【数学】2019届一轮复习北师大版常用逻辑用语学案
《2018 艺体生文化课-百日突围系列》
专题二 常用逻辑用语
命题及其关系
【背一背基础知识】
一．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的
语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
二．四种命题及其关系
1．四种命题
命题 表述形式
原命题 若 p，则 q
逆命题 若 q，则 p
否命题 若 ，则
逆否命题 若 ，则
即 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，
那么这两个命题叫做互为逆命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命
题，这个命题叫做原命题的否命题；学
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆
否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题.
2．四种命题间的逆否关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
p¬ q¬
q¬ p¬
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
【讲一讲基本技能】
必备技能
1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等
价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为
（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原 命题的逆命题；
（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原 的否命题；
（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题.
注意 在写其他三种命题时，大前提必须放在前面.
2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，
也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
3. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然
后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断
其逆否命题的真假．
4. 否命题与命题的否定是两个不同的概念 ①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原
命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于
反证法．
典型例题
例 1【2018 届辽宁省沈阳市高三教学质量监测（一）】命题“若 ，则 ”的逆否
命题是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【练一练趁热打铁】
1. 命题 p “若 a≥b，则 a＋b>2 015 且 a>－b”的逆否命题是
0xy = 0x =
0xy = 0x ≠ 0xy ≠ 0x ≠
0xy ≠ 0y ≠ 0x ≠ 0xy ≠
________________________________________________________________________．
【答案】若 a＋b≤2 015 或 a≤－b，则 a
2 015 且 a>－b”的逆否命题是 “若 a＋b≤2 015 或 a≤－b，则
a 2 0x x m+ − =
2 0x x m+ − = 0m >
2 0x x m+ − = 0m ≤
2 0x x m+ − = 0m >
2 0x x m+ − = 0m ≤
D
D
【讲一讲基本技能】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法 若 ，则 是 的充分而不必要条件；若 ，则
是 的必要而不充分条件；若 ，则 是 的充要条件； 若
，则 是 的既不充分也不必要条件.
(2)等价法 即利用 与 ； 与 ； 与 的等价
关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题 p 的集合为 M，满足命题 q 的集合为 N，
则 M 是 N 的真子集等价于 p 是 q 的充分不必要条件，N 是 M 的真子集等价于 p 是 q 的必要不
充分条件，M＝N 等价于 p 和 q 互为充要条件，M，N 不存在相互包含关系等价于 p 既不是 q
的充分条件也不是 q 的必要条件
【特别提醒】1.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性 若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；
(2)传递性 若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要)
条件．
注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的不同，前
者是“ ”而后者是“ ”．
2．从逆否命题谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断
原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则
反”．
3．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列
出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．
2.典型例题
例 1【2018 届北京市通州区高三上学期期末】已知 ，那么“直线 与
垂直”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
,p q q p⇒ ≠> p q ,p q q p≠> ⇒
p q ,p q q p⇒ ⇒ p q
,p q q p≠> ≠> p q
,p q q p⇒ ≠> ,p q q p≠> ⇒
a R∈ 1y ax= −
4 2y ax= − + 1
2a =
p q⇒ q p¬ ¬⇒ q p⇒ p q¬ ¬⇒ p q⇔ q p¬ ¬⇔
例 2【2018 届北京市海淀区高三第一学期期末】设 是不为零的实数，则“ ”是“方
程 表示的曲线为双曲线”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 由题意得，方程 表示双曲线，则 或 ，
所以“ ”是方程“ 表示双曲线”的充分不必要条件，故选 A.
【练一练趁热打铁】
1.【2018 届广东省五校协作体高三第一次联考】“ ”是“ ” 的（ ）
A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以“ ”是
“ ” 的充要条件，选 A.
2. 已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平
面 β 相交”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
m 0m >
2 2
1x y
m m
− =
2 2
1x y
m m
− = 0m < 0m >
0m >
2 2
1x y
m m
− =
1x > ( )2log 1 1x + >
( )2log 1 1x + > 1 2 1x x+ > ∴ > 1x >
( )2log 1 1x + >
逻辑联结词
【背一背基础知识】
1．用联结词“且”联结命题 p 和命题 q，记作 ，读作“p 且 q”．
2．用联结词“或”联结命题 p 和命题 q，记作 ，读作“p 或 q”．
3．对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作 p，读作“非 p”或“p 的否定”．[ ]
4．命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断
【讲一讲基本技能】
1．逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、
补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义 解答由“或、且、非”三个联结词构成的命
题问题．
2．“p q”“p q”“ p”形式命题真假的判断步骤
（1）确定命题的构成形式；学
（2）判断其中命题 p、q 的真假；
（3）确定“p q”“p q”“ p”形式命题的真假．
3．含逻辑联结词命题真假的等价关系
（1）p q 真⇔p,q 至少一个真⇔( p) ( q)假.
