新疆乌鲁木齐地区2020届高三年级第三次质量监测文科数学试题 Word版含解析

新疆乌鲁木齐地区2020届高三年级第三次质量监测文科数学试题 Word版含解析

乌鲁木齐地区2020年高三年级第三次质量监测 文科数学（问卷）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一.项是符合题目要求的.‎ ‎1.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接按照复数的乘法法则运算即可.‎ ‎【详解】.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式得集合A，再根据交集定义求结果.‎ ‎【详解】,‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查集合交集以及一元二次不等式解法，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3.设命题：，，则（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特征命题进行解答即可.‎ ‎【详解】因为命题：，，‎ 所以为：，.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.‎ ‎4.已知等差数列满足，，则( )‎ A. 20 B. 24 C. 26 D. 28‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据等差数列的性质求解即可．‎ ‎【详解】解：∵等差数列满足，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．‎ ‎5.若角的终边过点，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义求出，即可求出结论.‎ ‎【详解】角的终边过点，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数定义以及二倍角公式求三角函数值，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎6.某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是( )‎ A. 85 B. 85.5 C. 86 D. 86.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题是一个加权平均数的问题，求出甲和乙两个班的总分数，再除以两个班的总人数，就是这两个班的平均成绩．‎ ‎【详解】解：由题意，这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查加权平均数的求法，属于基础题．‎ ‎7.如图，正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的大小为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，连，可证，转化为求所成的角，利用平面几何关系，证明即可.‎ ‎【详解】取中点，连，在正方体中，‎ 为中点，，‎ 四边形为平行四边形，，‎ 异面直线与所成角为直线所成的角，‎ 在正方形中，，‎ ‎，‎ 直线与所成角的大小为.‎ 故选：D.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明异面直线垂直，考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎8.在中，，点满足，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知为直角，以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，设，利用向量共线求出点，从而再根据向量数量积的坐标运算即可求解.‎ ‎【详解】在中，，‎ 所以为直角，‎ 以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，‎ 则，，设，，，‎ 由，可得，‎ 即，解得，，‎ 所以，‎ 由 ， ‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了平面向量的线性坐标运算、向量数量积的坐标表示，考查了基本运算能力，属于基础题.‎ ‎9.直线与抛物线交于，两点，若，则的值为( )‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，联立并消元得，，得韦达定理结论，由题意得，由此根据数量积的坐标表示求解即可．‎ ‎【详解】解：设，，‎ 联立并消元得，，‎ ‎∴，，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，属于基础题．‎ ‎10.在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，连接，，由题意可得为外接球的球心，利用球的表面积公式即可求解.‎ ‎【详解】由，，‎ 所以， ‎ 可得，‎ 所以，‎ 即为外接球的球心，球的半径 ‎ 所以四面体的外接球的表面积为：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了多面体的外接球的表面积，需熟记球的表面积公式，属于基础题.‎ ‎11.是双曲线：上位于第二象限的一点，，分别是左、右焦点，.轴上的一点使得，，两点满足，，且，，三点共线，则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，先求出，再根据，求出，再求出，再求出，根据，，三点共线，利用向量平行，找到的关系即可求解.‎ ‎【详解】解：如图，‎ ‎，‎ 把代入，得，‎ 设，‎ 因为，所以，所以 ，，‎ 即，‎ 因为，所以是线段的中点，所以，‎ 即，‎ 设，则，‎ 因为，所以，，所以，‎ ‎，‎ 因为，，三点共线，所以，‎ 所以，‎ ‎，，，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】结合向量考查用解析法求双曲线的离心率，对于学生的运算求解能力是挑战，计算量大，容易出错；中档题.‎ ‎12.定义在上的函数，当时，，且对任意实数，都有，若有且仅有5个零点，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，分别作出函数和的图像，利用数形结合即可得出结果.‎ ‎【详解】当时，，‎ 当时，，此时，‎ 则 ‎，‎ 当时，，此时，‎ 则 ‎，‎ 当时，，此时，‎ 则 ‎，‎ 由，可得，‎ 分别作出函数和的图像：‎ 若时，此时两个函数图像只有个交点，不满足条件；‎ 若时，当对数函数经过点时，两个图像有个交点，‎ 经过点时有个交点，‎ 则要使两个函数有有且仅有5个零点，‎ 则对数函数图像必须在点以下，在点以上，‎ ‎，，‎ ‎，， ‎ 即满足，解得，即.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了由函数的零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合以及转化与化归的思想，属于难题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数学2，语文），（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共6个，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故2本数学书相邻的概率 ． ‎ ‎14.已知定义在上的奇函数满足：当时，，则______.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义在上的奇函数，则，然后再由时，求解.‎ ‎【详解】因为定义在上的奇函数，且当时，，‎ 所以.‎ 故答案为：-2‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用以及对数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎15.f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】函数f(x)的周期T＝，‎ 因此f(x)＝2sinωx在上是增函数，‎ ‎∵0<ω<1，∴是的子集，‎ ‎∴f(x)在上是增函数，‎ ‎∴＝，即2sin＝，‎ ‎∴ω＝，‎ ‎∴ω＝，故答案为.‎ ‎16.