高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2_1指数函数互动课堂学案新人教A版必修11
2.1 指数函数
互动课堂
疏导引导
2.1.1 指数与指数幂的运算
1.根式
一般地,如果 x
n
=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,n∈N
*
.当 n 是奇数时,正数的 n
次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两
个数互为相反数.此时,正数 a的正的 n次方根用符号 n a 表示,负的 n次方根用符号- n a 表
示,方根可以合并成± n a (a>0).由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记
作 n0=0.
式子 n a 叫做根式,n 叫根指数,a 叫做被开方数.
结论:当 n 是奇数时,
n na =a;
当 n 是偶数时,
n na =|a|=
0,
0,
aa
aa
疑难疏引 在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的
定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果 x
3
=a,那么 x 就叫 a 的立方根.如
此类推,我们便得出了 n次实数方根的定义:如果 x
n
=a(n∈N 且 n>1),那么 x就叫 a的 n次方
根.
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义:
规定:a n
m =
n ma (a>0,m、n∈N
*
,n>1);
a
-
n
m =
n
m
a
1
=
n ma
1
(a>0,m、n∈N
*
,n>1).
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义;指出:规定了分数指数幂的意义后,
指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广
到有理数指数幂.
疑难疏引
(1)当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由
此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的
意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.
除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指
数幂同样适用.
(2)指数幂与根式运算的统一性.
指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数,根式化为分数指数幂,结
果要化为最简形式.在最简结果中,不能既有根式又有分数指数幂的形式,同时,也不能出现
既有指数幂又有根式的形式.
(3)有理指数幂的运算性质的记忆口诀.
①a
r
·a
s
=a
r+ s
同底两数作乘法,底数不变指数加.
②(a
r
)
s
=a
r s
幂的乘方要记明,底数不变指数乘.
③(ab)
r
=a
r
b
r
积的乘方大不同,变为幂后再相乘.
3.有理指数幂的运算性质
(1)a
r
·a
s
=a
r+ s
(a>0,r、s∈Q);
(2)(a
r
)
s
=a
rs
(a>0,r、s∈Q);
(3)(ab) r=a
r
b
r
(a>0,b>0,r∈Q).
4.无理指数幂
一般地,无理数指数幂 a
α
(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性
质同样适用于无理数指数幂.
●案例 1 化简:
(1) 3 32 )( xyxy ;
(2)
3
2
3
2
22
yx
yx
-
3
2
3
2
22
yx
yx
(|x| |y|)
【探究】 对题(1),要化简的式子中有根式及幂式,可将根式化成幂式后进行幂的运算;对题
(2),要化简的式子中全是指数式的运算,注意运用乘法公式使其分子分母能够产生公因式,
从而可通过约分化简.
(1) 3 32 )( xyxy
=［xy
2
(x 2
1 y 2
1 )
3
］ 3
1
=［xy
2
x 2
3 y 2
3 ］ 3
1
=(x 2
5 y 2
7 ) 3
1
=x 6
5 y 6
7
=y 6 5 yx .
(2)
3
2
3
2
22
yx
yx
-
3
2
3
2
22
yx
yx
=
3
2
3
2
3
2
3
2 33 )()(
yx
yx
-
3
2
3
2
3
2
3
2 33 )()(
yx
yx
.
∵|x|≠|y|,
∴原式=(x
-
3
2 )
2
-x
-
3
2 y
-
3
2 +(y
-
3
2 )
2
-(x
-
3
4 +x
-
3
2 y
-
3
2 +y
-
3
4 )=-2x
-
3
2 y
-
3
2 =-
xy
xy32
.
【溯源】 对多个根式组成的式子进行化简.我们解题的一般原则是先算根号内的,后进行根
式运算.进行根式、分数指数幂的乘、除、乘方、开方等混合运算时,一般是先将根式化成分
数指数幂,按指数运算法则计算比较简洁;对根式、分数指数幂的混合运算,最后结果一般用
最简根式表示;在指数式的运算中,要注意乘法公式的相应形式,注意灵活运用乘法公式进行
化简.
●案例 2 已知 a=-
27
8
,b=
71
17
,求
33
3
327
93 3
1
3
1
3
4
3
2
3
2
ba
a
baa
baba
的值.
【探究】 由于此题式子结构复杂,先根据公式化简然后代入求值.
∵a≠0,
∴原式=
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
)27(
)3(3 2
a
ba
baa
bbaa
.
