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文档介绍
2018年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷(理科)
2018年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷(理科) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的. 1.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满足,则=( ) A.4 B.5 C.6 D.8 2.(5分)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔仔细算相还”.其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为( ) A.6里 B.12里 C.24里 D.48里 3.(5分)关于x的不等式x2﹣(a+1)x+a<0的解集中,恰有3个整数,则a的取值范围是( ) A.(4,5) B.(﹣3,﹣2)∪(4,5) C.(4,5] D.[﹣3,﹣2)∪(4,5] 4.(5分)已知等差数列{an}中,a5+a7=sinxdx,则a4+a6+a8=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.(5分)一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图和侧(左)视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形,则该多面体的各条棱中最长棱的长度为( ) A. B. C.1 D.2 6.(5分)m,n,l为不重合的直线,α,β,γ为不重合的平面,则下列说法正确的是( ) A.m⊥l,n⊥l,则m∥n B.α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β C.m∥α,n∥α,则m∥n D.α∥γ,β∥γ,则α∥β 7.(5分)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分,回答如下:甲说:是我考满分;乙说:丙不是满分;丙说:乙说的是真话.事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么满分的同学是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.不确定 8.(5分)已知正实数x,y满足2x+y=1,则xy的最大值为( ) A. B. C. D. 9.(5分)函数g(x)的图象是函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的,则函数g(x)的图象的对称轴可以为( ) A.直线x= B.直线x= C.直线x= D.直线x= 10.(5分)已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(2x﹣1)lnx,则曲线y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1))处的切线斜率为( ) A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 11.(5分)已知,是单位向量,,若向量满足,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 12.(5分)设函数则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( ) A. B. C.0≤a<1 D.a≥1 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(5分)若实数x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为 . 14.(5分)已知向量满足,且,则的夹角是 . 15.(5分)已知tanα=2,则的值等于 . 16.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn,若an+1+(﹣1)nan=n,则S40= . 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 17.(12分)已知向量(x∈R),设函数f(x)=﹣1. (1)求函数f(x)的单调增区间; (2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,若f(A)=2,B=,边AB=3,求边BC. 18.(12分)已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列的前n项和为Tn,求证:Tn<. 19.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC; (3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由. 20.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=2,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1﹣2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 21.(12分)已知f(x)=ln(a+x)﹣x. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当x>0时,恒成立,求a的取值范围; (3)求证:当时,. 请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.(10分)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C的极坐标方程; (2)直线l的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=,l与C交于A,B两点,求|AB|的值. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x+3|. (1)求不等式f(x)≤3的解集; (2)若不等式f(x)<a2﹣6a解集非空,求实数a的取值范围. 2018年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的. 1.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满足,则=( ) A.4 B.5 C.6 D.8 【解答】解:由,得, 则, 故选:B. 2.