安徽省合肥市2018-2019学年高二下学期期中联考数学（文）试题

安徽省合肥市2018-2019学年高二下学期期中联考数学（文）试题

‎2018—2019学年第二学期合肥一中、合肥六中 高二年级期中考试数学（文科）试卷 一、选择题。‎ ‎1.设集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的基本运算进行求解．‎ ‎【详解】M＝{0，1，2}，‎ N＝{x|x2}＝{x|2x3}，‎ 则M∩N＝{2}，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的化简，考查了交集的概念及运算，比较基础．‎ ‎2.已知复数，其中为虚数单位，则的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则即可得出．‎ ‎【详解】复数i，则z的虚部是-．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的除法运算法则及虚部的概念，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎3.用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）‎ A. 假设、、都是偶数 B. 假设、、都不是偶数 C. 假设、、至多有一个偶数 D. 假设、、至多有两个偶数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，‎ 所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设都不是偶数”，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎4.设函数，则（ ）‎ A. 为的极大值点 B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数导数，令f′（x）＝0，求出极值点，分别得到单调区间，从而求出函数的极值．‎ ‎【详解】函数f（x），则函数f′（x），‎ 令f′（x）＝0，解得x＝1，‎ 当f′（x）＞0，解得x>1，‎ ‎∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增；‎ 由f′（x）＜0，解得0＜x＜1，‎ ‎∴函数f（x）在（0，1）上单调递减．‎ ‎∴函数f（x）在x＝1取得极小值， ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，函数的极值问题，考查了极值点的概念，属于基础题．‎ ‎5.若函数为奇函数，则等于（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的定义和性质建立方程即可求出a的值．‎ ‎【详解】∵函数为奇函数，‎ ‎∴f（﹣x）＝﹣f（x），‎ 即f（﹣x），‎ ‎∴＝，‎ 即3x2+（3a﹣2）x﹣2a＝3x2﹣（3a﹣2）x﹣2a，‎ ‎∴3a﹣2＝0，解得a．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．‎ ‎6.函数在区间上的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先利用导数判断函数的单调性，再利用单调性求最值．‎ ‎【详解】y′＝﹣2sinx＝0，得，‎ 故y＝x+2cosx在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，‎ 所以x时，y最大，且此时y，所以最大值为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及求最值，考查了三角函数求值，属于基础题．‎ ‎7.设，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】∵，，，‎ ‎∴只需比较的大小，由，，的图象可知: ，‎ ‎∴a＞b＞c．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了对数函数的单调性及对数的运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎8.在等差数列中，若，则有等式成立.类比上述性质，相应地在等比数列中，若，则成立的等式是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据类比的方法，和类比积，加类比乘，由此类比即可得出结论．‎ ‎【详解】在等差数列中，若，则有等式成立 ‎∴等比数列中，若，则有等式成立 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了类比推理的方法和应用问题，解题时应掌握好类比推理的定义及等差、等比数列之间的共性，由此类比得出结论，是基础题．‎ ‎9.设函数，若函数的图像在点处的切线与轴垂直，则实数（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得a+2b＝0，b＝1，即可求得a+b．‎ ‎【详解】函数f（x）＝alnx+bx2的导数为2bx，‎ 由题意可得，在点（1，1）处的切线斜率为a+2b＝0，‎ 又aln1+b＝1，解得b＝1，a＝﹣2，‎ 即a+b＝﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件，属于基础题．‎ ‎10.