（2）p q 假⇔p,q 均假⇔( p) ( q)真.
（3）p q 真⇔p,q 均真⇔( p) ( q)假.
（4）p q 假⇔p,q 至少一个假⇔( p) ( q)真.
p q∧
p q∨
¬
∨ ∧ ¬
∧ ∨ ¬
∨ ¬ ∧ ¬
∨ ¬ ∧ ¬
∧ ¬ ∨ ¬
∧ ¬ ∨ ¬
（5） p 真⇔p 假; p 假⇔p 真.
4．命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断规律 p q 中 p、q 有一假为假，p q 有一真为真，
p 与非 p 必定是一真一假．
典型例题
例 1【2018 届华大新高考联盟高三 1 月】设命题 向量 ，则 在 方
向上的投影为 ，命题 是 的必要非充分条件，则下列说法正确的是（ ）
A. 命题 是假命题 B. 命题 是真命题
C. 命题 是假命题 D. 命题 是真命题
【答案】D
【解析】由题意可得 ，
则 ，则两向量 的夹角为 ，
在 方向上的投影为 ，
命题 为真命题，
很明显命题 为假命题，
逐一考查所给的选项
A.命题 是真命题
B.命题 是假命题
C.命题 是假命题
D.命题 是真命题
本题选择 D 选项.
例 2 已 知 命 题 ， ， 命 题 ， ， 则
（ ）[ 学, , ]
A.命题 是假命题 B.命题 是真命题
:p ( ) ( )1,1 , 0,2a b= = a b
1 2: 1q x < 1x <
p q∨ p q∨
( )p q¬ ∨ ( )p q∨ ¬
0 2 2, 2, 2a b a b⋅ = + = = =
2 2cos , 22 2
a b = = ,a b
4
π
a b 2cos 2 14 2a
π× = × =
p
q
p q∨
p q∧
( )p q¬ ∨
( )p q∨ ¬
¬ ¬
∧ ∨
:p x R∃ ∈ 2 lgx x− > :q x R∀ ∈ sin x x<
p q∨ p q∧
C.命题 是真命题 D.命题 是假
命题
【答案】C
【练一练趁热打铁】
1. 已知命题 关于 的函数 在 上是增函数，命题 函数
为减函数，若 为真命题，则实数 的取值范围是
( )
A． B. C． D.
【答案】C
2.已知命题 是简单命题，则“ 是假命题”是“ 是真命题”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】当 是假命题时， 是真命题，故 是真命题；反之，当 是真命题时，
不一定是真命题．所以“ 是假命题”是“ 是真命题”的充分不必要条件．选
A．
p x 2 3 4y = x ax− + [1, )+∞ q
(2 1)xy = a − p q∧ a
2
3a ≤ 1
20 a< < 1 2
2 3a< ≤ 1 12 a< <
,p q p¬ p q∨
p¬ p p q∨ p q∨
p p¬ p q∨
( )p q¬∧ ( )p q¬∨
全称量词和存在量词
【背一背基础知识】
1．全称量词与全称命题
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．
（3）全称命题“对 M 中任意一个 x，有 成立”可用符号简记为 ，读作“对
任意 x 属于 M，有 成立”．
2．存在量词与特称命题
（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．
（3）特称命题“存在 中的一个 ，使 成立”可用符号简记为 ，读
作“存在 中的元素 ，使 成立”．
3．全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
4．“ 或 ”的否定为 “非 且非 ”；“ 且 ”的否定为 “非 或非 ”．
5．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
【讲一讲基本技能】
1．全称命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x，证明 p(x)成
立；
（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x＝x0，使 p(x0)不
成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合 M 中，找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立即可，
否则这一特称命题就是假命题．
3. 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.
∀
( )p x , ( )x M p x∀ ∈
( )p x
∃
M 0x 0( )p x 0 0, ( )x M p x∃ ∈
M 0x 0( )p x
p q p q p q p q
, ( )x M p x∀ ∈ 0 0, ( )x M p x∃ ∈ ¬
0 0, ( )x M p x∃ ∈ , ( )x M p x∀ ∈ ¬
4. 全称命题与特称命题真假的判断方法汇总
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
真 所有对象使命题真 否定为假
全称命题
假 存在一个对象使命题假 否定为真
真 存在一个对象使命题真 否定为假
特称命题
假 所有对象使命题假 否定为真
5．命题的否定与否命题的区别 “否命题”是对原命题“若 ，则 ”的条件和结论分别
加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非 ”，只是
否定命题 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，
而原命题与否命题的真假无必然联系．
6．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．
7．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
8．要判断“ p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p 与 p 的真假相
反．
9．常见词语的否定形式有
原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意 x∈A 使 p(x)真
否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在 x0∈A 使 p(x0)假
2.典型例题
例 1【2018 届安徽省皖西高中教学联盟高三上学期期末】命题“ ”的否
定是______________________.
