湖北省咸宁市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

湖北省咸宁市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

湖北省咸宁市2018～2019学年度下学期期末考试 一、选择题。‎ ‎1.复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数，即得复数的虚部.‎ ‎【详解】由题得.‎ 所以复数的虚部为1.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查复数的运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎2.已知随机变量，且，则（ ）‎ A. 0．25 B. 0．3 C. 0．75 D. 0．65‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正态分布的图像和性质求解即可.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3.如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：单调变化情况为先增后减、再增再减 因此的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A符合，故选A.‎ 考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.‎ ‎【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.‎ ‎4.利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（ ）‎ ‎0.01‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、‎ C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，结合临界值表，即可直接得出结果.‎ ‎【详解】由，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B ‎【点睛】本题主要考查独立性检验，会对照临界值表，分析随机变量观测值即可，属于基础题型.‎ ‎5.在平面直角坐标系中,方程表示在x轴、y轴上的截距分别为的直线,类比到空间直角坐标系中,在轴、轴、轴上的截距分别为的平面方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是.‎ ‎【详解】由类比推理得：若平面在轴、轴、轴上的截距分别为，则该平面的方程为：，故选A.‎ ‎【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令，看是否为.‎ ‎6.若函数无极值点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，再利用导函数与极值的关系即得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 因为函数无极值点， ‎ 所以，‎ 即.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7.2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅。小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算 ‎（A）、的值，从而求得的值．‎ ‎【详解】由题意，设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，‎ 事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，‎ 则（A）， ，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型和条件概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎8.用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出n=k+1时左边最后的一项，再求左边增加的项数.‎ ‎【详解】n=k+1时左边最后的一项为，n=k时左边最后一项为，‎ 所以左边增加的项数为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎9.大学生小红与另外3名大学生一起分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小红恰好分配到甲村小学的方法数为（ ）‎ A. 3 B. 18 C. 12 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.‎ ‎【详解】大学生小红与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，‎ 每个村小学至少分配1名大学生，分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.‎ 小红恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数 故选：C ‎【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设 为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是 A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：首先求得a的表达式，然后列表猜想的后三位数字，最后结合除法的性质整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可得：，结合二项式定理可得：‎ ‎，‎ 计算的数值如下表所示：‎ 底数 指数 幂值 ‎5‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎25‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎125‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎625‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3125‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎15625‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎78125‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎390625‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎1953125‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎9765625‎ 据此可猜想最后三位数字为，则：除以8的余数为1，‎ 所给选项中，只有2017除以8的余数为1，‎ 则的值可以是2017.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的逆用，学生归纳推理的能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11.《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）‎ A. 240种 B. 188种 C. 156种 D. 120种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当E,F排在前三位时，=24,当E,F排后三位时，=72，当E,F排3，4位时，=24，N=120种，选D.‎ ‎12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数 在上为减函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．‎ ‎【详解】构造函数，；‎ 当时，‎ ‎，；‎ ‎；‎ 在上单调递减；‎ ‎，；‎ 由不等式得：‎ ‎；‎ ‎，且；‎ ‎；‎ 原不等式的解集为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 二、填空题.