又∵a-27b≠0,
∴原式=
4
9)
2
3()
3
2()
27
8(
)27(
)3()( 22
33
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
a
baa
ba
【溯源】 化简、求值一类问题,往往是先将被求代数式化简,然后再代入已知字母的值,求得
代数式的值.首先应化简被求式,遇到小数应化成分数;遇到指数是负数,可以对调底数的分
子和分母,将负指数化为正指数.
2.1.2 指数函数及其性质
1.定义
一般地,函数 y=a
x
(a>0 且 a≠1)叫做指数函数.它的定义域为 R.
疑难疏引 (1)指数函数的解析式y=a
x
中,a
x
的系数是1.有些函数貌似指数函数,实际上却
不是,如 y=a
x
+ k(a>0 且 a≠1,k∈Z);有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如 y=a
-x(a>0,且 a≠1),因为它可以化为 y= xa
1
,其中
a
1
>0,且
a
1
≠1.
(2)在指数函数的定义中我们限定底数的范围为 a>0 且 a≠1,这主要是使函数的定义域为实
数集,且具有单调性.
①若 a=0,当 x>0 时,a
x
=0,当 x≤0时,a
x
没有意义;
②若 a<0,如 y=(-2) x对于 x=
2
1
、
4
3
等都是没有意义的;
③若 a=1,则函数为 y=1
x
=1 是一个常数函数,它的性质没有研究的必要,且不具有单调性.
2.性质
y=a
x
图象 0
1 时的图象
性质 (1)定义域为 R,值域为(0,+∞)
(2)a
0
=1,即 x=0 时,y=1,图象都经过(0,1)点
(3)a
x
=a,即 x=1 时,y 等于底数 a,图象都经过(1,a)点
(4)在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数
(5)x<0 时,a
x
>1;x>0 时,00 时,a
x
>1
(6)既不是奇函数,也不是偶函数
3.单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x 轴是函数图象的渐近线.
当 01 时,x→-∞,y→0;
当 a>1 时,a 的值越大,图象越靠近 y 轴,递增速度越快;
当 0(
3
2
)0.2>(
3
2
) 3
1 .
另一方面,由于 1.3>1,y=1.3
x
在 (-∞,+∞)上是增函数,由 0.7>0,得 1.3
0.7
>1.所以
(
3
2
) 3
1 <1.5 -0.2<1.3 0.7.于是(
3
2
) 3
1 <1.5 -0.2<1.3 0.7.
【溯源】在进行数的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数的性质得出结果.若底数不
相同,则首先考虑能否化成同底数,然后根据指数函数的性质得出结果;不能化成同底数的,
要考虑引进第三个数(如 0,1 等)分别与之比较,从而得出结果.总之比较时要尽量转化成同
底的形式,根据指数函数的单调性进行判断.
●案例 2 求下列函数的定义域与值域:
(1)y=2 3
1
x ;
(2)y=(
3
1
) |x|;
(3)y=4
x
+2
x+1
+1;
(4)y=2
1
1
x
x .
【探究】 (1)因为指数函数 y=2
x
的定义域为 x∈R时,值域为 y∈(0,+∞);若 x≠0,则 y≠1;
由于 y=2 3
1
x 中的
3
1
x
≠0,所以 y≠2 0=1.所以所求函数的定义域是{x|x∈R 且 x≠3},值域
为{y|y>0 且 y≠1}.
(2)因为 y=(
3
1
) |x|中的|x|≥0,所以x∈R,01}.
(4)已知函数可化为y=2 1
1
x ,由
1
1
x
≥0,得x>1;又由
1
1
x
>0,得y=2 1
1
x >1.所以定义域
为{x| x>1},值域为{y| y>1}.
【溯源】
求自然定义域的问题,即要求表达式有意义时相应的 x 的取值范围(集合);求值域的问题均
为复合函数的值域问题,而求复合函数值域的一般步骤是先求出定义域,然后求出内层函数
的值域,由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域,即是复合函数的值域.
●案例 3
某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这
种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果
保留 1个有效数字).
【探究】
通过恰当假设,将剩留量 y 表示成经过年数 x 的函数,并列表、描点、作图,进而求得所
求.
设这种物质最初的质量是 1,经过 x年,剩留量是 y.
