【数学】2020届一轮复习（理）北师大版1-3全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”学案
第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”
最新考纲 1.了解逻辑联结词“且”、“或”、 “非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知 识 梳 理
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.
(2)命题p且q，p或q，綈p的真假判断
P
q
p且q
p或q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.
3.全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题.
(2)含有存在量词的命题叫特称命题.
4.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
任意x∈M，p(x)
存在x0∈M，綈p(x0)
存在x0∈M，p(x0)
任意x∈M，綈p(x)
[微点提醒]
1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q→见真即真，p且q→见假即假，
p与綈p→真假相反.
2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
3.“p或q”的否定是“(綈p)且(綈q)”，“p且q”的否定是“(綈p)或(綈q)”.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)命题“5>6或5>2”是假命题.( )
(2)命题綈(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( )
(4)存在x0∈M，p(x0)与任意x∈M，綈p(x)的真假性相反.( )
解析 (1)错误.命题p或q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p且q是真命题，则p，q都是真命题.
(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2－1P15练习(2)改编)命题“任意x∈R，x2＋x≥0”的否定是( )
A.存在x0∈R，x＋x0≤0 B.存在x0∈R，x＋x0<0
C.任意x∈R，x2＋x≤0 D.任意x∈R，x2＋x<0
解析 由全称命题的否定是特称命题知命题B正确.
答案 B
3.(选修2－1P19习题1-4T2(4)改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题.
答案 B
4.(2019·南昌调研)下列命题中的假命题是( )
A.存在x0∈R，lg x0＝1 B.存在x0∈R，sin x0＝0
C.任意x∈R，x3＞0 D.任意x∈R，2x＞0
解析 当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，任意x∈R，2x＞0，则D为真命题.
答案 C
5.(2018·安徽江南十校模拟)已知命题p，q，“綈p为真”是“p且q为假”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由綈p为真知，p为假，可得p且q为假；反之，若p且q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件.
答案 A
6.(2019·豫南五校联考)若“任意x∈，m≤tan x＋2”为真命题，则实数m的最大值为________.
解析 由x∈，∴1≤tan x＋2≤2＋.
∵“任意x∈，m≤tan x＋2”为真命题，则m≤1.
∴实数m的最大值为1.
答案 1
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】 (1)设a，b，c是非零向量.已知命题p: 若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p或q B.p且q
C.(綈p)且(綈q) D.p且(綈q)
(2)(2018·太原模拟)已知命题p：存在x0∈R，x－x0＋1≥0；命题q：若a
，则下列命题中为真命题的是( )
A.p且q B.p且(綈q)
C.(綈p)且q D.(綈p)且(綈q)
解析 (1)取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.
又a，b，c是非零向量，
由a∥b知a＝xb(x∈R)，由b∥c知b＝yc(y∈R)，
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题.
综上知p或q是真命题，p且q是假命题.
綈p为真命题，綈q为假命题.
∴(綈p)且(綈q)，p且(綈q)都是假命题.
(2)∵x2－x＋1＝＋≥>0，所以存在x0∈R，使x－x0＋1≥0成立，故p为真命题，綈p为假命题.又易知命题q为假命题，所以綈q为真命题，所以p且(綈q)为真命题.
答案 (1)A (2)B
规律方法 1.“p或q”、“p且q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p或q”“p且q”“綈p”形式命题的真假.
2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，綈p则是“与p的真假相反”.
【训练1】 (1)(2019·济南模拟)若命题“p或q”与命题“綈p”都是真命题，则( )
A.命题p与命题q都是真命题
B.命题p与命题q都是假命题
C.命题p是真命题，命题q是假命题
D.命题p是假命题，命题q是真命题
(2)(2017·山东卷)已知命题p：存在x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a20恒成立，
∴p是真命题，綈p为假命题.
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题，綈q为真命题.
∴p且綈q为真命题，p且q，綈p且q，綈p且綈q为假命题.
答案 (1)D (2)B
考点二 全称量词与存在量词 多维探究
角度1 含有量词命题的否定
【例2－1】 命题“任意n∈N+，f(n)∈N+且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.任意n∈N+，f(n)∉N+且f(n)＞n
B.任意n∈N+，f(n)∉N+或f(n)＞n
C.存在n0∈N+，f(n0)∉N+且f(n0)＞n0
D.存在n0∈N+，f(n0)∉N+或f(n0)＞n0
解析 全称命题的否定为特称命题，
∴命题的否定是：存在n0∈N+，f(n0)∉N+或f(n0)>n0.
答案 D
角度2 全称(特称)命题的真假判断
【例2－2】 (1)(2019·江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )
A.任意x∈R，f(－x)≠f(x)
B.任意x∈R，f(－x)≠－f(x)
C.存在x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D.存在x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)
(2)(2018·昆明一中质检)已知命题p：任意x∈R，x＋≥2；命题q：存在x0∈(0，＋∞)，x＞x，则下列命题中为真命题的是( )
A.(綈p)且q B.p且(綈q)
C.(綈p)且(綈q) D.p且q
解析 (1)∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴任意x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴存在x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.
(2)对于p：当x＝－1时，x＋＝－2，∴p为假命题.取x0∈(0，1)，此时x＞x，∴q为真命题.
从而綈p为真命题，(綈p)且q为真命题.
答案 (1)C (2)A
规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.判定全称命题“任意x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立.
【训练2】 (1)(2019·河北“五个一”名校联考)命题“存在x0∈R，12
D.任意x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
(2)已知命题p：存在x0∈(－∞，0)，2x0<3x0；命题q：任意x∈，sin x2”.
