人教a版高中数学选修1-1课时提升作业十七2-3-2-2精讲优练课型word版含答案

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温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业 十七 抛物线方程及性质的应用 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2016·郑州高二检测)过点(-1,0)且与抛物线 y2=x 有且仅有一个公共点的直线有 ( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 【解析】选 C.点(-1,0)在抛物线 y2=x 的外部,故过(-1,0)且与抛物线有且仅有一个公共点的 直线有三条,其中两条为切线,一条为 x 轴. 【延伸探究】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与 y2=x 只有一个公共点的直线有 ( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 【解析】选 B.因为点(1,1)在抛物线 y2=x 上,所以作与 y2=x 只有一个公共点的直线有两条, 其中一条为切线,一条为平行于 x 轴的直线. 2.过点(1,0)作斜率为-2 的直线,与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,则弦 AB 的长 为 ( ) A.2 B.2 C.2 D.2 【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意知 AB 的方程为 y=-2(x-1),即 y=-2x+2. 由 得 x2-4x+1=0, 所以 x1+x2=4,x1x2=1. 所以|AB|= = = =2 . 3.(2016·福州高二检测)若抛物线 y2=x 上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+b 对称,且 y1y2=-1,则实数 b 的值为 ( ) A.-3 B.3 C.2 D.-2 【解析】选 D.因为抛物线y2=x上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,所以 =-1, 所以 =-1,所以 y1+y2=-1. 因为 y1y2=-1,所以 x1+x2= + =(y1+y2)2-2y1y2=3, 所以两点 A(x1,y1),B(x2,y2)中点坐标为 . 代入 y=x+b,可得 b=-2. 4.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中 点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 ( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 代入抛物线方程得: ①-②得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2). 又因为 y1+y2=4,所以 = = =k=1,所以 p=2 所以所求抛物线的准线方程为 x=-1. 5.(2016·西安高二检测)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过点 F 且与 C 交于 A,B 两点. 若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为 ( ) A.y=x-1 或 y=-x+1 B.y= (x-1)或 y=- (x-1) C.y= (x-1)或 y=- (x-1) D.y= (x-1)或 y=- (x-1) 【解析】选 C.由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线 l 与抛物线的准线相交于点 M,则由抛 物线的定义可知: = ,所以|MB|=2x,所以直线 l 的倾斜角为 60°或 120°,即直线 l 的斜率为± . 【误区警示】本题容易将倾斜角当作 45°而错选 A. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2016·临沂高二检测)直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点,则 k= . 【解析】当 k=0 时,直线与抛物线有唯一交点,当 k≠0 时,联立方程消 y 得:k2x2+4(k-2)x+4=0, 由题意Δ=16(k-2)2-16k2=0,解得 k=1. 答案:0 或 1 7.(2016·广州高二检测)在抛物线 y=4x2 上求一点,使该点到直线 y=4x-5 的距离最短,则该 点的坐标是 . 【解析】设与直线 y=4x-5 平行的直线为 y=4x-b,代入 y=4x2 得 4x2-4x+b=0. 令Δ=16-16b=0,解得 b=1, 所以与直线 y=4x-5 平行的直线为 y=4x-1,所以直线 y=4x-1 与抛物线相切,切点到 y=4x-5 的 距离最短. 由 4x2-4x+1=0,解得 x= , 所以 y=1,所求点为 . 答案: 8.(2016·长春高二检测)抛物线焦点在 y 轴上,截得直线 y= x+1 的弦长为 5,则抛物线的标 准方程为 . 【解题指南】设出抛物线的方程利用弦长公式求解. 【解析】设抛物线方程为 x2=my, 联立抛物线方程与直线 y= x+1 的方程并消元, 得:2x2-mx-2m=0,设直线 y= x+1 与抛物线的交点坐标为(x1,y1),(x2,y2), Δ=(-m)2-4×2×(-2m)=m2+16m>0,解得 m>0 或 m<-16. 所以 x1+x2= ,x1x2=-m, 所以 5= , 把 x1+x2= ,x1x2=-m 代入解得 m=4 或-20, 所以抛物线的标准方程为 x2=4y 或 x2=-20y. 