【数学】2019届一轮复习北师大版 参数方程 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 参数方程 学案

第2课时　参数方程 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.‎ 了解参数的意义，重点考查直线参数方程中参数的几何意义及圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化，往往与极坐标结合考查．在高考选做题中以解答题的形式考查，难度为中档.‎ ‎1．参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．‎ ‎(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．‎ ‎2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ 抛物线 y2＝2px(p>0)‎ (t为参数)‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　√　)‎ ‎(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M‎0M的数量．(　√　)‎ ‎(3)方程(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　√　)‎ ‎(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．曲线(θ为参数)的对称中心(　　)‎ A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 答案　B 解析　由得 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．‎ 解　直线l的普通方程为x－y－a＝0，‎ 椭圆C的普通方程为＋＝1，‎ ‎∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，‎ 则3－a＝0，∴a＝3.‎ ‎题组三　易错自纠 ‎4．直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率．‎ 解　将直线l的参数方程化为普通方程为 y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.‎ ‎5．设P(x，y)是曲线C：(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求的取值范围．‎ 解　由曲线C：(θ为参数)，‎ 得(x＋2)2＋y2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆．‎ 表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设＝k，则原问题转化为y＝kx和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d≤r，所以≤1，解得－≤k≤，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎6．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，求|AB|的值．‎ 解　由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得y＝3x，‎ 由得－x2＋y2＝4，‎ 联立得 即或 ‎∴A，B，∴|AB|＝2.‎ 题型一　参数方程与普通方程的互化 ‎1．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m (m∈R)．‎ ‎(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．‎ 解　(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为 ‎(x－1)2＋(y＋2)2＝9.‎ 由ρsin＝m，得ρsin θ－ρcos θ－m＝0，‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.‎ ‎(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，‎ 即＝2，‎ 解得m＝－3±2.‎ ‎2．在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ(λ>0且λ≠1)，P点的轨迹是圆．”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为＝，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程．‎ 解　由题意，以OA所在直线为x轴，过O点作OA的垂线为y轴，建立直角坐标系，‎ 设M(x，y)，则O(0,0)，A(3,0)．‎ 因为＝，即＝，‎ 化简得(x＋1)2＋y2＝4，‎ 所以点M的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆．‎ 由圆的参数方程可得 思维升华 消去参数的方法一般有三种 ‎(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．‎ ‎(2)利用三角恒等式消去参数．‎ ‎(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．‎ 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．‎ 题型二　参数方程的应用 典例 (2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ 解　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标是(3,0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为 .‎ 由题设得＝，所以a＝8；‎ 当a<－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，‎ 所以a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ 思维升华 (1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决．‎ ‎(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．‎ 跟踪训练 已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ 解　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为 d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，‎ 其中α为锐角，且tan α＝.‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ 题型三　极坐标方程和参数方程的综合应用 典例 (2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ 解　(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；‎ 消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)．‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．‎ 联立得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．‎ 故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M的极径为.‎ 思维升华 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．‎ 跟踪训练 (2018·福州调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1： (t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，曲线C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ 解　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．‎ 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ ‎1．已知直线l1：(t为参数)与直线l2： (s为参数)垂直，求k的值．‎ 解　直线l1的方程为y＝－x＋，斜率为－；‎ 直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.‎ ‎∵l1与l2垂直，∴×(－2)＝－1，解得k＝－1.‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ 解　直线l的参数方程化为普通方程为x－y－＝0，‎ 椭圆C的参数方程化为普通方程为x2＋＝1，‎ 联立方程组 解得或 不妨取A(1,0)，B，‎ 则|AB|＝＝.‎ ‎3．