高中数学必修2教案:3_3_2两点间的距离 (2)

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文档介绍

高中数学必修2教案:3_3_2两点间的距离 (2)

‎§‎3.3.2‎两点间的距离 ‎【教学目标】‎ ‎1.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题.‎ ‎2.通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性. ‎ ‎3.体会事物之间的内在联系,能用代数方法解决几何问题.‎ ‎【重点难点】‎ 教学重点:①平面内两点间的距离公式.‎ ‎   ②如何建立适当的直角坐标系.‎ 教学难点:如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.‎ ‎【教学过程】‎ 一、导入新课、展示目标 问题 已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?‎ 二、检查预习、交流展示 ‎ 核对课前预习中的答案。1、(1,0);2、1并说出自己的疑惑处。‎ 三、合作探究、精讲精练 探究一 平面内两点间的距离公式 问题 (1)如果A、B是x轴上两点,C、D是y轴上两点,它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD,那么|AB|、|CD|怎样求?‎ ‎(2)求B(3,4)到原点的距离.‎ ‎(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),求|AB|.‎ 教师 ①如果A、B是x轴上两点,C、D是y轴上两点,它们坐标分别是xA、xB、yC、yD,那么|AB|、|CD|怎样求?‎ ‎②求点B(3,4)到原点的距离.‎ ‎③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.‎ ‎④同学们已知道两点的距离公式,请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).‎ 学生 回答 ①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|.‎ ‎②通过画简图,发现一个Rt△BMO,应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.‎ ‎③‎ 图1‎ ‎ 在直角坐标系中,已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P‎1M1、P1N1和P‎2M2‎、P2N2,垂足分别为M1(x1,0)、N1(0,y1)、M2(x2,0)、N2(0,y2),其中直线P1N1‎ 和P‎2M2‎相交于点Q.‎ ‎ 在Rt△P1QP2中,|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.‎ ‎ 因为|P1Q|=|M‎1M2‎|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|,‎ ‎ 所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.‎ ‎ 由此得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:|P1P2|=‎ ‎ ‎ 教师 ④(a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.‎ ‎(b)又问了B(3,4)到原点的距离,发现了直角三角形.‎ ‎(c)猜想了任意两点间距离公式.‎ ‎(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.‎ ‎ 这种由特殊到一般,由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!‎ 应用示例 例1 如图2,有一线段的长度是13,它的一个端点是A(-4,8),另一个端点B的纵坐标是3,求这个端点的横坐标.‎ 图2‎ 解:设B(x,3),根据|AB|=13,‎ 即(x+4)2+(3-8)2=132,解得x=8或x=-16.‎ 点评:学生先找点,有可能找不全,丢掉点,而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4,8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点,应交出两个点.‎ 变式训练1 ‎ 课本106页练习第一题 例2 已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.‎ 解:设所求点P(x,0),于是有.‎ 由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.‎ 即所求点为P(1,0),且|PA|==2.‎ 点评:引导学生熟练设点及应用距离公式。‎ 变式训练2‎ 课本106页练习第二题.‎ 探究二 建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题 例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.‎ 解析:首先要建立适当的坐标系,用坐标表示有关量,然后进行代数运算,最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系。‎ 这一道题可以让学生讨论解决,让学生深刻体会数形之间的关系和转化,并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。