答案:x2=4y 或 x2=-20y 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(1)设抛物线 y2=4x 被直线 y=2x+k 截得的弦长为 3 ,求 k 的值. (2)以(1)中的弦为底边,以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形,当三角形的面积为 9 时,求 P 点坐 标. 【解析】(1)由 得 4x2+(4k-4)x+k2=0, 设直线与抛物线交于 A(x1,y1)与 B(x2,y2)两点. 当Δ=(4k-4)2-4×4k2>0,即 k< 时, x1+x2=1-k,x1x2= , 所以|AB|= = = = . 因为|AB|=3 , 所以 =3 ,解得 k=-4. (2)因为三角形的面积为 9,底边长为 3 , 所以三角形高 h= = . 因为点 P 在 x 轴上,所以设 P 点坐标是(x0,0), 则点 P 到直线 y=2x-4 的距离就等于 h, 所以 h= = , 解得 x0=-1 或 5. 所以 P 点坐标为(-1,0)或(5,0). 10.已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A,B 两点. (1)求证:OA⊥OB. (2)当△OAB 的面积等于 时,求 k 的值. 【解析】(1)如图所示,由 消去 x 得,ky2+y-k=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1y2=-1,y1+y2=- . 因为 A,B 在抛物线 y2=-x 上, 所以 =-x1, =-x2,所以 · =x1x2. 因为 kOA·kOB= · = = =-1,所以 OA⊥OB. (2)设直线与 x 轴交于点 N,显然 k≠0. 令 y=0,得 x=-1,即 N(-1,0). 因为 S△OAB=S△OAN+S△OBN = |ON||y1|+ |ON||y2| = |ON|·|y1-y2|, 所以 S△OAB= ·1· = . 因为 S△OAB= , 所以 = ,解得 k=± . 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2016·武汉高二检测)抛物线 y=ax2(a>0)与直线 y=kx+b 两个交点的横坐标分别为 x1,x2, 而 x3 是直线与 x 轴交点的横坐标,则 ( ) A.x3=x1+x2 B.x3= + C.x1x2=x1x3+x2x3 D.x1x3=x2x3+x1x2 【解析】选 C.将 y=kx+b 代入 x2= (a>0),得 ax2-kx-b=0,x1+x2= ,x1x2=- , + = =- . 而直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标 x3=- , 所以 + = , 所以 x1x2=x2x3+x1x3. 2.(2016·南宁高二检测)已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点,且斜率为 k 的直线 与 C 交于 A,B 两点,若 · =0,则 k= ( ) A. B. C. D.2 【解题指南】先求出抛物线的焦点,列出过焦点的直线方程,与抛物线联立,化简成关于 x 的 一元二次方程,利用根与系数的关系代入求解. 【解析】选 D.由题意知,直线 AB 的方程为 y=k(x-2),将其代入 y2=8x 得,k2x2-4(k2+2)x+4k2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= ,x1x2=4. ① 又 y1+y2=k(x1+x2)-4k, ② y1y2=k2. ③ 因为 · =0, 所以(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0, 即 x1x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0. ④ 由①②③④得,k=2. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.直线 y=x-3 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,过 A,B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 P,Q,则梯形 APQB 的面积为 . 【解析】由 得 x2-10x+9=0, 所以 x1+x2=10,|y1-y2|=8, 即|AP|+|BQ|=x1+x2+p=10+2=12, |PQ|=|y1-y2|=8, 所以 S 梯形 APQB= ·|PQ|=48. 答案:48 4.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|, 则 k= . 【解析】设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 由 消去 y 得,k2x2+4x(k2-2)+4k2=0, 所以 x1+x2= ,x1x2=4. 由抛物线定义得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2, 又因为|AF|=2|BF|,所以 x1+2=2x2+4, 所以 x1=2x2+2 代入 x1x2=4,得 +x2-2=0, 所以 x2=1 或-2(舍去),所以 x1=4, 所以 =5,所以 k2= , 因为 k>0,所以 k= . 则Δ=2-4·k2·4k2=16×4(1-k2)>0 符合题意. 答案: 【补偿训练】在已知抛物线 y=x2 上存在两个不同的点 M,N 关于直线 y=kx+ 对称,则 k 的取值 范围为 . 【解析】设 M(x1, ),N(x2, )关于直线 y=kx+ 对称, 所以 =- ,即 x1+x2=- .设 MN 的中点为(x0,y0),则 x0=- ,y0=k× + =4. 因中点在 y=x2 内,有 4> ⇒k2> , 所以 k> 或 k<- . 答案:k> 或 k<- 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.