经过 1年,剩留量 y=1×84%=0.84;
经过 2年,剩留量 y=1×84%×84%=0.71;
……
一般地,经过 x 年,剩留量 y=0.84
x
.
根据这个函数关系式可以列表如下:
x 0 1 2 3 4 5 6
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
用描点法画出指数函数 y=0.84
x
的图象.从图上看出 y=0.5 只需 x≈4.
答:约经过 4 年,剩留量是原来的一半.
【溯源】
在解决实际应用问题时,首先判断函数模型,再根据函数性质和图象解决问题,此题就是指数
函数图象的应用,也是数形结合思想的体现.
●案例 4
讨论函数 y=(
4
1
) x-(
2
1
) x+1(x∈［-3,2］)的单调区间,并求出它的值域.
【探究】
通过代换 u=(
2
1
) x,则 y 就成了关于 u的二次函数.
令 u=(
2
1
) x,则 y=u 2-u+1=(u-
2
1
) 2+
4
3
.
∵x∈［-3,2］,∴
4
1
≤u=(
2
1
) x≤8.
∴
4
3
≤y≤57.
∴值域为［
4
3
,57］.再求单调区间.
(1)
4
1
≤u≤
2
1
,即
4
1
≤(
2
1
)x≤
2
1
,故 x∈［1,2］时,u=(
2
1
) x是单调减函数,y=(u-
2
1
) 2+
4
3
是单调减函数,∴y=［(
2
1
)x-
2
1
］2+
4
3
是单调增函数.
(2)
2
1
≤u≤8,即
2
1
≤(
2
1
)x≤8,故 x∈［-3,1］时,u=(
2
1
) x是单调减函数,y=(u-
2
1
) 2+
4
3
是
单调增函数,∴y=［(
2
1
)x-
2
1
］2+
4
3
是单调减函数.
∴函数的单调增区间是［1,2］,单调减区间是［-3,1］.
【溯源】
在解决指数和其他函数相复合构成的新函数的性质问题时,一般采取换元的做法,无论是求
值域还是单调性,都要注意内层函数的取值范围和对指数底的讨论,在解决单调性问题时,要
记清复合函数单调性的规律,即“内外层单调性相同,则函数在此区间上递增,如果内外层单
调性相反,则此函数在此区间上递减”.
活学巧用
1. 计算下列各式.
(1)
4 3
2
981 ;
(2)(2
5
3
) 0+2 -2·(2
4
1
) 2
1 -(0.01) 0.5.
【思路解析】 第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小
题将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数.
(1)【解法一】
4 3
2
981 = 4 2 2
1
3
2
)9(9 =
4 2 3
1
99 =
4 3
7
9 =(9 3
7
) 4
1
=9 12
7 =3 6
7 .
【解法二】
4 3
2
981 = 4 3 8181 = 4 6 8181 = 24 283 =
6 73 =3 6 3
(2)【解】 (2
5
3
) 0+2 -2·(2
4
1
)-
2
1 -(0.01) 0.5
=1+
4
1
×(
9
4
) 2
1 -(
100
1
) 2
1 =1+
4
1
×
3
2
-
10
1
=
15
16
.
2. 计算:
(1)(
27
125
) 3
2 ;
(2)0.008 3
2 ;
(3)(
2401
81
) 4
3 ;
(4)(2a+1)
0
;
(5)［
6
5
-(
5
3
) -1］-1.
【思路解析】 在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时〔如
(1)(2)(3)〕,就先把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比较
简便.
在幂的运算中,对于形如 m
0
的式子,要注意对底数 m 是否为零进行讨论,因为只有在 m≠
0时,m 0才有意义;而对于形如(
a
b
)-n的式子,我们一般是先变形为(
b
a
)n,然后再进行运算.
【答案】(1)(
27
125
)
-
3
2 =( 3
3
3
5
) 3
2 = 2
2
3
5
= 2
2
5
3
=
25
9
.
(2)0.008 3
2 =(0.2 3) 3
2 =0.2 -2=(
5
1
) -2=5 2=25.
(3)(
2401
81
) 4
3 =( 4
4
7
3
)
-
4
3 = 3
3
7
3
= 3
3
3
7
=
27
243
.
(4)(2a+1) 0=1, a≠-
2
1
,无意义,a=-
2
1
.
(5)［
6
5
-(
5
3
) -1］-1
=(
6
5
-
3
5
) -1
=(-
6
5
) -1
=-
5
6
.