设，，，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知发现fn（x）以4为周期，结果循环出现，利用此规律分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，f0（x）＝cosx，‎ 则f1（x）＝f0′（x）＝﹣sinx，‎ f2（x）＝f1′（x）＝﹣cosx，‎ f3（x）＝f2′（x）＝sinx，‎ f4（x）＝f3′（x）＝cosx；‎ ‎……‎ 则fn（x）的解析式重复出现，每4次一循环，故f2019（x）＝f4×504+3（x）＝f3（x）＝sinx，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查导数的计算，涉及归纳推理的应用及周期的应用，属于基础题．‎ ‎11.若为奇函数，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的性质先求出a的值，结合函数单调性的性质进行求解即可．‎ ‎【详解】∵f（x）＝ex﹣ae﹣x奇函数，‎ ‎∴f（0）＝0，即f（0）＝1﹣a＝0，‎ 则a＝1，‎ 即f（x）＝ex﹣e﹣x，则函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，‎ 则f（1）＝e，‎ 则不等式f（x﹣1）＜e等价为f（x﹣1）＜f（1），‎ 即x﹣1＜1，‎ 解得x＜2，‎ 即不等式的解集为（﹣∞，2），‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数单调性进行不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a的值是解决本题的关键．‎ ‎12.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由于函数与函数均关于点成中心对称，结合图形以点为中心两函数共有个交点，则有，同理有，所以所有交点的横坐标之和为.故正确答案为D.‎ 考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.‎ 二、填空题.‎ ‎13.若，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的运算及对数恒等式将所求化简即可得到答案.‎ ‎【详解】∵，则，∴，，‎ ‎∴，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运算，考查了对数恒等式的应用，考查了运算能力，属于基础题.‎ ‎14.函数的单调递减区间为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据f（x）的导函数建立不等关系，可得f'（x）＜0，建立不等量关系，求出单调递减区间即可．‎ ‎【详解】∵f′（x）＝3x2﹣6x，‎ ‎∴由3x2﹣6x＜0可得：‎ ‎∴x∈（0，2）‎ 所以f（x）的减区间为（0，2）．‎ ‎【点睛】本题主要考查运用导数研究函数的单调性，考查分析和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎15.设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点为（m，n），求得导数，可得切线的斜率，由题意可得斜率的范围，解不等式可得m的范围．‎ ‎【详解】设P（m，n）为曲线C：y＝x2+上的点，‎ 可得导数y′＝2x+，‎ 可得切线的斜率为k＝2m+，‎ 曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，‎ 可得0≤2m+≤，‎ 解得m≤．‎ 故答案为：[，0]．‎ ‎【点睛】本题考查运用导数求切线的斜率，考查直线的斜率公式，以及不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎16.已知函数，若，则实数的取值范围是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令f（a）=t，可得 f（t）≥﹣2时的t的范围，也就是f（a）的范围，再分段求得实数a的取值范围取并集即可．‎ ‎【详解】∵函数f（x），‎ 令f（a）=t，则f（t）≥﹣2．‎ 当t<0时，≥﹣2恒成立，当t时，-+t≥﹣2，‎ 解得0≤t≤2,综上t≤2，‎ 即 f（a）≤2，‎ 当a≥0时， -a2+a≤2恒成立；‎ 当a＜0时，0≤a2≤2，即a2≤2，解得≤a＜0，‎ 则实数a的取值范围是a，‎ 故答案为：[ -，+∞）．‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的应用及不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知，，且，用分析法证明 ‎【答案】见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用分析法证明，要证原不等式成立，只需两边平方，化简整理，即可得证．‎ ‎【详解】因为和都是正数，‎ 所以要证，只需证，‎ 即证，‎ 即证，即证.‎ 因为，所以成立，所以原不等式成立.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用分析法证明的步骤，以及不等式的性质，考查运算和推理能力，属于基础题．‎ ‎18.已知函数，讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导数f′（x），然后令f′（x）＝0，分类讨论利用导数的符号判定函数的单调性.‎ ‎【详解】由题意知函数的定义域为，‎ ‎，‎ 令，则或，‎ ‎（1）当，即时，在时恒成立，即在上单调递增；‎ ‎（2）当，即时，在和上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（3）当，即时，在和上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（4）当，即时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调性问题，涉及到含参讨论的分类思想，属于中档题．‎ ‎19.