【答案】
【解析】因为命题“ ”的否定是“ ”
所以命题“ ”的否定是
例 2 若“ ”是真命题，则实数 的最小值为 .
【答案】1
0
0 0, 1xx R e x∃ ∈ > +
, 1xx R e x∀ ∈ ≤ +
,px∃ , px∀ ¬
0
0 0, 1xx R e x∃ ∈ > + , 1xx R e x∀ ∈ ≤ +
p q
p
p
¬ ¬
0, ,tan4x x m
π ∀ ∈ ≤ m
【解析】若“ ”是真命题，则 大于或等于函数 在
的最大值
因为函数 在 上为增函数，所以，函数 在 上的最大值为 1，
所以， ，即实数 的最小值为 1.
所以答案应填 1.
【练一练趁热打铁】
1. 下列命题中是假命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由任意角的三角函数可知， ，所以
是真命题；
由指数函数的性质， 是真命题；由 知， 是真命题；事
实上，由 ， 是假命
题.故选 B.
2. 命题“ ，使得 ”的否定形式是（ ）
A． ，使得 B． ，使得
C． ，使得 D． ，使得
【答案】D
【解析】
的否定是 ， 的否定是 ， 的否定是 ．故选 D．
(0, ), >2x x sin x
π∀ ∈ 0 0 0, + =2x R sin x cos x∃ ∈
,3 >0xx R∀ ∈ 0 0, =0x R lg x∃ ∈
(0, ), >2x x sin x
π∀ ∈
,3 >0xx R∀ ∈ 0 0, =0x R lg x∃ ∈
0 0 0, + =2x R sin x cos x∃ ∈
*x n∀ ∈ ∃ ∈，R N 2n x>
*x n∀ ∈ ∃ ∈，R N 2n x< *x n∀ ∈ ∀ ∈，R N 2n x<
*x n∃ ∈ ∃ ∈，R N 2n x< *x n∃ ∈ ∀ ∈，R N 2n x<
∀ ∃ ∃ ∀ 2n x≥ 2n x<
0, ,tan4x x m
π ∀ ∈ ≤ m tany x= 0, 4
π
tany x= 0, 4
π
tany x= 0, 4
π
1m ≥ m
(0, ),sin tan2x x x x
π∈ < <
lg1 0=
0 0 0sin cos 2 sin( ) [ 2, 2]4x x x
π+ = + ∈ −
（一）选择题（12*5=60 分）
1．【2018 届辽宁省丹东市高三上学期期末】命题“ ”的否定为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】命题“ ”的否定为 ，故选 A.
2．【2018 届宁夏育才中学高三上学期期末】“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
点睛 解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元
一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．
3．【2018 届北京市东城区高三第一学期期末】直线 与圆 相交于
两点，则“ ”“ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件,
【答案】A
【解析】 直线 与圆 相交于 两点， 圆心到直线的距离
，则 ，当 时，
，即充分性成立，若 ，则 ，即 ，解得
或 ，即必要性不成立，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A.
0,ln 0x x∃ > >
0,ln 0x x∀ > ≤ 0,ln 0x x∀ ≤ ≤ 0,ln 0x x∀ > < 0,ln 0x x∃ > ≤
0,ln 0x x∃ > > ,ln 0x R∀ ∈ ≤
2x < 1 02x
<−
: 1l y kx= + 2 2: 1O x y+ =
,A B 1k = 2AB =
: 1l y kx= + 2 2: 1O x y+ = ,A B ∴
2
1
1
d
k
=
+ AB =
2
2
2 2
12 1 2 1 21 1
kd k k
− = − =+ + 1k =
12 22AB = = 2AB =
2
22 21
k
k
=+
2 1k = 1k =
1k = − 1k = 2AB =
4．命题 ， ，命题 抛物线 的焦点到准线的距离为 ，那么下
列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
5．【2018 届浙江省杭州市高三上学期期末】设数列 的通项公式为
则“ ”是“数列 为单调递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时 ，则数列 为单调递增数列
若数列 为单调递增数列，则 即可，所以“ ”是“数列 为单
调递增数列”的充分不必要条件
故选 .