直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，求切线的倾斜角．‎ 解　直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有＝，即‎3a2＋3b2＝4b2，∴b＝±a，而直线的倾斜角的正切值为tan α＝，∴tan α＝±，因此切线的倾斜角为或.‎ ‎4．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程．‎ 解　∵直线l的直角坐标方程为x－y＋＝0，‎ ‎∴原点到直线l的距离r＝＝1.‎ ‎∴以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.‎ ‎5．(2017·合肥调研)在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsin θ＋ρcos θ＝m.‎ ‎(1)当m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系；‎ ‎(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆，‎ 直线l的直角坐标方程为x＋y＝0，‎ 圆心C到直线l的距离d＝＝＝r，‎ 所以直线l与圆C相切．‎ ‎(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为 d＝≤，‎ 解得－1≤m≤5.‎ 所以实数m的取值范围为[－1,5]．‎ ‎6．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 ‎(t为参数)，在以O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为ρsin＝2，求曲线C1与曲线C2的交点个数．‎ 解　曲线C1，C2化为普通方程和直角坐标方程分别为x2＝2y，x＋y－4＝0，联立消去y得x2＋2x－8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线C1与曲线C2的交点个数为2.‎ ‎7．(2017·南宁一模)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)若直线l的斜率为2，判断直线l与曲线C1的位置关系；‎ ‎(2)求曲线C1与C2的交点的极坐标．‎ 解　(1)由直线l的参数方程为(t为参数)，可得直线l过点(－1,1)．‎ 当直线l的斜率为2时，直线l的普通方程为 y－1＝2(x＋1)，即2x－y＋3＝0.‎ 由曲线C1的参数方程为(t为参数)，‎ 消去参数t，得(x－2)2＋(y－4)2＝4，‎ 则曲线C1表示以(2,4)为圆心，以2为半径的圆．‎ 此时圆心到直线的距离d＝＝<2，故直线l与曲线C1相交．‎ ‎(2)曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ，‎ 即ρ2＝4ρcos θ，‎ 化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，‎ 由得 故C1与C2交点的坐标为(2,2)，‎ 故C1与C2的交点的极坐标为.‎ ‎8．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足＝2，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝.‎ ‎(1)求曲线C2的普通方程，射线l的参数方程；‎ ‎(2)射线l与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|.‎ 解　(1)设P(x，y)，M(x′，y′)，‎ ‎∵＝2，∴ ‎∵点M在曲线C1上，∴ ‎∴(x′－1)2＋(y′)2＝3，‎ 故曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝12.‎ 由射线l：θ＝，可得l的参数方程为(t为参数且t≥0)．‎ ‎(2)方法一　将l：(t为参数且t≥0)代入C1的方程得t2－t－2＝0，∵t≥0，∴t＝2.‎ 同理代入C2的方程得t2－2t－8＝0，‎ ‎∵t≥0，∴t＝4.‎ ‎∴|AB|＝4－2＝2.‎ 方法二　曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2＝0，‎ 将θ＝代入，得ρ＝2，∴A的极坐标为，‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－8＝0，‎ 将θ＝代入，得ρ＝4，∴B的极坐标为，‎ ‎∴|AB|＝4－2＝2.‎ ‎9．(2016·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ 解　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入到C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ‎＝.‎ 由|AB|＝，得cos2α＝，tan α＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ ‎10．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为(t为参数，0<α<π)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P的直角坐标为(2,1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，并且|PA|·|PB|＝，求tan α的值．‎ 解　(1)将方程ρsin2θ＝4cos θ两边同乘以ρ，‎ 得ρ2sin2θ＝4ρcos θ，‎ 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得y2＝4x.‎ 经检验，极点的直角坐标(0,0)也满足此式．‎ 所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎(2)将代入到y2＝4x中，‎ 得sin2α·t2＋(2sin α－4cos α)t－7＝0，‎ 因为P(2,1)在直线l上，‎ 所以|t1t2|＝＝，‎ 所以sin2α＝，又0<α<π，‎ 所以α＝或α＝，‎ 即tan α＝或tan α＝－.‎ ‎11．(2016·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ 解　(1)C1的普通方程为＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．‎ 因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，‎ d(α)＝＝.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ ‎12．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；‎ ‎(2)设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．‎ 解　(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，‎ 即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.‎ 由(t为参数)，得y＝(x－5)，‎ 即直线l的普通方程是为x－y－5＝0.‎ ‎(2)由(1)可知曲线C是圆心坐标为(2,0)，半径为2的圆，则弦心距d＝＝，‎ 弦长|PQ|＝2 ＝，‎ 因此以PQ为一条边的圆C的内接矩形的面积 S＝2d·|PQ|＝3.‎ ‎13．已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)，以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝－4cos θ.‎ ‎(1)求曲线C1与C2的交点的极坐标；‎ ‎(2)A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积(O为坐标原点)．‎ 解　(1)由得 两式平方相加，得 x2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－4y＝0.①‎ 由ρ＝－4cos θ，得ρ2＝－4ρcos θ，即x2＋y2＝－4x.②‎ ‎①－②得x＋y＝0，代入①得交点为(0,0)，(－2,2)．‎ 其极坐标为(0,0)，.‎ ‎(2)如图．由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大，此时|AB|＝2＋4，点O到AB的距离为.‎ ‎∴△OAB的面积为S＝×(2＋4)×＝2＋2.‎ ‎14．已知曲线C的参数方程是(φ为参数，a>0)，直线l的参数方程是(t为参数)，曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的普通方程；‎ ‎(2)若点A(ρ1，θ)，B，C在曲线C上，求＋＋的值．‎ 解　(1)直线l的普通方程为x＋y＝2，与x轴的交点为(2,0)．‎ 又曲线C的普通方程为＋＝1，‎ 所以a＝2，故所求曲线C的普通方程是＋＝1.‎ ‎(2)因为点A(ρ1，θ)，B，C在曲线C上，即点A(ρ1cos θ，ρ1sin θ)，‎ B，‎ C在曲线C上，‎ 故＋＋＝＋＋ ‎＝＋‎ ‎＝ ‎＋ ‎＝×＋×＝.‎