【数学】2019届一轮复习人教B版参数方程和极坐标方程学案

【数学】2019届一轮复习人教B版参数方程和极坐标方程学案

‎ ‎ 热点二十三 参数方程和极坐标方程（选修4-4）‎ ‎【名师精讲指南篇】‎ ‎【高考真题再现】‎ ‎1.【2014全国卷1】已知曲线,直线：（为参数）. （I）写出曲线的参数方程,直线的普通方程； ‎ ‎（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线,交于点,的最大值与最小值．‎ ‎2．【2015全国卷】在直线坐标系中,曲线：（为参数,）‎ 其中.在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线：,：. ‎ ‎(1)求与交点的直角坐标；‎ ‎(2)若与相交于点,与相交于点,求的最大值.‎ ‎【解析】（1）曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为 ‎．联立解得或．‎ 所以与交点的直角坐标为和．‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为,其中．因此得到极坐标为,的极坐标为．所以,当时,取得最大值,最大值为．‎ ‎3.【2015全国卷Ⅰ】在直角坐标系中,直线：,‎ 圆：,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求的极坐标方程.‎ ‎(2)若直线的极坐标方程为,设与的交点为,求的面积.‎ ‎4.【2016全国卷3】在直角坐标系中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 .‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标.‎ ‎5.【2016全国卷2】在直角坐标系中,圆的方程为.‎ ‎（1）以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点,,求的斜率.‎ ‎【解析】（1）整理圆的方程得,‎ 由可知圆的极坐标方程为．‎ ‎（2）解法一：将直线的参数方程代入圆:化简得,,设两点处的参数分别为,则,所以,‎ 解得,的斜率.‎ 解法二：设,其中,如图所示,圆心到到的距离,‎ 故.‎ ‎6.【2016全国卷1】在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数,）.在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线.‎ ‎（1）说明是哪一种曲线,并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程为,其中满足,若曲线与的公共点都在上,求.‎ ‎【解析】（1）将化为直角坐标方程为,从而可知其表示圆．‎ 令,,代入得极坐标方程．‎ ‎（2）将,化为直角坐标方程为,．‎ 两式相减可得它们的公共弦所在直线为.‎ 又公共点都在上,故的方程即为公共弦.‎ 又为,,即为,从而可知．‎ ‎【热点深度剖析】‎ ‎2014年高考考查 了椭圆和直线的参数方程,点到直线的距离公式,解直角三角形．2015年考查了直角坐标与极坐标方程的互化、圆的几何性质、三角函数的最值；2016年考查了圆的极坐标方程,直线与椭圆的参数方程及应用.从三年试题来看,高考对这部分要求不是太高,要求会参数方程与普通方程,极坐标方程与普通方程互化,主要考查学生的转化与化归能力,利用参数方程研究轨迹问题. 预测2017年高考仍然考查圆,直线,椭圆的参数方程与普通方程,极坐标方程与普通方程互化,重点是直线和圆的参数方程,极坐标方程,考查学生的转化与化归能力．‎ ‎【重点知识整合】‎ ‎1．极坐标和直角坐标的互化公式 若点M的极坐标为(ρ,θ),直角坐标为(x,y),则.求曲线的极坐标方程f(ρ,θ)＝0的步骤与求曲线的直角坐标方程步骤完全相同．特别注意的是求极坐标方程时,常常要解一个三角形．‎ ‎(4)极坐标方程ρ＝ρ(θ)表示的平面图形的对称性：‎ 若ρ(－θ)＝ρ(θ),则图形关于极轴对称；‎ 若ρ(π－θ)＝ρ(θ),则图形关于射线θ＝对称；‎ 若ρ(π＋θ)＝ρ(θ),则图形关于极点对称．‎ ‎2.特殊的常见曲线(包括直线)的极坐标方程 ‎①圆心在极轴上点C(a,0),过极点的圆方程ρ＝2acosθ.‎ ‎②圆心在极点、半径为r的圆的极坐标方程ρ＝r. 库 ‎③圆心在处且过极点的圆方程为ρ＝2asinθ(0≤θ≤π)．‎ ‎④过极点倾角为α的直线的极坐标方程为：‎ θ＝α或θ＝π＋α.‎ ‎⑤过A(a,0)(a>0)与极轴垂直的直线ρcosθ＝a.‎ ‎⑥过A(a>0)与极轴平行的直线ρsinθ＝a.‎ ‎3.参数方程的概念 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数(*),并且对于t的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,而这条曲线上任一点M(x,y)都可以通过(*)式得到,则方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程,变数t叫做参数这时,参数t的几何意义是：以直线l上点M(x0,y0)为起点,任意一点N(x,y)为终点的有向线段的数量为MN且|t|＝|MN|.‎ ‎4．圆的参数方程 ‎(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)；‎ ‎(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎5．