国家放开二胎政策后，不少家庭开始生育二胎，随机调查110名性别不同且为独生子女的高中生，其中同意生二胎的高中生占随机调查人数的，统计情况如下表：‎ 同意 不同意 合计 男生 ‎20‎ 女生 ‎20‎ 合计 ‎110‎ ‎（l）求，的值 ‎（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为同意生二胎与性别有关?请说明理由.‎ 附：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1) ，；(2) 有99%的把握认为同意生二胎与性别有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意计算列联表中数据x、y的值；‎ ‎（2）由列联表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】（1）依题，；‎ ‎（2），，‎ 查表可得，有99%的把握认为同意生二胎与性别有关.‎ ‎【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，考查了理解与分析数据的能力，是基础题．‎ ‎20.已知函数 ‎（1）求曲线在点处的切线的方程；‎ ‎（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ；切点坐标，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；‎ ‎（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．‎ ‎【详解】（1）可判定点在曲线上 ‎∵.‎ ‎∴在点处的切线的斜率为.‎ ‎∴切线的方程为，即.‎ ‎（2）设切点坐标为，则 直线的斜率为，，‎ ‎∴直线的方程为.‎ 又∵直线过坐标点，∴，‎ 整理得，，∴，‎ ‎∴，得切点坐标，‎ ‎，∴直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程及过曲线上某点处的切线方程的求解方法，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题．‎ ‎21.某医学院欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1到6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到数据资料见下表：‎ 该院确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.‎ ‎(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是不相邻的两个月的概率；‎ ‎(Ⅱ)已知选取的是1月与6月的两组数据.‎ ‎(1)请根据2到5月份的数据，求出就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程；‎ ‎(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该协会所得线性回归方程是否理想?‎ ‎(参考公式和数据： ‎ ‎)‎ ‎【答案】（1）（2）该协会所得线性回归方程是理想的.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）本问考查古典概型概率问题，首先确定试验的基本事件空间，从6组数据任意选取2组，所有基本事件为 共15个，易知选取的两个月是相邻的共有5个，所以可以求出概率；（Ⅱ）（1）根据2月到5月的数据，计算出，再根据题中给出的参考数据和计算公式，经过计算，可以求出关于的回归直线方程；（2）分别将，代入到所得的回归直线方程中，求出相应的值，并分别与表格中给出的对应值对比，如果 ‎，则可认为回归直线方程是理想的，否则是不理想的.‎ 试题解析：(Ⅰ)设“抽到相邻两个月的数据”为事件，因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，所有结果分别为,每种情况都是可能出现的， ‎ 其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种 所以，则.‎ ‎(Ⅱ)(1)由数据求得,， ‎ 由公式求得，，‎ 所以，所以关于的线性回归方程为.‎ ‎(2)当时，，； ‎ 同样，当时，，. ‎ 所以，该协会所得线性回归方程是理想.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）当时，判断函数零点的个数；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求正实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）函数的零点个数为1（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过导数可知在上单调递增，在上单调递减，从而可得，可知零点个数为；（2）将问题转化为在 时恒成立；设，分别在和两种情况下确定导函数的符号，从而得到的单调性，可知时不等式恒成立，时，不等式不恒成立，从而可得结果.‎ ‎【详解】（1）， ，‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减 极大值为：，即 零点个数为：‎ ‎（2）‎ 当时，不等式恒成立等价于：恒成立 设，则 令 则 ‎①当时， ，即单调递增 ‎ 单调递增 当时，恒成立 ‎②当时，‎ 若，则，单调递减 ‎ 因此在上单调递减，即，此时不符合题意 综上所述，正实数的取值范围为：‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数零点个数的求解、根据不等式恒成立求解参数取值范围的问题；恒成立问题的处理关键是能够通过构造函数的方式，通过分类讨论得到所构造函数的单调性，从而得到恒成立的不等式成立的条件.‎ ‎ ‎