(2016·蚌埠高二检测)如图,过抛物线 y2=x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB,AC, 交抛物线于 B,C 两点,求证:直线 BC 的斜率是定值. 【证明】设 kAB=k(k≠0), 因为直线 AB,AC 的倾斜角互补, 所以 kAC=-k(k≠0), AB 的方程是 y=k(x-4)+2. 由方程组 消去 y 后,整理得 k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0. 因为 A(4,2),B(xB,yB)的坐标是上述方程组的解, 所以 4·xB= , 即 xB= . 以-k 代换 xB 中的 k,得 xC= , 所以 kBC= = = = =- . 所以直线 BC 的斜率为定值. 【补偿训练】(2016·唐山高二检测)已知抛物线 E:x2=2py(p>0),直线 y=kx+2 与 E 交于 A,B 两点,且 · =2,其中 O 为原点. (1)求抛物线 E 的方程. (2)点 C 坐标为(0,-2),记直线 CA,CB 的斜率分别为 k1,k2,证明: + -2k2 为定值. 【解析】(1)将 y=kx+2 代入 x2=2py,得 x2-2pkx-4p=0, 其中Δ=4p2k2+16p>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=2pk,x1x2=-4p. · =x1x2+y1y2=x1x2+ · =-4p+4. 由已知得,-4p+4=2,p= , 所以抛物线 E 的方程为 x2=y. (2)由(1)知,x1+x2=k,x1x2=-2. k1= = = =x1-x2, 同理 k2=x2-x1, 所以 + -2k2=2(x1-x2)2-2(x1+x2)2 =-8x1x2=16. 所以 + -2k2 为定值. 6.(2015·福建高考)已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点,点 A(2,m)在抛物线 E 上,且 |AF|=3. (1)求抛物线 E 的方程. (2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆, 必与直线 GB 相切. 【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得 =2+ , 因为 =3,即 2+ =3, 解得 p=2, 所以抛物线 E 的方程为 y2=4x. (2)因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上, 所以 m=±2 ,由抛物线的对称性, 不妨设 A(2,2 ), 由 A(2,2 ),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 (x-1). 由 得 2x2-5x+2=0, 解得 x=2 或 x= ,从而 B . 又 G(-1,0), 所以 kGA= = , kGB= =- , 所以 kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点 F 到直线 GA,GB 的距离相等,故以 F 为圆心且与直 线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切. 方法二:(1)同方法一. (2)设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r. 因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上, 所以 m=±2 ,由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 ), 由 A(2,2 ),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 (x-1). 由 得 2x2-5x+2=0, 解得 x=2 或 x= ,从而 B . 又 G(-1,0),故直线 GA 的方程为 2 x-3y+2 =0, 从而 r= = . 又直线 GB 的方程为 2 x+3y+2 =0, 所以点 F 到直线 GB 的距离 d= = =r. 这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切. 【补偿训练】(2016·天水高二检测)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线与 抛物线交于 A,B 两点. (1)若 p=2,求线段 AF 中点 M 的轨迹方程. (2)若直线 AB 的方向向量为 n=(1,2),当焦点为 F 时,求△OAB 的面积. (3)若 N 是抛物线 C 准线上的点,求证:直线 NA,NF,NB 的斜率成等差数列. 【解析】(1)设 A(x0,y0),M(x,y),焦点 F(1,0), 则由题意得 即 所求的轨迹方程为 4y2=4(2x-1), 即 y2=2x-1. (2)y2=2x,F , 直线 y=2 =2x-1, 由 得 y2-y-1=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|= |y1-y2|= ,设点 O 到直线 AB 的距离为 d, 则 d= , S△OAB= d|AB|= . (3)显然直线 NA,NB,NF 的斜率都存在,分别设为 k1,k2,k3, 点 A,B,N 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),N , 设直线 AB:x=ay+ , 代入抛物线得 y2-2apy-p2=0, 所以 y1y2=-p2, 又 =2px1, =2px2, 所以 x1+ = + = ( +p2), x2+ = + = + = ( +p2), 所以 k1+k2= + = + =- , 而 k3= =- , 故 k1+k2=2k3, 所以直线 NA,NF,NB 的斜率成等差数列. 关闭 Word 文档返回原板块