人教新课标A版高一数学2-3-1等差数列的前n项和(一)）

人教新课标A版高一数学2-3-1等差数列的前n项和(一)）

备课资料 一、备用习题 1.求集合 M={m|m=7n,n∈N*,且 m＜100}的元素个数，并求这些元素的和. 分析：求解的关键在于要理解这个集合的元素特征，抓好集合中的数全是由 7 的倍数组成， 再由本节课学过的知识运用加以解决. 解：由 7n＜100 得 n＜ 7 100 = 7 214 .所以，正整数 n 共有 14 个，即 M 中共有 14 个元素,即 7， 14，21，…，98 是一个以 a1=7 为首项，公差为 7 且 a 14=98 的等差数列.所以 Sn= 2 )987(14  =735.答：这些元素的和为 735. 2.已知两个等差数列：2，5，8，…，197 和 2，7，12，…，197.求这两个数列中相同项之和. 分析：两个等差数列的相同项仍组成等差数列，找出其首项、公差、项数，即可求出它们的 和. 解：其相同项是 2，17，32，…，197，组成以 2 为首项，公差为 15，末项为 197 的等差数 列.设此数列共有 n 项，则 197=2＋(n-1)×15，得 n=14， 那么相同项的和 13932 14)1972( nS . 点评：如果两个等差数列的公差分别为 d1 和 d2，且 d1 和 d2 的最大公约数为 a，则两个等差 数列中公共项所组成的等差数列的公差 d=(d1×d2)÷a，即 d 为 d1 和 d2 的最小公倍数. 3.用分期付款的方式购置房子一套，价格为 115 万元.购置当天先付 15 万元，以后每月的这 一天都支付 5 万元，并加付欠款利息，月利息率 1%.若交付 15 万元后的第 1 个月开始算分 期付款的第 1 个月，问分期付款的第 10 个月应付多少钱？全部房款付清后，购买这套房子 实际花了多少钱？ 分析：购买时付了 15 万元，欠款 100 万元.每月付 5 万元及欠款利息，需分 20 次付完，且 每月总付款数顺次组成等差数列. 解：由题意，购置当天付了 15 万元，欠款 100 万元.每月付 5 万元，共分 20 次付完.设每月 付款数顺次组成数列｛an｝，则 a1＝5＋100×1%=6，a2＝5＋(100-5)×1%=6-0.05，a3＝5＋ (100-5×2)×1%=6-0.05×2，依次类推，得 an=6-0.05(n-1)(1≤n≤20). 由于 an-a n-1=-0.05，所以｛an｝组成等差数列，a10=6-0.05×9=5.55(万元).从而，全部房款付 清后总付款数为 S20+15= 2 20)( 201  aa +15=125.5(万元). 答：第 10 个月应付 5.55 万元，购买这套房子实际花了 125.5 万元. 点评：解应用题时，首先应仔细“读题”.抓住关键的数量关系，逐个数据进行分析，建立相 应的数学模型.再求解数学模型，得出数学结论，最后回答实际问题. 4.把正整数以下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个 数，设 Sn 表示第 n 组中所有各数的和，那么 S21 等于( ) A.1 113 B.4 641 C.5 082 D.53 361 分析：第 21 组共有 21 个数，构成一个等差数列，公差为 1，首项比第 20 组的最后一个数 大 1，所以先求前 20 组一共有多少个数. 解：因为第 n 组有 n 个数，所以前 20 组一共有 1+2+3+…+20=210 个数，于是第 21 组的第 一个数为 211，这组一共有 21 个数，S21=21×211+ 2 2021 ×1=4 641，故选 B. 点评:认真分析条件，转化为数列的基本问题. 二、阅读材料 古代有关数列求和问题的故事 我国数列求和的概念起源很早，古书《周髀算经》里谈到“没日影”时，已出现了简单的 等差数列；《九章算术》中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念. 到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》里给出了几个等差数 列问题.例如：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺， 计织三十日，问共织几何？”原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数， 即得.”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式 naaS n n  2 )( 1 . 再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹 三丈，问日增几何？”书中给出了计算公式 d=( 122 an Sn  )÷(n-1). 这个公式等价于现今中学课本里的公式： 2 ])1(2[ 1 dnanSn  . 大家熟悉的还有象棋格子放麦粒的故事. 其实，更古老的数列问题是写在著名的林德氏埃及草纸本里的分面包问题.它可能写于公元 前 3 000 年. 问题:一百份面包五个人分，要求：第二个人比第一个人多多少，第三个人比第二个人也多 多少，同样，第四个人比第三个人，第五个人比第四个人也多多少.此外，前两人所得的总 数是其余三个人所得总数的七分之一.问每人各得多少？ 解：我们用方程组的方法来求解.设第一个人分得面包 x 份，第二个人比第一个人多分得 y 份，则第二个人分得 x＋y 份，第三个人分得 x＋2y 份，第四个人分得 x＋3y 份，第五个人 分得 x+4y 份.于是有方程组      ).4()3()2()]([7 ,100)4()3()2()( yxyxyxyxx yxyxyxyxx 化简，得      .211 ,202 yx yx 解得        .6 19 ,3 21 y x . 所以由第一个人到第五个人每人所得面包的份数为 3 21 , 6 510 ,20, 6 129 , 3 138 . 上面的一列数 x，x＋y，x＋2y，x+3y，x+4y，由于项数较少，我们可以直接相加求出它们 的和.如果项数很多，怎样求它们的和呢？具体地说，设 Sn=x+(x＋y)+(x+2y)+(x＋3y)+…+(x+ny)，① 能不能较快地求出表示它的和的一个代数式呢？这是容易做到的，我们采用高斯的方法，把 ①式倒过来写，得 Sn=(x+ny)＋[x＋(n-1)y]+…+(x＋3y)+(x+2y)+(x＋y)+x，② 把①与②式按对应项相加，得 2Sn=(2x+ny)+(2x+ny)+…+(2x+ny). =(2x+ny)(n+1)=2(n+1)x+n(n+1)y. ∴Sn=(n+1)x+ 2 )1( nn y. 这种求和方式对于每两项之差为定数的数列(称为等差数列)，求和是极快捷有效的. 实际上，前面所讲的高斯小时候的故事也是一个数列求和的问题.类似的题目在我国古代数 学著作中屡见不鲜，而且解法也令人叫绝，如《翠薇山房算学丛书》中有关梯形堆积物求总 数问题，有兴趣的话，可以查阅一下相关资料.