参数方程和普通方程的互化 ‎(1)化参数方程为普通方程：消去参数．常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．‎ ‎(2)化普通方程为参数方程：引入参数,即选定合适的参数t,先确定一个关系x＝f(t)〔或y＝φ(t)〕,再代入普通方程F(x,y)＝0,求得另一关系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1.极坐标与直角坐标的互化 ‎(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重合；③取相同的单位长度．‎ ‎(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如,,的形式,进行整体代换．‎ ‎2.求曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系,设是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程．‎ ‎3.参数方程与普通方程的互化 在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方程．一般地,消参数经常采用的是代入法和三角公式法,但将曲线的参数方程化为普通方程,不只是把其中的参数消去,还要注意x,y的取值范围在消参前后应该是一致的,也就是说,要使得参数方程与普通方程等价,即它们二者要表示同一曲线．‎ ‎4.直线的参数方程及应用 根据直线的参数方程的标准式中的几何意义,有如下常用结论：‎ ‎(1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为,则弦长；‎ ‎(2)定点是弦的中点⇒；‎ ‎(3)设弦中点为,则点对应的参数值 ‎(由此可求及中点坐标)．‎ ‎5.圆与圆锥曲线的参数方程及应用 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等．‎ ‎【考场经验分享】‎ ‎1．在极坐标系中,如无特别说明时,,；点的极坐标不惟一,若规定,,则极坐标系中的点与点的极坐标形成一一对应关系(极点除外)；‎ 曲线上的点的极坐标不一定满足曲线的极坐标方程,但曲线上一点P的无数个极坐标中必有一个适合曲线的极坐标方程．‎ ‎2．极坐标方程表示一条射线并非直线,只有当允许时,才表示一条直线．‎ ‎3．只有在a2＋b2＝1时,直线(t为参数)中的参数t才表示由M(x0,y0)指向N(x,y)的有向线段的数量,而在a2＋b2≠1时,|MN|＝·t.‎ ‎4．消参后应将原参数的取值范围相应地转化为变量x(或y)的取值范围．‎ ‎【名题精选练兵篇】‎ ‎1．【江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2017届高三4月联考】在平面直角坐标系中,已知圆的参数方程为,直线的参数方程为,定点. ‎ ‎（Ⅰ）以原点为极点, 轴的非负半轴为极轴,单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系,求圆的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与圆相交于两点,求的值.‎ ‎2．【甘肃省兰州市2017年高考实战模拟考试】在平面直角坐标系中,已知点,曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且过点；过点与直线平行的直线为, 与曲线相交于两点.‎ ‎（1）求曲线上的点到直线距离的最小值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【解析】（1）因为,且,所以,即 所以直线的极坐标方程为 所以 即直线的直角坐标方程为 设曲线上的点到直线距离为,则 所以曲线上的点到直线距离的最小值为 ‎ ‎ ‎（2）设的方程为,由于过点,所以,所以的方程为 故的参数方程为（为参数）,曲线的普通方程为 所以,即有 所以 所以 ‎ ‎3．【河南省天一大联考2017届高三阶段性测试（五）】在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线和共有四个不同交点,求的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）曲线的普通方程为,表示一个以为圆心,2为半径的圆；‎ 曲线的极坐标方程可化为,故对应的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）将两方程联立得得,‎ 由于两方程表示的曲线均关于轴对称 iyuan u ,所以只要关于 的方程有两个大于0的不等实根,即代表两个曲线有4个不同交点,因此有解得．‎ ‎4．【湖南省娄底市2017届高考仿真模拟（二模）】在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.设曲线： （为参数）；直线： .‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求曲线上的点到直线的最小距离.‎ ‎【解析】（Ⅰ）将转化普通方程为： ,‎ 将转化为直角坐标方程为： .‎ ‎（Ⅱ）在曲线上任取一点,则点到直线的距离为 ‎ ,‎ 因为 ,‎ 所以当时,距离的最小值为.‎ ‎5．【宁夏中卫市2017届高三第二次模拟】在直角坐标系中,曲线的参数方程为（其中为参数）,曲线,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）射线与曲线分别交于点（均异于原点）,求值.