3. 把根式-25(a-b)
-2
改写成分数指数幂的形式为… ( )
A.-2(a-b)
-
5
2
B.-2(a-b)
-
2
5
C.-2(a
-
5
2 -b
-
5
2 )
D.-2(a
-
2
5 -b
-
2
5 )
【思路解析】 考查根式与分数指数幂的转化.原式可化为-2×(a-b)
-
5
2 =-2(a-b)
-
5
2 .故选
A.
【答案】 A
4. 化简下列各式:
(1)(x
-1
+x+ x
0
)(x
-
2
1 -x 2
1 );
(2)
3
2
3
2
3
2
3
2
2222
yx
yx
yx
yx
;
(3) 33
3
)21(
42
8
3
2
3
2
3
1
3
4
a
a
b
baba
baa
.
【思路解析】
注意题中各式的结构特点,善于识别平方差、立方差等公式.
【答案】
(1)原式=(x 2
1 )
3
-(x 2
1 )
3
=x 2
3 -x 2
3 .
(2)原式=
3
2
3
2
3
2
3
2 33 )()(
yx
yx
-
3
2
3
2
3
2
3
2 33 )()(
yx
yx
=
(x
-
3
2 )
2
-x
-
3
2 y
-
3
2 +(y
-
3
2 )
2
-[((x
-
3
2 )
2
-x
-
3
2 y
-
3
2 +(y
-
3
2 )
2
)]=2(xy)
-
3
2 =-2
xy
xy3
.
(3)原式= a
ba
baaa
ba
a
bbaa
baa
3322 )2()(
)8(
2)2(2)(
)8(
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
.
5. 下列各等式中,正确的是( )
A. 4 4a =a
B. 6 2)2( = 3 2
C.a
0
=1
D. 10 5)12( =( 2 -1) 2
1
【思路解析】
要想判断等式是否正确,首先要使等式两边都有意义,然后计算两边的值,如果相等则正确,
如果不等,则不正确,在计算时要充分应用幂的运算法则.
【解】 4 4a =|a|,由于不知道 a 的符号,因此 A 不正确;
∵ 0)2(6 2 , 3 2 <0,
∴ 6 2)2( ≠ 3 2 .
因此 B不正确;
如果 a=0,则 a
0
没有意义,因此 C 也不正确;
∵ 2 >1,∴ 10
5
)12()12(10 5 =( 2 -1) 10
5
=( 2 -1) 2
1 .
∴D 正确.因此,选 D.
【答案】 D
6. 已知 a 2
1 +a
-
2
1 =2,求下列各式的值.
(1) a
2
+a
-2
;
(2) a
3
+a
-3
;
(3) a
4
+a
-4
.
【思路解析】 本题主要考查的是已知条件与所求式子之间的联系.由(a 2
1 +a
-
2
1 )
2
=a+ a
-1
+2=4
可知 a+ a
-1
=2.
同理可知
(a+ a
-1
)
2
=a
2
+a
-2
+2,
(a
2
+a
-2
)
2
=a
4
+a
-4
+2.
【答案】
(1)2;(2)2;(3)2.
7. 已知 x 2
1 +x 2
1 =3,求 x+ x
-1
与
3
2
2
3
3
2
22
xx
xx
的值.
【思路解析】
由(x 2
1 +x 2
1 )
2
=9,
可得 x+ x
-1
=7.
∵(x 2
1 +x 2
1 )
3
=27,
∴x 2
3 +3x·x +3x 2
1 x
-1
+x
-
2
3 =27.
∴x 2
3 + x
-
2
3 =18.
故原式=2.
8. 关于函数(1)y=x
2
和(2)y=2
x
的下列说法正确的是( )
A. (1)和(2)都是指数函数
B. (1)和(2)都不是指数函数
C. (1)是指数函数,(2)不是
D. (2)是指数函数,(1)不是
【思路解析】
由指数函数特征知(1)不是,(2)是.
【答案】 D
9. 已知对不同的 a 值,函数 f(x)=2+a
x-1
(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 P,则 P 点的坐标是
( )
A. (0, 3)
B. (0, 2)
C. (1, 3)
D. (1, 2)
【思路解析】
函数图象过定点,则函数解析式中含有待定系数(也叫参数)的“项”或“部分表达式”一定
为常数,本题要想使 a
x-1
为常数,又∵a 取不同的值,因此 x-1=0.从而得解.
