog
4
4=1
，
0<0.5
0.4
<0.5
0
=1
，所以
a0
，且
a≠1)
的图象可能是
(
)
2.(2020·
珠海高一检测
)
若函数
f(x)=log
a
(x+m)+1(a>0
，且
a≠1)
恒过定点
(2
，
n)
，则
m+n
的值为
_______.
【
思路导引
】
1.
先对
a
分两种情况讨论，再利用平移检验图象是否符合
.
2.
将定点坐标代入求
m
，
n.
【
解析
】
1.
选
D.
当
01
时，函数
y=a
x
过定点
(0
，
1)
且单调递
增，则函数
y=
过定点
(0
，
1)
且单调递减，函数
y=log
a
过定点 且
单调递增，各选项均不符合
.
2.
依题意
log
a
(2+m)+1=n
为定值，
可得
2+m=1
，即
m=-1
，所以
n=1
，
m+n=0.
答案：
0
【
解题策略
】
1.
对数函数底数对图象的影响
其中
a
，
b
，
c
，
d
是图象对应的对数函数的底数，
根据图象，其大小关系为
00
，且
a≠1)
的图象过定点时，只需令
f(x)=1
求出
x
，即得定点为
(x
，
m).
【
跟踪训练
】
在同一直角坐标系中，函数
f(x)=x
a
(x≥0)
，
g(x)=log
a
x(a>0
且
a≠1)
的图象可能是
(
)
【
解析
】
选
D.
对于
A
项，对数函数的图象过
(1
，
0)
点，但是幂函数的图象不过
(0
，
1)
点，所以
A
项不满足要求；对于
B
项，由图象知，幂函数中
a>1
，对数函数中
01
，矛盾，所以
C
项不满足要求；
对于
D
项，由图象知幂函数与对数函数中
01
时，解得
x≤
，不成立；
当
00
，且
a≠1)
的最大值比最小值大
1
，则底数
a
的值为
(
)
【
思路导引
】
分两种情况分别表示出最大值、最小值后列式求值
.
【
解析
】
选
AB.
当
01
时，函数
f(x)
在
[2
，
π]
上是增函数，
故
log
a
π-log
a
2=1
，故
a= .
【
解题策略
】
与对数函数值域相关的问题
(1)
利用对数函数的单调性求值域是解决问题的主要方法；
(2)
若底数中含有字母，需要对底数分大于
1
，小于
1
大于
0
两种情况讨论
.
【
题组训练
】
1.
已知函数
f(x)=
的值域为
[-1
，
1]
，则函数
f(x)
的定义域是
(
)
2.
函数
y=
的定义域为
_______.
【
解析
】
1.
选
A.
因为已知函数的值域为
[-1
，
1]
，
所以 ，化简解得 ，
故函数
f(x)
的定义域为
.
2.
由题意得
log
2
(3x+1)≤2
，则
0<3x+1≤4
，
解得
查看更多
