【数学】2019届一轮复习北师大版理科第四章第3节三角函数的图像与性质学案

【数学】2019届一轮复习北师大版理科第四章第3节三角函数的图像与性质学案

第3节　三角函数的图像与性质 最新考纲　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.‎ 知 识 梳 理 ‎1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ‎(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).‎ ‎(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).‎ ‎2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)‎ 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 定义域 R R ‎{x kπ＋}‎ 值域 ‎[－1，1]‎ ‎[－1，1]‎ R 周期性 ‎2π ‎2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ‎[2kπ－π，2kπ]‎ 递减区间 ‎[2kπ，2kπ＋π]‎ 无 对称中心 ‎(kπ，0)‎ 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.对称与周期 ‎(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.‎ ‎(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.‎ ‎2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)‎ ‎(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)‎ ‎(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)‎ ‎(4)y＝sin|x|是偶函数.(　　)‎ 解析　(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.‎ ‎(2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.‎ ‎(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)‎ A.4π B.2π C.π D. 解析　由题意T＝＝π.‎ 答案　C ‎3.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)‎ A. B.1‎ C. D. 解析　cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.‎ 答案　A ‎4.(2018·榆林检测)若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________.‎ 解析　由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝.‎ 答案　 ‎5.(教材习题改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________.‎ 解析　因为y＝tan x的单调递增区间为 (k∈Z)，‎ 所以由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，‎ 得＋＜x＜＋(k∈Z)，‎ 所以y＝－tan的单调递减区间为 (k∈Z).‎ 答案　(k∈Z)‎ 考点一　三角函数的定义域 ‎【例1】 (1)函数y＝的定义域为________.‎ ‎(2)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________.‎ 解析　(1)要使函数有意义，必须有 即 故函数的定义域为 .‎ ‎(2)函数有意义，则即 解得 所以2kπ0)在上单调递增，在区间 上单调递减，则ω＝________.‎ 解析　(1)由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故所求函数的单调递减区间为(k∈Z).‎ ‎(2)法一　由于函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图像可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.‎ 法二　由题意，得f(x)max＝f ＝sinω＝1.‎ 由已知并结合正弦函数图像可知，ω＝，解得ω＝.‎ 答案　(1)(k∈Z)　(2) 规律方法　1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.‎ ‎2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.‎ 命题角度3　三角函数的对称轴或对称中心 ‎【例3－3】 (1)(2018·石家庄检测)若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图像的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图像的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)‎ A.11 B.9 C.7 D.5‎ 解析　(1)因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，由题意，知f ＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.‎ ‎(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图像的对称轴，所以－＝＋，即＝T＝·，所以ω＝2k＋1(k∈N+).‎ 又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12.‎ 结合选项经验证，当ω＝11时，f(x)在上不单调；当ω＝9时，f(x)在上单调，选项B满足条件.‎ 答案　(1)C　(2)B 规律方法　1.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.‎ ‎2.对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可.‎ ‎【训练3】 (2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)‎ A.f(x)的一个周期为－2π ‎ B.y＝f(x)的图像关于直线x＝对称 C.f(x＋π)的一个零点为x＝ ‎ D.f(x)在单调递减 解析　函数f(x)＝cos的图像可由y＝cos x的图像向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误.‎ 答案　D 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　)‎ A.是奇函数 B.在区间上单调递减 C.为其图像的一个对称中心 D.最小正周期为π 解析　函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误；在区间上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误.‎ ‎∵当x＝时，tan＝0，‎ ‎∴为其图像的一个对称中心.‎ 答案　C ‎2.若函数y＝cos(ω∈N+)图像的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ 解析　由题意知π＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N+，∴ωmin＝2.‎ 答案　B ‎3.在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)‎ A.①②③ B.①③④‎ C.②④ D.①③‎ 解析　①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；‎ ‎②由图像知y＝|cos x|的最小正周期为π；‎ ‎③y＝cos的最小正周期T＝＝π；‎ ‎④y＝tan的最小正周期T＝.‎ 答案　A ‎4.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于(　　)‎ A. B. C.2 D.3‎ 解析　∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.‎ 由已知条件知－≤－，∴ω≥.‎ 答案　B ‎5.(2018·佛山模拟)已知x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　因为x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，‎ 所以sin＝1，解得φ＝2kπ－，k∈Z.‎ 不妨取φ＝－，此时f(x)＝sin，‎ 令2kπ＋<2x－<2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)图像的对称轴方程；‎ ‎(2)讨论函数f(x)在上的单调性.‎ 解　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，∴ω＝2.于是，f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，故函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).‎ ‎(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).注意到x∈，令k＝0，得函数f(x)在 上的单调递增区间为；其单调递减区间为.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11.(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)‎ A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝－ C.ω＝，φ＝－ D.ω＝，φ＝ 解析　∵f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为4＝3π，‎ ‎∴ω＝＝，‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ ‎∴2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ 又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.‎ 答案　A ‎12.(2018·绵阳诊断)若f(x)＝cos 2x＋acos在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________.‎ 解析　f(x)＝1－2sin2x－asin x，令sin x＝t，t∈，则g(t)＝－2t2－at＋1，t∈‎ eq lc( c)(avs4alco1(f(1,2)，1))，因为f(x)在上单调递增，所以－≥1，即a≤－4.‎ 答案　(－∞，－4]‎ ‎13.(2018·上饶调研)已知函数f(x)＝a＋b.‎ ‎(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值.‎ 解　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin＋a＋b.‎ ‎(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，‎ 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ ‎(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，‎ ‎∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.‎ ‎①当a>0时，∴a＝3－3，b＝5.‎ ‎②当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.‎ 综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.‎