为使 y为定值,应使 x-1=0,则此时 y=2+a
0
=3,故 P 点坐标为(1,3).
因此,选 C.
【答案】 C
10. 设 y 1=4
0.9,y 2=8
0.44,y 3=( 2
1
) -1.5,则( )
A. y 3 >y 1 >y 2
B. y 2 >y 1 >y 3
C. y 1 >y 2 >y 3
D. y 1 >y 3 >y 2
【思路解析】 把给出的三个函数化为同底的指数式,y 1=2
1.8
,y 2=2
1.32
,y 3=2
1.5
,再根据指数函
数 y=2
x
是增函数即可判断 y 1>y 3>y 2.
【答案】 D
11. 当 x>0 时,函数 f(x)=(a
2
-1)
x
的值总大于 1,则实数 a 的取值范围是( )
A. 1<|a|<2
B. |a|<1
C. |a|>1
D. |a|>2
【思路解析】 由指数函数的性质可知 f(x)在(0,+∞)上是递增函数,所以 a
2
-1>1,a
2
>2,|a|>2.
【答案】 D
12. 函数 y=3
(x2+1)
的值域为.
【思路解析】 考查指数函数的性质、函数值域的求法.
由于 x
2
+1≥1,而 y=3
x
在(-∞,+∞) 上是增函数,所以 y=3
x2+1
≥3,即 y=3
x2+1
的值域为［3,+
∞).
【答案】 ［3,+∞)
13. 求函数 y=f(x)=(
4
1
) x-(
2
1
) x+1,x∈［-3,2］的值域.
【思路解析】 将(
2
1
)x看作一个未知量 t,把原函数转化为关于 t 的二次函数求解.
【答案】
∵f(x)=［(
2
1
)x］2-(
2
1
) x+1,x∈［-3,2］,
∴(
2
1
)2≤(
2
1
)x≤(
2
1
)-3,即
4
1
≤(
2
1
)x≤8.
设 t=(
2
1
) x,则
4
1
≤t≤8.
将函数化为 f(t)=t 2-t+1,t∈［
4
1
,8］.
∵f(t)=(t-
2
1
) 2+
4
3
,
∴f(
2
1
)≤f(t)≤f(8).
∴
4
3
≤f(t)≤57.
∴函数的值域为［
4
3
,57］.
14. 曲线 C 1、C 2、C 3、C 4分别是指数函数 y=a
x
、y=b
x
、y=c
x
和 y=d
x
的图象,则 a, b, c, d
与 1 的大小关系是( )
A. a1,d>1,00,a
2
-1<1.
解得 a∈(-2, -1)∪(1,2).
【答案】 (-2,-1)∪(1,2)
16. 下图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m
2
)与时间 t(月)的关系:y=a
t
,有以下叙述,
其中正确的是… ( )
①这个指数函数的底数为 2
②第 5个月时,浮萍面积就会超过 30 m
2
③浮萍从 4 m
2
蔓延到 12 m
2
需要经过 1.5 个月
④浮萍每月增加的面积都相等
⑤若浮萍蔓延到 2 m
2
、3 m
2
、6 m
2
所经过的时间分别为 t 1、t 2、t 3,则 t 1+t 2=t 3
A.①②
B.①②③④
C.②③④⑤
D.①②⑤
【思路解析】 本题综合考查学生的识图能力及指数函数的性质.
由图形得函数解析式应为 y=2
x
(x≥0).
【答案】 D
17. 求函数 y=a
-x2+2x+2
(a>0,且 a≠1)的单调区间和值域.
【思路解析】
本题是一个复合函数,而且还有未知参数,因此首先要分类讨论,但是在分类讨论之前还要对
指数部分的二次函数进行分析判断,在二次函数的单调区间中分类讨论未知参数以确定函数
的单调区间和值域.
【解】
y=a
-x2+2x+2
=a
-(x-1)2+3
.
令 t=g(x)=-(x-1)
2
+3,t 在区间(-∞,1］上递增,在区间［1,+∞)上递减.
y=f(t)=a
t
=f［g(x)］.
当 a>1 时,y=f(t)=a
t
递增,
∴y=f［g(x)］在区间(-∞,1］上递增,在区间［1, +∞)上递减.
当 x=1 时,y max=a
3
,
又 y=a
t
>0,
∴函数的值域为(0,a
3
］.
当 0
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