‎ ‎ 证明:如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系,有A(0,0)。‎ 设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b,c),因为 所以,‎ ‎,‎ 所以,‎ ‎ ‎ 因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。‎ 点评 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下:‎ 第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关的量。‎ 第二步:进行有关代数运算。‎ 第三步;把代数结果“翻译”成几何关系。‎ 思考:同学们是否还有其它的解决办法?‎ 还可用综合几何的方法证明这道题。‎ 变式训练:已知0<x<1,0<y<1,求使不等式 ‎≥2中的等号成立的条件.‎ 解析:此题需要学生将不等式转化为平面内两点间的距离问题来研究。数形结合。‎ 答案:x=y=‎ 点评:强调数形结合,转化划归来解决问题。建立适当的直角坐标系,来解决问题很有必要。‎ 当堂检测 ‎ 导学案当堂检测 课堂小结 ‎ 通过本节学习,要求大家:‎ ‎①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程;‎ ‎②能灵活运用此公式解决一些简单问题;‎ ‎③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.‎ ‎【板书设计】‎ 一、两点间距离公式 二、例题 例1‎ 变式1‎ 例2 ‎ 变式2‎ 例3‎ 变式3‎ ‎ 【作业布置】‎ ‎  课本习题3.3 必做题 A组6、7、8;‎ ‎        选做题B组6.‎ ‎ ‎ 及 导学案课后练习与提高  ‎ ‎ ‎ ‎ § ‎3.3.2‎两点间的距离 课前预习学案 一、预习目标 ‎ ‎1.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题.‎ ‎2.通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性. ‎ ‎3.体会事物之间的内在联系,,能用代数方法解决几何问题.‎ 二、预习内容 ‎ ‎(一)巩固所学 ‎ 1.直线,无论取任意实数,它都过点 .‎ ‎2.若直线与直线的交点为,则 .‎ ‎(二)探索新知,提出疑惑 预习教材P104~ P106,找出疑惑之处 三. 提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 ‎ 并回答下列问题: ‎ ‎1.已知平面上两点,则|P1P2| = ( ).‎ 特殊地:与原点的距离为 |P1P2|= ( ).‎ ‎ 2.特别地,当P1P2平行于x轴时,|P1P2|= ( );‎ ‎ 当P1P2平行于y轴时,|P1P2|=( )‎ 课内探究学案 一、学习目标 ‎ ‎1.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题.‎ ‎2.通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性. ‎ ‎3.体会事物之间的内在联系,,能用代数方法解决几何问题.‎ 学习重点:①平面内两点间的距离公式.‎ ‎   ②如何建立适当的直角坐标系.‎ 学习难点:如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题 二、学习过程 问题 已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?‎ 探究一 平面内两点间的距离公式 问题 (1)如果A、B是x轴上两点,C、D是y轴上两点,它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD,那么|AB|、|CD|怎样求?‎ ‎(2)求B(3,4)到原点的距离.‎ ‎(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),求|AB|.‎ ‎(4)同学们已知道两点的距离公式,请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程)‎ 得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:|P1P2|=‎ 例1 如图2,有一线段的长度是13,它的一个端点是A(-4,8),另一个端点B的纵坐标是3,求这个端点的横坐标.‎ 图2‎ 变式训练1 ‎ 课本106页练习第一题 例2 已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.‎ 变式训练2‎ 课本106页练习第二题.‎ 探究二 建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题 例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.‎ ‎ ‎ 上述解决问题的基本步骤学生归纳如下:‎ 思考:同学们是否还有其它的解决办法?‎ 还可用综合几何的方法证明这道题。‎ 变式训练:已知0<x<1,0<y<1,求使不等式 ‎≥2中的等号成立的条件.‎ ‎ ‎ 学习小结 ‎1.坐标法的步骤:①建立适当的平面直角坐标系,用坐标表示有关的量;②进行有关的代数运算;③把代数运算结果“翻译”成几何关系.‎ 当堂检测 ‎ ‎1.在x轴上求一点P,使P点到A(-4,3)和B(2,6)两点的距离相等.‎ ‎2.求在数轴上,与两点A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标.