2012年高考数学真题分类汇编M　推理与证明 （理科）

2012年高考数学真题分类汇编M　推理与证明 （理科）

M　推理与证明 M1　合情推理与演绎推理 ‎11．M1[2012·陕西卷] 观察下列不等式 ‎1＋<，‎ ‎1＋＋<，‎ ‎1＋＋＋<，‎ ‎　……‎ 照此规律，第五个不等式为______________．‎ ‎11．1＋＋＋＋＋< ‎[解析] 本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果．从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1＋＋＋＋＋，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为： 3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1＋＋＋＋＋<.‎ ‎13．M1[2012·湖北卷] 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则 ‎(1)4位回文数有________个；‎ ‎(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．‎ ‎13．(1)90　(2)9×10n　[解析] 由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有1001,1111,1221，…，1991,2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n＋2位回文数与2n＋1位回文数个数相等，均为9×10n个．‎ ‎16．M1[2012·湖南卷] 设N＝2n(n∈N*，n≥2)，将N个数x1，x2，…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0＝x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1＝x1x3…xN－1x2x4…xN，将此操作称为C变换．将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2；当2≤i≤n－2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到Pi＋1.例如，当N＝8时，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．‎ ‎(1)当N＝16时，x7位于P2中的第________个位置；‎ ‎(2)当N＝2n(n≥8)时，x173位于P4中的第________个位置．‎ ‎16．(1)6　(2) 3×2n－4＋11　[解析] 考查合情推理，以新定义题型为载体，依据排列，考查考生的逻辑推理能力，要求学生的想象能力相当出色．‎ ‎(1)由已知可得P1＝x1x3x5x7x9x11x13x15…，P2＝x1x5x9x13x3x7x11x15…，故x7位于P2中的第6个位置；‎ ‎(2)当i＝1时，P1的排列中x173的位置是＝87位；‎ 当i＝2时，P2的排列中x173的位置是＝44位；‎ 当i＝3时，P3的排列中x173的位置是＋＝2n－3＋22位；‎ 当i＝4时，P4的排列中x173的位置是2n－3＋＝2n－3＋2n－4＋11＝3×2n－4＋11位．‎ ‎6．M1[2012·江西卷] 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)‎ A．28 B．‎76 C．123 D．199‎ ‎6．C　[解析] 考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系．由于a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，故选C.‎ M2　直接证明与间接证明 ‎23．M2、D1[2012·上海卷] 对于数集X＝{－1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{a|a＝(s，t)，s∈X，t∈X}，若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1·a2＝0，则称X具有性质P，例如{－1,1,2}具有性质P.‎ ‎(1)若x＞2，且{－1,1,2，x}具有性质P，求x的值；‎ ‎(2)若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1；‎ ‎(3)若X具有性质P，且x1＝1、x2＝q(q为常数)，求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．‎ ‎23．解：(1)选取a1＝(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(－1，b)，‎ 所以x＝2b，从而x＝4.‎ ‎(2)证明：取a1＝(x1，x1)∈Y，设a2＝(s，t)∈Y，满足a1·a2＝0.‎ 由(s＋t)x1＝0得s＋t＝0，所以s，t异号．‎ 因为－1是X中唯一的负数，所以s，t之中一个为－1，另一个为1，故1∈X.‎ 假设xk＝1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn.‎ 选取a1＝(x1，xn)∈Y，并设a2＝(s，t)∈Y满足a1·a2＝0，即sx1＋txn＝0，‎ 则s，t异号，从而s，t之中恰有一个为－1.‎ 若s＝－1，则x1＝txn＞t＞x1，矛盾；‎ 若t＝－1，则xn＝sx1＜s≤xn，矛盾．‎ 所以x1＝1.‎ ‎(3)设a1＝(s1，t1)，a2＝(s2，t2)，则a1·a2＝0等价于＝－，‎ 记B＝，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称．‎ 注意到－1是X中的唯一负数，B∩(－∞，0)＝{－x2，－x3，…，－xn}共有n－1个数，所以B∩(0，＋∞)也只有n－1个数．‎ 由于＜＜…＜＜，已有n－1个数，对以下三角数阵 ＜＜…＜＜，‎ ＜＜…＜，‎ ‎…‎ .‎ 注意到＞＞…＞，所以＝＝…＝，从而数列的通项为xk＝x1k－1＝qk－1，k＝1,2，…，n.‎ ‎19．D2、D3、M2[2012·湖南卷] 已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2，n＝1,2，….‎ ‎(1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．‎ ‎19．解：(1)对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)是等差数列，所以B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4.‎ 故数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列．‎ 于是an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.‎ ‎(2)①必要性：若数列{an}是公比为q的等比数列，则对任意n∈N*，有an＋1＝anq.由an＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是 ＝＝＝q，‎ ＝＝＝q，‎ 即＝＝q.所以三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．‎ ‎②充分性：若对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，则 B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)．‎ 于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即an＋2－qan＋1＝a2－qa1.‎ 由n＝1有B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1，‎ 从而an＋2－qan＋1＝0.‎ 因为an＞0，所以＝＝q.‎ 故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．‎ 综上所述，数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．‎ ‎22．B12、M3、M2[2012·湖北卷] (1)已知函数f(x)＝rx－xr＋(1－r)(x>0)，其中r为有理数，且0g(1)＝0，从而f′(a2)＝ng(a2)>0，进而f(a2)是(0,1)上的增函数，因此f(a2)＜f(1)＝n－2，所要证的不等式成立．‎ 当a2＞1时，令b＝，则0＜b＜1，由已知的结论知 ＜，‎ 两边同时乘以a得所要证的不等式．‎ 综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．‎ ‎22．B12、M3、M2[2012·湖北卷] (1)已知函数f(x)＝rx－xr＋(1－r)(x>0)，其中r为有理数，且00，‎ 即xk＋1

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