在正项等比数列中，，，，成等差数列，则数列的前项之积的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公比为，由题意.根据，、、成等差数列，求出，写出.令，可得数列的前项之积，即求的最小值.‎ ‎【详解】由题意等比数列中，.设公比为，则.‎ ‎，，成等差数列，，‎ 即，解得或（舍）.‎ ‎，，即，‎ ‎.‎ ‎.‎ 令，则数列的前项之积 ‎，‎ 当或5时，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.‎ 三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在中，，，是，，所对的边，，，.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若为边上一点，且，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意求得，再根据余弦定理即可求出答案；‎ ‎（Ⅱ）根据正弦定理可得，从而求得，则，再根据三角形的面积公式即可求出答案．‎ 详解】解：（Ⅰ）由，得，‎ ‎∴，‎ 又∵，，‎ 又，即，‎ 解得，(负值舍去)；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴的面积．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，属于基础题．‎ ‎18.在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：‎ ‎（Ⅰ）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率；‎ ‎（Ⅱ）是否有的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”.‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）没有的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据等高条形图求出学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的人数为人，由古典概型的概率计算公式即可求解.‎ ‎（Ⅱ）根据题意列出列联表，计算出观测值，根据独立性检验的基本思想即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）从等高条形图中看出，学习时长不超过1小时， ‎ 但考试成绩超过120分人数为人，∴其概率为；‎ ‎（Ⅱ）依题意，得列联表：‎ 数学成绩 在线学习时长 分 分 合计 小时 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 小时 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 合计 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ ‎∵，‎ ‎∴没有的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”.‎ ‎【点睛】本题主要考查了独立性检验的基本思想、古典概型的概率计算公式、列联表，属于基础题.‎ ‎19.如图，将直角边长为的等腰直角三角形，沿斜边上的高翻折，使二面角的大小为，翻折后的中点为.‎ ‎（Ⅰ）证明平面；‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）证出，，然后利用线面垂直的判定定理即可证出.‎ ‎（Ⅱ）设点到平面的距离为，利用等体法，由三棱锥的体积公式即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵折叠前，是斜边上的高， ‎ ‎∴是的中点，∴，‎ 又因为折叠后是的中点，‎ ‎∴，折叠后，‎ ‎∴，，‎ ‎∴平面；‎ ‎（Ⅱ）设点到平面的距离为，‎ 由题意得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离、三棱锥的体积公式，考查了逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎20.已知椭圆：右焦点为，为椭圆上异于左右顶点，的一点，且面积的最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与直线交于点，线段的中点为，证明直线平分.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意得，解出即可；‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，与椭圆方程联立求得点，求出点，从而得中点，利用斜率的计算公式与正切的定义即可证明结论．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由题意得，解得，‎ ‎∴椭圆的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，代入，‎ 得，‎ 解得，或，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 易知直线与的交点，‎ ‎∴线段的中点，‎ 设，则，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，即直线平分．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．‎ ‎21.已知.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设是的极小值点，求的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）当时，对函数求导，再对导函数进行求导，判断导函数的单调性，最后利用导函数的单调性进行判断的正负性，最后确定的单调性；‎ ‎（Ⅱ）对函数求导，再对导函数进行求导，判断导函数的单调性，根据极值的定义，结合构造新函数，对新函数进行求导，结合新函数的单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，，，显然，‎ 设，，‎ ‎∵，∴在上增函数，‎ 当时，，当时，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（Ⅱ）由，设，‎ 则，∴在上单调递增，‎ ‎∴存在极小值点满足，即，‎ ‎∴，‎ 令，则，‎ 当时，单调递减，‎ 当时，单调递增，‎ 所以当时，有最大值，即，‎ 所以的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值问题，考查了数学运算能力.‎ 选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答， ‎ 如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设与交点为，，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先根据曲线的参数方程，消去参数t化为直角坐标方程，然后将 代入求解.‎ ‎（Ⅱ）先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后与曲线的直角坐标方程联立，求得A，B的坐标，再求面积.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 消去参数t得：，‎ 即：，‎ 又因为，‎ 代入上式得曲线：；‎ ‎（Ⅱ）因为曲线的极坐标方程为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 联立方程，‎ 解得或，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎23.设，均为正数，且，证明：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用分析法、作差法即可证明不等式.‎ ‎（Ⅱ）将不等式两边平方，利用分析法即可证明.‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵，要证，‎ 只需要证明，，‎ 也就是要证明，即证，‎ ‎∵，均为正数，∴，∴； ‎ ‎（Ⅱ）∵，均为正数，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴.‎ ‎【点睛】本题考考查了分析法、作差法、基本不等式证明不等式，属于基础题.‎