(5分)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔仔细算相还”.其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为( ) A.6里 B.12里 C.24里 D.48里 【解答】解:记每天走的路程里数为{an}, 由题意知{an}是公比的等比数列, 由S6=378,得=378, 解得:a1=192, ∴=12(里). 故选:B. 3.(5分)关于x的不等式x2﹣(a+1)x+a< 0的解集中,恰有3个整数,则a的取值范围是( ) A.(4,5) B.(﹣3,﹣2)∪(4,5) C.(4,5] D.[﹣3,﹣2)∪(4,5] 【解答】解:∵关于x的不等式x2﹣(a+1)x+a<0, ∴不等式可能为(x﹣1)(x﹣a)<0, 当a>1时得1<x<a,此时解集中的整数为2,3,4, 则4<a≤5, 当a<1时,得a<x<1, 则﹣3≤a<﹣2, 故a的取值范围是[﹣3,﹣2)∪(4,5]. 故选:D. 4.(5分)已知等差数列{an}中,a5+a7=sinxdx,则a4+a6+a8=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解答】解:等差数列{an}中,a5+a7=sinxdx=(﹣cosx)|=﹣(﹣1﹣1)=2, 可得a4+a8=2a6=a5+a7=2, 则a4+a6+a8=3, 故选:A. 5.(5分)一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图和侧(左)视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形,则该多面体的各条棱中最长棱的长度为( ) A. B. C.1 D.2 【解答】解:由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD, 其中底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD, 且PA=AB=1, ∴几何体的最长棱为PC==. 故选:B. 6.(5分)m,n,l为不重合的直线,α,β,γ为不重合的平面,则下列说法正确的是( ) A.m⊥l,n⊥l,则m∥n B.α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β C.m∥α,n∥α,则m∥n D.α∥γ,β∥γ,则α∥β 【解答】解:由m⊥l,n⊥l,在同一个平面可得m∥n,在空间不成立,故错误; 若α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能平行与可能相交,故错误; m∥α,n∥α,则m、n可能平行、相交或异面,故错误; α∥γ,β∥γ,利用平面与平面平行的性质与判定,可得α∥β,正确. 故选:D. 7.(5分)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分,回答如下:甲说:是我考满分;乙说:丙不是满分;丙说:乙说的是真话.事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么满分的同学是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.不确定 【解答】解:如果甲说的是真话,则乙丙都是真话,与在这三名同学中,只有一人说的是假话,相矛盾, 如果甲说的是假话,乙丙说的是真话,那乙就是满分, 故选:B 8.(5分)已知正实数x,y满足2x+y=1,则xy的最大值为( ) A. B. C. D. 【解答】解:∵正实数x,y满足2x+y=1, 则1,化为:xy≤,当且仅当2x=y=时取等号. ∴xy的最大值为. 故选:A. 9.(5分)函数g(x)的图象是函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的,则函数g(x)的图象的对称轴可以为( ) A.直线x= B.直线x= C.直线x= D.直线x= 【解答】解:∵f(x)=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣), ∴向右平移个单位而得到g(x)=2sin[2(x﹣)﹣]=﹣2cos2x, ∴令2x=kπ,k∈Z,可解得x=,k∈Z,k=1时,可得x=, 故选:C. 10.(5分)已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(2x﹣1)lnx,则曲线y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1))处的切线斜率为( ) A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 【解答】解:∵当x>0时,f(x)=(2x﹣1)lnx,∴f′(x)=2lnx+2﹣, ∴f′(1)=1 ∵函数f(x)是偶函数, ∴f′(﹣1)=﹣1, ∴曲线y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1))处的切线斜率为﹣1, 故选:B. 11.(5分)已知,是单位向量,,若向量满足,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【解答】解:令,,, 如图所示:则, 又,所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上, 易知点C与O、D共线时达到最值,最大值为+1,最小值为﹣1, 所以的取值范围为[﹣1,+1]. 故选A. 12.(5分)设函数则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( ) A. B. C.0≤a<1 D.a≥1 【解答】解:∵函数, 若f(f(a))=2f(a), 则f(a)≥1, 当a<1时,由3a﹣1≥1得:≤a<1, 当a≥1时,2a≥1恒成立, 综上可得:, 故选:A. 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(5分)若实数x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为 ﹣4 . 【解答】解:作表示的平面区域如下, z=x﹣2y可化为y=﹣, 故当过点(0,2)时,﹣有最大值,z=x﹣2y有最小值﹣4; 故答案为:﹣4. 14.(5分)已知向量满足,且,则的夹角是 . 【解答】解:向量满足,且, 可得﹣=﹣6, ﹣4=﹣6, 可得cos=﹣. 则的夹角是:. 故答案为:. 15.(5分)已知tanα=2,则的值等于 . 【解答】解:=cos(2α++π)=﹣sin(2α)=﹣cos2α 而cos2α=且tanα=2 则原式=﹣2cos2α=== 故答案为: 16.