高中数学必修1教案:第三章(第8课时)等比数列2

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高中数学必修1教案:第三章(第8课时)等比数列2

课 题:3.4 等比数列(二)‎ 教学目的:‎ ‎1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.‎ ‎2.深刻理解等比中项概念.‎ ‎3.熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 教学重点:等比中项的理解与应用 教学难点:灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:‎ 一、复习引入:‎ 首先回忆一下上一节课所学主要内容:‎ ‎1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即:=q(q≠0)‎ ‎2.等比数列的通项公式: ‎ ‎, ‎ ‎3.{}成等比数列=q(,q≠0)‎ ‎ “≠0”是数列{}成等比数列的必要非充分条件 ‎4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. ‎ ‎ 二、讲解新课: ‎ ‎1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±(a,b同号)‎ 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则,‎ 反之,若G=ab,则,即a,G,b成等比数列 ‎∴a,G,b成等比数列G=ab(a·b≠0)‎ ‎2.等比数列的性质:若m+n=p+k,则 在等比数列中,m+n=p+q,有什么关系呢?‎ 由定义得: ‎ ‎ ,‎ 则 ‎3.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法 ‎4.等比数列的增减性:当q>1, >0或01, <0,或00时, {}是递减数列;当q=1时, {}是常数列;当q<0时, {}是摆动数列;‎ 三、例题讲解 例1 已知:b是a与c的等比中项,且a、b、c同号,‎ 求证: 也成等比数列 证明:由题设:b2=ac 得:‎ ‎ ‎ ‎∴ 也成等比数列 例2 已知是项数相同的等比数列,求证是等比数列.‎ 证明:设数列的首项是,公比为;的首项为,公比为 ‎,那么数列的第n项与第n+1项分别为:‎ 它是一个与n无关的常数,所以是一个以q1q2为公比的等比数列.‎ 例3 (1) 已知{}是等比数列,且, 求 ‎ (2) a≠c,三数a, 1, c成等差数列,成等比数列,求 解:(1) ∵{}是等比数列,‎ ‎∴ +2+=(+)=25, ‎ 又>0, ∴+=5;‎ ‎ (2) ∵a, 1, c成等差数列, ∴ a+c=2, ‎ 又a, 1, c成等比数列, ∴a c=1, 有ac=1或ac=-1, ‎ 当ac=1时, 由a+c=2得a=1, c=1,与a≠c矛盾,‎ ‎ ∴ ac=-1, ‎ ‎ ∴ .‎ 例4 已知无穷数列,‎ ‎ 求证:(1)这个数列成等比数列 ‎ (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的,‎ ‎ (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中 证:(1)(常数)∴该数列成等比数列 ‎ (2),即:‎ ‎ (3),∵,∴‎ ‎ ∴且,‎ ‎∴,(第项)‎ 例5 设均为非零实数,,‎ ‎ 求证:成等比数列且公比为 证一:关于的二次方程有实根,‎ ‎ ∴,∴‎ ‎ 则必有:,即,∴成等比数列 ‎ 设公比为,则,代入 ‎ ‎ ‎ ∵,即,即 证二:∵‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴,∴,且 ‎ ∵非零,∴‎ 四、练习:‎ ‎1.求与的等差中项;‎ 解:(+)=5;‎ ‎2.求a+ab与b+ab的等比中项 ‎ 解:±=±ab(a+b).‎ 五、小结 本节课学习了以下内容:‎ ‎1.若a,G,b成等比数列,则叫做与的等经中项.‎ ‎2.若m+n=p+q,‎ ‎3.判断一个数列是否成等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法 六、课后作业:‎ ‎1、在等比数列,已知,,求 ‎ 解:∵,∴‎ ‎ 2、在等比数列中,,求该数列前七项之积 ‎ 解:‎ ‎ ∵,‎ ‎∴前七项之积 ‎3、在等比数列中,,,求,‎ ‎ 解:‎ ‎ 另解:∵是与的等比中项,∴‎ ‎ ∴‎ 七、板书设计(略)‎ 八、课后记:‎
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