(2)因为当x<0时，>1，即2x>3x，所以命题p为假命题，从而綈p为真命题；因为当x∈时，x>sin x，所以命题q为真命题，所以(綈p)且q为真命题.
答案 (1)D (2)C
考点三 由命题的真假求参数的取值范围
【例3】 (1)(2018·宝鸡调研)已知命题p：任意x∈R，log2(x2＋x＋a)>0恒成立，命题q：存在x0∈[－2，2]，2a≤2x0，若命题p且q为真命题，则实数a的取值范围为________.
(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.
解析 (1)由题知，命题p：任意x∈R，log2(x2＋x＋a)>0恒成立，即x2＋x＋a－1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a－1)<0，解得a>；命题q：存在x0∈[－2，2]，使得2a≤2x0，则a≤2.当p且q为真命题时，须满足故实数a的取值范围为.
(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥.
答案 (1) (2)
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
2.全称命题可转化为恒成立问题.
含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
【训练3】 本例(2)中，若将“存在x2∈[1，2]”改为“任意x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是____________.
解析 当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，对任意x1∈[0，3]，任意x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.
答案
[思维升华]
1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解.
2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”.
[易错防范]
1.正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真.
2.几点注意：
(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；
(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.
逻辑推理、数学运算——突破双变量“存在性或任意性”问题
逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.
类型1 形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g(x2)＝f(x1)成立”
【例1】 已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈
[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.
解 由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为.
令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－.
当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，所以[h(x)]min＝h＝－a2－2a－.
又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以
解得实数a的取值范围是[－2，0].
评析 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.
类型2 形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”
【例2】 已知函数f(x)＝函数g(x)＝ksin－2k＋2(k>0)，若存在x1∈[0，1]及x2∈[0，1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围.
解 由题意，易得函数f(x)的值域为[0，1]，g(x)的值域为
，并且两个值域有公共部分.
先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－k<0，解得k<或k>，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是.
评析 本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型3 形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)0”是真命题.
则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得00，得3x＋1>1，所以0<<1，
所以函数y＝的值域为(0，1)，故命题q为真命题.
所以p且q为假命题，p或q为真命题，p且(綈q)为假命题，綈q为假命题.
答案 B
5.已知命题p：“任意x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“存在x0∈R，x＋4x0＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A.(4，＋∞) B.[1，4] C.[e，4] D.(－∞，－1)
解析 由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.
答案 C
6.(2019·淮北模拟)命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cos α·cos β＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )
A.p B.綈q C.p且q D.p或q
解析 当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；
若cos αcos β＝1，则cos α＝cos β＝1或cos α＝cos β＝－1，所以sin α＝sin β＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q是真命题，所以p或q是真命题.
答案 D
7.已知命题p：任意x∈R，2x<3x，命题q：存在x∈R，x2＝2－x，若命题(綈p)且q为真命题，则x的值为( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
解析 要使(綈p)且q为真，所以綈p与q同时为真，而綈p：存在x∈R，2x≥3x，
由2x≥3x得≥1，所以x≤0.
由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，所以x＝1或x＝－2.
又x≤0，所以x＝－2.
答案 D
8.已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“任意x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A. B.(1，＋∞)
C. D.∪(1，＋∞)
解析 ∵函数f(x)＝a2x－2a＋1，
命题“任意x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，
∴原命题的否定是：“存在x0∈(0，1)，使f(x0)＝0”是真命题，
∴f(1)f(0)<0，即(a2－2a＋1)(－2a＋1)<0，
∴(a－1)2(2a－1)>0，解得a>，且a≠1，
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞).
答案 D
二、填空题
9.若“任意x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
解析 ∵函数y＝tan x在上是增函数，∴ymax＝tan ＝1，依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.
答案 1
10.已知命题p：>0，则綈p对应的集合为__________.
解析 由p：>0，得p：x>2或x<－1，所以綈p对应的集合为{x|－1≤x≤2}.
答案 {x|－1≤x≤2}
11.下列结论：
①若命题p：存在x0∈R，tan x0＝1；命题q：任意x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且(綈q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”.
其中正确结论的序号为________.
解析 ①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p且(綈q)为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确，所以正确结论的序号为①③.
答案 ①③
12.已知命题p：存在x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0，命题q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立.若p且q为假命题，则实数m的取值范围为________.
解析 由命题p：存在x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，即Δ＝m2－4<0，可得－2－1.
答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
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13.命题“任意x∈R，存在n∈N+，使得n≥x2”的否定形式是( )
A.任意x∈R，存在n∈N+，使得n0，2x－a>0.若“綈p”和“p且q”都是假命题，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)∪(1，＋∞) B.(－2，1]
C.(1，2) D.(1，＋∞)
解析 方程x2＋ax＋1＝0没有实根等价于Δ＝a2－4<0，即－20，2x－a>0等价于a<2x在(0，＋∞)上恒成立，即a≤1.
因“綈p”是假命题，则p是真命题，又因“p且q”是假命题，则q是假命题.
∴解得10，当m<0时，m－x2<0，
所以命题p为假命题；
当m＝时，因为f(－1)＝3－1＝，
所以f[f(－1)]＝f＝－＝0，
所以命题q为真命题，
逐项检验可知，只有(綈p)且q为真命题.
答案 ②
16.(2019·深圳质检)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，q：实数x满足|x－3|<1.
(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
(2)若a>0且綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 (1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，
当a＝1时，10，所以a
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