‎ ‎6．【江西省临川2017届高三第一次模拟】在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数, ),在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线.‎ ‎（1）求曲线的普通方程,并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程为,若曲线与的公共点都在上,求的值.‎ ‎【解析】（1）消去参数得到的普通方程,将代入的普通方程,得到的极坐标方程.‎ ‎（2）曲线与的公共点的极坐标满足方程组,若,‎ 由方程组得,由已知,可解得,‎ 根据,得到,当时,极点也为的公共点都在上,所以.‎ ‎7．【陕西省汉中市2017届高三下学期第二次教学质量检测 iyuan u （4月模拟）】已知直线l的参数方程为 （t为参数）,以坐标原点为极点, ‎ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为. ‎ ‎（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）点P、Q分别在直线l和圆C上运动,求∣PQ∣的最小值.‎ ‎8．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三二模考试】圆锥曲线的极坐标方程为： .‎ ‎（1）以极点为原点,极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系,求曲线的直角坐标方程,并求曲线在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；‎ ‎（2）直线的极坐标方程为,若曲线上的点到直线的距离最大,求点的坐标（直角坐标和极坐标均可）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）曲线直角坐标方程： ,焦点直角坐标： ‎ 焦点极坐标： ‎ ‎（Ⅱ）直线直角坐标方程： ,曲线C: ,设直线,‎ 即直线m与曲线C相切时,切点M到直线的距离最大 ‎, , ,解得： , ,所以或.‎ ‎9．【2017届淮北市高三第二次模拟考试】在直角坐标系中, 以为极点, ‎ ‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 圆的极坐标方程为,直线的参数方程为 （t为参数）, 直线和圆交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求圆心的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）直线与轴的交点为,求．‎ ‎【解析】（1）由,得,得,故圆的普通方程为,所以圆心坐标为,圆心的极坐标为. ‎ ‎（2）把代入得,‎ 所以点A、B对应的参数分别为 ‎ 令得点对应的参数为 所以 ‎ 法二：把化为普通方程得 令得点Ｐ坐标为,又因为直线恰好经过圆C的圆心,‎ 故 ‎10.【2016广西桂林市、北海市、崇左市3月联合调研】已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是（为参数）．‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值．‎ ‎ ‎ ‎11.【2016吉林长春质量监测（二）】在直角坐标系中,曲线的参数方程为（是参数）,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线；‎ ‎（2）若曲线与曲线交于,两点,求的最大值和最小值.‎ ‎【解析】(1) 对于曲线有,即,因此曲线的直角坐标方程为,其表示一个圆. ‎ ‎(2) 联立曲线与曲线的方程可得：,‎ ‎,‎ 因此的最小值为,最大值为8. ‎ ‎12.【2016年安徽省“江南十校”联考】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,‎ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知在极坐标系中,,圆的方程为 ‎（Ⅰ）求在平面直角坐标系中圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知为圆上的任意一点,求面积的最大值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由,可得：,所以 故在平面直角坐标系中圆的标准方程为： ‎ ‎13.【2016河南新乡许昌平顶山二调】 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（α为参数）,曲线C2的参数方程为 （β为参数）,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎ （Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；WWW. iyuan u ‎ ‎ （Ⅱ）已知射线l1：θ＝α（）将射线l1顺时针旋转得到射线l2：θ＝α－,‎ 且射线l1与曲线C1交于O、P两点,射线l2与曲线C2交于O、Q两点,求｜OP｜·｜OQ｜的 最大值．‎ ‎【解析】（1）曲线的直角坐标方程为,所以极坐标方程为 曲线的直角坐标方程为,所以极坐标方程为 ‎ ‎（2）设点极点坐标,即 点极坐标为 即 则=‎ ‎ ‎ ‎,,‎ 当即时,取最大值4． ‎ ‎14.