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn,若an+1+(﹣1)nan=n,则S40= 420 . 【解答】解:由an+1+(﹣1)nan=n, ∴当n=2k时,有a2k+1+a2k=2k,① 当n=2k﹣1时,有a2k﹣a2k﹣1=2k﹣1,② 当n=2k+1时,有a2k+2﹣a2k+1=2k+1,③ ①﹣②得:a2k+1+a2k﹣1=1, ①+③得:a2k+2+a2k=4k+1, ∴a2k﹣1+a2k+a2k+1+a2k+2=4k+2. ∴S40=4(1+3+…+19)+20=+20=420. 故答案为:420. 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 17.(12分)已知向量(x∈R),设函数f(x)=﹣1. (1)求函数f(x)的单调增区间; (2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,若f(A)=2,B=,边AB=3,求边BC. 【解答】解:由已知得到函数f(x)=﹣1=2cos2x+2sinxcosx﹣1 =cos2x+sin2x =2cos(2x﹣); 所以(1)函数f(x)的单调增区间是(2x﹣)∈[2kπ﹣π,2kπ],即x∈[kπ﹣,kπ+],k∈Z; (2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,f(A)=2,则2cos(2A﹣)=2,所以A=,又B=,边AB=3, 所以由正弦定理得,即,解得BC=. 18.(12分)已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列的前n项和为Tn,求证:Tn<. 【解答】解:(1)由题意得 解得, ∴an=4n+2; (2), ∴, ∴. 19.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC; (3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由. 【解答】(1)证明:∵PC⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD, ∴PC⊥DC, ∵DC⊥AC,PC∩AC=C, ∴DC⊥平面PAC; (2)证明:∵AB∥DC,DC⊥AC, ∴AB⊥AC, ∵PC⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD, ∴PC⊥AB, ∵PC∩AC=C, ∴AB⊥平面PAC, ∵AB⊂平面PAB, ∴平面PAB⊥平面PAC; (3)解:在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF. ∵点E为AB的中点, ∴EF∥PA, ∵PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF, ∴PA∥平面CEF. 20.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=2,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1﹣2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 【解答】(1)证明:由已知得a1+a2=4a1+2,解得a2=8,b1=a2﹣2a1=4. 又有an+2=Sn+2﹣Sn+1=4an+1+2﹣(4an+2)=4an+1﹣4an, 所以an+2﹣2an+1=2(an+1﹣2an),即bn+1=2bn, 因此数列{bn}是首项为4,公比为2的等比数列. (2)解:由(1)得等比数列{bn}中b1=4,q=2, 所以,, 因此数列是首项为1,公差为1的等差数列,, 21.(12分)已知f(x)=ln(a+x)﹣x. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当x>0时,恒成立,求a的取值范围; (3)求证:当时,. 【解答】解:(1)∵f′(x)=﹣1=, 令f′(x)=0,解得:x=1﹣a, ∴x∈(﹣a,1﹣a)时,f′(x)>0,x∈(1﹣a,+∞)时,f′(x)<0, ∴f(x)在(﹣a,1﹣a)递增,在(1﹣a,+∞)递减; (2)令g(x)=f(x)+=ln(x+a)+﹣x=ln(x+a)﹣>0, 故x+a>,即a>﹣x恒成立, 令t=∈(0,1),则a>et+恒成立, 令φ(t)=et+,则φ′(t)=﹣, 下面证明φ′(t)<0, ∵e﹣t>﹣t+1,且t∈(0,1)时,(t﹣1)2﹣(﹣t+1)=t2﹣t<0, ∴e﹣t>﹣t+1>(t﹣1)2>0, ∴φ′(t)=et﹣<0,∴φ(t)递减, ∴a≥φ(0)=1,即a的范围是[1,+∞); (3)由(2)可知:a=1,x>0时,ln(x+1)>, 当x∈(0,)时,令m(x)=x﹣sinx,则m′(x)=1﹣cosx>0, ∴m(x)递增,∴m(x)>0,即x>sinx>0, 又n(x)=在(0,+∞)递增, 故>, 故. 请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.(10分)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C的极坐标方程; (2)直线l的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0= ,l与C交于A,B两点,求|AB|的值. 【解答】解:(1)圆C的参数方程为(α为参数),普通方程为x2+(y+6)2=25, 极坐标方程为ρ2+12ρsinθ+11=0; (2)设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,则ρ1+ρ2=﹣12sinα0,ρ1ρ2=11 ∵tanα0=,∴sin2α0=,∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==6. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x+3|. (1)求不等式f(x)≤3的解集; (2)若不等式f(x)<a2﹣6a解集非空,求实数a的取值范围. 【解答】解:(1)由已知得|x﹣2|﹣|x+3|≤3, 当x≤﹣3时2﹣x+x+3≤3解集为空集; 当﹣3<x<2时2﹣x﹣(x+3)≤3解得﹣2<x<2; 当x≥2时x﹣2﹣(x+3)≤3解得x≥2; 故所求不等式的解集为[﹣2,+∞). (2)因为|f(x)|=||x﹣2|﹣|x+3||≤|x﹣2﹣x﹣3|=5, 所以﹣5≤f(x)≤5,即f(x)的最小值为﹣5, 要不等式f(x)<a2﹣6a解集非空,需f(x)min<a2﹣6a, 从而a2﹣6a+5>0,解得a<1或a>5, 所以a的取值范围为(﹣∞,1)∪(5,+∞). 查看更多