6．【2018 届河北省石家庄市高三上学期期末】已知命题 ， ，则
是 成立的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分有不必要
【答案】B
【解析】 ,因为 ,所以 是 成立的必要不充分条
:P x R∃ ∈ tan 1x > :q 21
3y x= 1
6
p¬ ( )p q¬ ∨ p q∧ ( )p p∧ ¬
{ }na ( )*2na kn n N= + ∈
2k > { }na
2k > 1 2n na a k−− = > { }na
{ }na 1 0n na a k−− = > 2k > { }na
A
: 1 2p x− < < 2:log 1q x <
p q
2:log 1q x < 0 2x⇒ < < ( ) ( )0,2 1,2⊂ − p q
件,选 B.
7．若 ， 是两个非零的平面向量，则“ ”是“ ”的
（ ）．
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 ，得 ，所以是充要条件，故选 C。
8．【2018 届浙江省台州市高三上学期期末】已知 ，则“ ”是
“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
9．【2018 届重庆市高三上学期期末】命题 “若 ，则 ”，则命题 以及它的
否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】命题 “若 ，则 ”是真命题，则其逆否命题为真命题；
其逆命题 “若 ，则 ”是假命题，则其否命题也是假命题；
综上可得 四个命题中真命题的个数为 2.
本题选择 B 选项.
10．已知 表示两个不同的平面， 为平面 内的一条直线，则“ ”是
“ ”的（ ）
A. 充要条件 B.充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
a b | |a b= ( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − =
( ) ( ) 22 0a b a b a b+ ⋅ − = − = a b=
Ra∈ 1a ≤
1 1 2a a+ + − =
:P 1x > 2 1x > P
:P 1x > 2 1x >
2 1x > 1x >
,α β m α α β⊥
m β⊥
【答案】C
【解析】由题意可得若“ ”，不一定有“ ”，
反之，若“ ”，由面面垂直的判断定理可得“ ”，
即“ ”是“ ”的必要不充分条件.
本题选择 C 选项.
11．设 、 ，则“ 、 均为实数”是“ 是实数”的（ ）.
A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】A
12.已知命题 命题 则下列命题是真命题的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当 时， ，命题 是假命题；
当 时， ，命题 为真命题，
考查所给的命题
A. 是假命题；
B. 是真命题；
C. 是假命题；
D. 是假命题；
本题选择 B 选项.
α β⊥ m β⊥
m β⊥ α β⊥
α β⊥ m β⊥
1z C∈2z 1z 2z 21 zz −
2: , 0;p x R x x∀ ∈ − > 1: ,2 ,2
xq x R∃ ∈ <
p q∧ p q¬ ∧ p q∨ ¬ p q¬ ∧ ¬
0x = 2 0x x− = p
2x = − 1 12 4 2
x = < q
p q∧
p q¬ ∧
p q∨ ¬
p q¬ ∧ ¬
（二）填空题（4*5=20 分）
13.【2018 届江西省 12 联盟高三教育质量检测】已知命题 “ ”，则
__________．
【答案】
【解析】∵“ ”
∴
故答案为
14.【2018 届江苏省泰州中学高三 12 月月考】对于常数 、 ，“ ”是方程
“ 的曲线是椭圆”的__________．学
【答案】必要不充分条件
【解析】因为 时， 表示圆，所以“方程“ 的曲线是
椭圆””推不出方程“方程“ 的曲线是椭圆”，当方程“ 的曲
线是椭圆”时，能推出 ，所以应该填必要不充分条件.
15.【2018 届江苏省镇江市高三上学期期末】已知 ，则“ ”是直线
与直线 平行的__________条件（从“充分不必要”“必要不充
分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个）
【答案】充要
16. 给出以下四个命题
①“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若 q≤－1，则 x2＋x＋q＝0 有实根”的逆否命题；
P 2, 0x R x∀ ∈ ≥ P¬
2
0 0, 0x R x∃ ∈ <
2, 0x R x∀ ∈ ≥
P¬ 2
0 0, 0x R x∃ ∈ <
2
0 0, 0x R x∃ ∈ <
m n 0mn >
2 2 1mx ny+ =
0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 2 1mx ny+ =
2 2 1mx ny+ = 2 2 1mx ny+ =
0mn >
,x y R∈ 1a =
1 0ax y+ − = 1 0x ay+ + =
④若 ab 是正整数，则 a，b 都是正整数．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
【答案】①③
【解析】①命题“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题为“若 x，y 互为相反数，则
x＋y＝0”，显然①为真命题； 学！
②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；
③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；
④若 ab 是正整数，则 a，b 不一定都是正整数，例如 a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
答案为 ①③.