【2016福建4月质检】在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系中,直线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求C的普通方程和直线的倾斜角；‎ ‎(Ⅱ)设点P(0,2),和C交于A,B两点,求.‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知,点在直线上, 可设直线的参数方程为（为参数）,‎ 即（为参数）,代入并化简,得．‎ ‎．‎ 设两点对应的参数分别为,‎ 则,‎ 所以所以．　‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一. ‎ ‎（Ⅱ）直线的普通方程为.‎ 由消去得,‎ 于是.‎ 设,则,所以.‎ 故 ‎15.【2106辽宁省沈阳质量监测（一）】在以直角坐标原点为极点,的非负半轴为极轴的极坐标系下,曲线的方程是,将向上平移1个单位得到曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)若曲线的切线交曲线于不同两点,切点为.求的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题,因,‎ 所以曲线的直角坐标下的方程为,‎ x 所以曲线的直角坐标下的方程为,‎ 又,所以,‎ 即曲线的极坐标方程为.‎ ‎ (Ⅱ)由题令,,切线的倾斜角为,所以切线的参数方程为: (为参数). ‎ 联立的直角坐标方程得, , ‎ 即由直线参数方程中,的几何意义可知,‎ ‎ ,因为所以. ‎ ‎(解法二)设点,则由题意可知当时,切线与曲线相交,‎ 由对称性可知,当时斜线的倾斜角为,则切线MN的参数方程为：‎ ‎（t为参数）,‎ 与C2的直角坐标联立方程,得,‎ 则,‎ 因为,所以. ‎ 此题也可根 iyuan u 据图形的对称性推出答案,此种方法酌情给分.‎ ‎16.【2016年安庆二模】在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为（为参数,为直线的倾斜角）．‎ ‎（I）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）若直线与曲线有唯一的公共点,求角的大小．‎ ‎【名师原创测试篇】‎ ‎1．已知直线的参数方程为（为参数）,以为极点, 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,（ ）‎ ‎（1）写出直线经过的定点的直角坐标,并求曲线的普通方程；‎ ‎（2）若,求直线的极坐标方程,以及直线与曲线的交点的极坐标.‎ ‎【解析】(1)直线经过定点,‎ 由得,得曲线的普通方程为,化简得.‎ ‎ (2)若,得,的普通方程为,则直线的极坐标方程为, 联立曲线.得,取,得 ‎,所以直线与曲线的交点为. ‎ ‎2．在极坐标系中,曲线,曲线.以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系,曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）与交于不同四点,这四点在上的排列顺次为,求的值.‎ ‎【解析】（1）因为,‎ 由得,‎ 所以曲线的直角坐标方程为,‎ 由得,‎ 所以曲线的直角坐标方程为： .‎ ‎（2）‎ 不妨设四个交点自下而上依次为,它们对应的参数分别为.‎ 把代入,‎ 得,即,‎ 则, ,‎ 把,代入,‎ 得WWW. iyuan u ,即,‎ 则, ,‎ 所以.‎ ‎3. 已知曲线的参数方程： （为参数）, 曲线上的点对应的参数,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系．‎ ‎(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线过点,且与曲线于两点,求的范围．‎ ‎（Ⅱ）设直线参数方程为直线的参数方程：,代入到曲线方程里,得到,,由韦达定理可得到,因为,所以 ‎4. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为,直线l的参数方程为(t为参数,t∈R)．试在曲线C上求一点M,使它到直线l的距离最大．‎ ‎【解析】因为,所以,,把代入得 曲线C的普通方程是．直线l的普通方程是．设点M的直角坐标是,则点M到直线l的距离是 ‎．因为,所以当,即 ),即 )时,d取得最大值． 此时．‎ 所以, ,所以, ,所以, 所以,点M的极坐标为时,该点到直线l的距离最大．‎ ‎5. 以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的参数方程是（为参数）,圆的极坐标方程是.‎ ‎（Ⅰ）求直线的方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线被圆截得的弦长．‎ ‎【解析】（Ⅰ）将直线的参数方程消去参数,化成直角坐标方程为 ,圆的极坐标方程两边同乘为,化成直角坐标方程为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,圆心到直线的距离,所以直线被圆截得的弦长.‎ ‎6. 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,曲线D的参数方程为（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）把C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）判定曲线C与曲线D间的位置关系．‎