高中数学第7章（第14课时）线性规划的实际应用

高中数学第7章（第14课时）线性规划的实际应用

课 题：线性规划的实际应用 教学目的：‎ ‎1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题 ‎2.增强学生的应用意识.培养学生理论联系实际的观点 教学重点：求得最优解 ‎ 教学难点：求最优解是整数解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析：‎ 线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）‎ ‎2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解 ‎ ‎3．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：‎ ‎（1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）;‎ ‎（2）设t=0，画出直线;‎ ‎（3）观察、分析，平移直线，从而找到最优解;‎ ‎（4）最后求得目标函数的最大值及最小值 ‎4.求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：‎ ‎（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；‎ ‎（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；‎ ‎（3）在可行域内求目标函数的最优解 二、讲解新课：‎ 判断可行区域的方法： 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）‎ ‎ ‎ 三、讲解范例 ‎ 例1 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?‎ 解：设甲煤矿向东车站运万吨煤，乙煤矿向东车站运万吨煤，那么总运费z=x+1.5(200－x)+0.8y+1.6(300－y)(万元) ‎ 即z=780－0.5x－0.8y.‎ x、y应满足：‎ 作出上面的不等式组所表示的平面区域 设直线x+y=280与y轴的交点为M，则M(0，280) ‎ 把直线l：0.5x+0.8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小 ‎∵点M的坐标为(0，280)，‎ ‎∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运280万吨向西车站运20万吨时，总运费最少 ‎ 例2 设实数x、y满足不等式组 ‎（1）求点(x,y)所在的平面区域；‎ ‎（2）设，在（1）所求的区域内，求函数的最值 导析：必须使学生明确，求点所在的平面区域，关键是确定区域的边界线，可从去掉绝对值符号入手 解：（1）已知的不等式组等价于 解得点所在的平面区域为所示的阴影部分（含边界） ‎ 其中，‎ ‎（2）表示直线在y轴上的截距，且直线与（1）中所求区域有公共点 ‎∵,‎ ‎∴当直线过顶点C时，最大 ‎∵C点的坐标为（-3，7），‎ ‎∴的最大值为 如果-1＜≤2，那么当直线过顶点A（2，-1）时，最小，最小值为-1-2.如果＞2，那么当直线过顶点B（3，1）时，最小，最小值为1-3‎ 说明：由于直线的斜率为参数，所以在求截距的最值时，要注意对参数进行讨论，方法是直线动起来 例3 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?‎ 分析：将已知数据列成下表：‎ 资源 消耗量 ‎ 产品 甲种棉纱 ‎（1吨）‎ 乙种棉纱 ‎（1吨）‎ 资源限额 ‎（吨）‎ 一级子棉（吨）‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎300‎ 二级子棉（吨）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎250‎ 利 润（元）‎ ‎600‎ ‎900‎ 解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么 z=600x+900y.‎ 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域 作直线l：600x+900y=0，即直线l：2x+3y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y取最大值.解方程组 ‎,得M的坐标为x=≈117，y=≈67‎ 答：应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大 例4 要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：‎ ‎ 规格类型 钢管类型 A规格 B规格 C规格 甲种钢管 ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ 乙种钢管 ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ 今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少 解：设需截甲种钢管x根，乙种钢管y根，则 作出可行域(如图)：‎ 目标函数为z=x+y,作出一组平行直线x+y=t中(t为参数)经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线4x+y=18和直线x+3y=16的交点 A()，直线方程为x+y=.由于和都不是整数，所以可行域内的点()不是最优解 经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=8,经过的整点是B(4，4)，它是最优解 答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根 四、课堂练习：‎ 图中阴影部分的点满足不等式组 在这些点中，使目标函数取得最大值的点的坐标是_____‎ 参考答案：(0，5) ‎ 五、小结 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：‎ ‎（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；‎ ‎（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；‎ ‎（3）在可行域内求目标函数的最优解 六、课后作业：‎ ‎1.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石8t、B种矿石8t、煤5t;生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石8t、煤10t.每1t甲种产品的利润是500元，每1t乙种产品的利润是400元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过320t、B种矿石不超过400t、煤不超过450t.甲、乙两种产品应各生产多少能使利润总额达到最大?‎ ‎2.某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A、C、D、E和最新发现的Z.甲种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z分别是1mg、1mg、4mg、4mg、5mg；乙种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z分别是3mg、2mg、1mg、3mg、2mg.如果此人每天摄入维生素A至多19mg，维生素C至多13mg，维生素D至多24mg，维生素E至少12mg，那么他每天应服用两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能得到最大量的维生素Z ‎3.张明同学到某汽车运输队调查，得知此运输队有8辆载重量为6t的A型卡车与6辆载重量为10t的B型卡车，有10名驾驶员.此车队承包了每天至少搬运720t沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车16次，B 型卡车12次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车240元，B型车378元.根据张明同学的调查写出实习报告，并回答每天派出A型车与B型车各多少辆运输队所花的成本最低?‎ ‎4.某厂生产A与B两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元.又知每生产1公斤A产品需要电力2千瓦、煤4吨；而生产1公斤B产品需要电力3鱭、煤2吨.但该厂的电力供应不得超过100鱭，煤最多只有120吨.问如何安排生产计划以取得最大产值?‎ ‎5.某钢厂两个炼钢炉同时各用一种方法炼钢.第一种炼法每炉用a小时(包括清炉时间)；第二种炼法每炉用b小时(包括清炉时间).假定这两种炼法，每炉出钢都是k公斤，而炼1公斤钢的平均燃料费第一法为m元，第二法为n元.若要在c小时内炼钢的公斤数不少于d，问应怎样分配两种炼法的任务，才使燃料费用最少?(kac+kbc－dab＞0，m≠n) ‎ 参考答案：‎ ‎1.甲产品30t、乙产品20t ‎2.5粒甲种胶囊，4粒乙种胶囊 ‎3.A型车5辆，B型车2辆 ‎4.A产品20公斤、B产品20公斤 ‎5.当m＞n时，第一种炼法应炼公斤，第二种炼法应炼公斤；当m＜n时，第一种炼法应炼公斤，第二种炼法应炼公斤 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