‎ ‎3.已知三点A(3,2)、B(0,5)、C(4,6),则△ABC的形状是( )‎ A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 ‎4.以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的△ABC的形状是( ) ‎ A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 参考答案 ‎1. 解:设点P坐标为(x,0),由P点到A(-4,3)和B(2,6)两点的距离相等及两点间的距离公式,可得x=,即点P坐标为(,0).‎ ‎2.答案:(,0)或(0,5).‎ ‎3.解:由两点间的距离公式,可得|AB|=≠|BC|=|CA|=,故选C.‎ 答案:C ‎4.答案:C ‎ ‎ ‎          课后巩固练习与提高 ‎          ‎ ‎1.点M(x,)、N(y,)之间的距离为( )‎ A.|x+y| B.x+y C.|x-y| D.x-y ‎ 2.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经反射以后经过点B(2,10),则光线从A到B的距离为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知A(3,-1)、B(5,-2),点P在直线x+y=0上,若使|PA|+|PB|取最小值,则P点坐标是( )‎ A.(1,-1) B.(-1,1) C.() D.(-2,2)‎ ‎4.已知A(1,3)、B(5,-2),点P在x轴上,则使|AP|-|BP|取最大值的点P的坐标是( )‎ A.(4,0) B.(13,0) C.(5,0) D.(1,0)‎ ‎5.已知A(a,3)、B(3,‎3a+3)两点间的距离是5,则a的值为_____________.‎ ‎6.以A(-1,1)、B(2,-1)、C(1,4)为顶点的三角形是______________三角形.‎ ‎7.已知△ABC的顶点坐标为A(3,2),B(1,0),C(,),则AB边上的中线CM的长为_____________________.‎ ‎8.若‎2a-b=3,求证:三点A(-2,3)、B(3,a)、C(8,b)在一条直线上.‎ ‎9.如图‎3-3-3‎,△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,试证明AE=CD.‎ 图‎3-3-3‎ ‎10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.‎ 参考答案 ‎1.思路解析: 思路解析:考查平面上两点间距离公式.‎ MN==|x+y|.‎ 故选A.‎ ‎2. 思路解析:直接求本题较为麻烦,可以通过对称问题求解.A(-3,5)关于x轴的对称点 A′(-3,-5),则|A′B|即为所求,由两点间距离易求得|A′B|=.‎ 答案:C ‎3. 思路解析:点A(3,-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1,-3),连结A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点,直线A′B的方程为y+3=(x-1),即y=,与x+y=0联立,解得x=,y=.‎ 答案:C ‎4. 思路解析:点A(1,3)关于x轴的对称点为A′(1,-3),连结A′B交x轴于点P,‎ 即为所求.直线A′B的方程是y+3=(x-1),即y=.令y=0,得x=13.‎ 答案:B ‎5. 思路解析:由两点间距离公式得|AB|=,解之,可得a=-1或.‎ 答案:-1或 ‎ 6. ‎ ‎ 思路解析:本题主要是考查平面上两点间距离公式和三角形形状的判断.目前,判断三角形的形状主要是利用三角形的三边关系.而知道三角形的三个顶点求三角形的三边,主要是利用平面上两点间的距离公式.‎ 由两点间的距离公式可得|AB|=.‎ 同理可得|AC|=,|BC|=.‎ 所以|AB|=|AC|.‎ 又AB2+AC2=BC2=26,所以△ABC为等腰直角三角形.‎ 答案:等腰直角 ‎ ‎ ‎7.‎ 答案: 思路解析:由中点公式得AB的中点的坐标为M(2,1).‎ 由两点间的距离公式,有|CM|=.‎ ‎∴AB边上的中线CM的长为.‎ 答案:‎ ‎9.思路解析:本题是证明两线段的相等问题,可以通过坐标法来证,这就需要根据图形的特征建立直角坐标系,得出相关点的坐标,通过两点间距离公式证明相等.‎ 解:以B为原点,AC所在直线为x轴建立直角坐标系,设等边△ABD和△BCE的边长分别为‎2a和2b,于是可得相关各点坐标:B(0,0),A(-‎2a,0),C(2b,0),D(-a,),E(b,),由两点间的距离公式,则|AE|=,‎ ‎|CD|=,所以|AE|=|CD|‎ ‎10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.‎ 思路解析:根据题意,可将问题用数学表达式写出:已知在等腰梯形ABCD中,CD∥AB.‎ 求证:对角线AC=BD.‎ 所以考虑建立适当的直角坐标系,得出相关点的坐标,利用两点间距离公式证明.‎ 解:设等腰梯形ABCD中,AB∥CD,并设其上、下底边长和高分别为‎2a、2b和c,建立如图所示直角坐标系,以下底AB中点O为坐标原点,以线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建系,在等腰梯形ABCD中,CD∥AB.‎ 可设A(-a,0),B(a,0),D(-b,c),C(b,c),‎ 则由两点间距离公式得|AC|=,‎ ‎|BD|=,∴|AC|=|BD|,即等腰梯形两对角线长相等.‎
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