‎ ‎13.曲线在（其中为自然对数的底数）处的切线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，得到（e），再求出（e）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．‎ ‎【详解】由，得，‎ ‎（e）．‎ 即曲线在点，（e）处的切线的斜率为2，‎ 又（e）．‎ 曲线在点，（e）处的切线方程为，‎ 即．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．‎ ‎14.____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求得和的值，相加求得表达式的结果.‎ ‎【详解】由于表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分，故..故原式.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用几何意义计算定积分的值，考查定积分的计算，属于基础题.‎ ‎15.在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）‎ ‎【答案】57‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的展开式中的常数项和的系数，再求的常数项.‎ ‎【详解】由题得的通项为，‎ 令r=0得的常数项为,‎ 令-r=-2，即r=2,得的的系数为.‎ 所以的常数项为1+2×28=57.‎ 故答案为：57‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎16.总决赛采用7场4胜制，2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.6，骑士获胜的概率为0.4，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为_______．‎ ‎【答案】0.2688‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 恰好5场比赛决出总冠军的情况有两种：一种情况是前4局勇士队3胜一负，第5局勇士胜，另一种情况是前4局骑士队3胜一负，第5局骑士胜，由此能求出恰好5场比赛决出总冠军的概率．‎ ‎【详解】恰好5场比赛决出总冠军的情况有两种：‎ 一种情况是前4局勇士队3胜一负，第5局勇士胜，‎ 另一种情况是前4局骑士队3胜一负，第5局骑士胜，‎ 恰好5场比赛决出总冠军的概率为：‎ ‎．‎ 故答案为：0.2688．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ 三、解答题.‎ ‎17.已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出为 ,即可求出，再根据共轭复数的定义即可求出；（2）根据复数的运算法则计算即可得出结论.‎ ‎【详解】(1)因为|3+4i|=5,‎ 所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.‎ ‎(2)===2.‎ ‎【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎18.（1）用分析法证明：;‎ ‎（2）如果是不全相等的实数，若成等差数列，用反证法证明：不成等差数列.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ 分析：（1）利用分析法证明，平方、化简、再平方，可得显然成立，从而可得结果；（2）假设成等差数列，可得，结合可得，与是不全相等的实数矛盾，从而可得结论.‎ 详解：（1）欲证 只需证：即 只需证：即显然结论成立 故 ‎（2）假设成等差数列，则 由于成等差数列，得①‎ 那么，即②‎ 由①、②得与是不全相等的实数矛盾。‎ 故不成等差数列。‎ 点睛：本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.‎ ‎19.2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．‎ ‎（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关？‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 ‎140‎ 对商品不满意 ‎10‎ 合计 ‎200‎ ‎（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X．‎ ‎①求随机变量X的分布列；‎ ‎②求X的数学期望和方差．‎ 附：，其中n＝a＋b＋c＋d．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）①详见解析②，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)补充列联表，根据公式计算卡方值，进行判断；（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二项分布，按照二项分布的公式进行计算即可得到相应的概率值；（ⅱ）按照二项分布的期望和方差公式计算即可.‎ ‎【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 ‎140‎ ‎40‎ ‎180‎ 对商品不满意 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 则．‎ 由于7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关．‎ ‎（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，‎ 且X的取值可以是0，1，2，3，‎ 则，，‎ ‎，．‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎（ⅱ）由于X～B（3，），则，．‎ ‎【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.‎ ‎20.如图，已知、两个城镇相距20公里，设是中点，在的中垂线上有一高铁站，的距离为10公里.为方便居民出行，在线段上任取一点（点与、不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到处，再铺设快速路分别到、‎ 两处.因地质条件等各种因素，其中快速路造价为1.5百万元/公里，快速路造价为1百万元/公里，快速路造价为2百万元/公里，设，总造价为(单位：百万元).‎ ‎（1）求关于的函数关系式，并指出函数的定义域；‎ ‎（2）求总造价的最小值，并求出此时的值.‎ ‎【答案】（1），()（2）最小值为，此时 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，根据三角形的性质，即可得到；‎ ‎（2）构造函数，利用导数求得函数的单调性，即可求解函数的最值。‎ ‎【详解】(1),‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ (2)设 则 令，又，所以.‎ 当,,,单调递减；‎ 当,,,单调递增；‎ 所以的最小值为.‎ 答：的最小值为(百万元)，此时 ‎【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用导数求解函数单调性与最值问题，其中解答中认真审题，合理建立函数的关系式，准确利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）求导数得，又，所以，由此可得函数单调性，进而可求得极值；‎ ‎（2）由，得。因此分和两种情况判断函数的单调性，然后根据零点存在定理判断函数零点的个数。‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ 因为，所以，‎ 当x变化时，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 由表可得当时，有极大值，且极大值为，‎ 当时，有极小值，且极小值为.‎ ‎（2）由（1）得。‎ ‎∵ ，∴.‎ ‎① 当时，在上单调递增，在上递减 又因为 所以在（0,1）和（1,2）上各有一个零点，‎ 所以上有两个零点。 ‎ ‎② 当，即时，在上单调递增，在上递减，在上递增，‎ 又因为 所以在上有且只有一个零点，在上没有零点，‎ 所以在上有且只有只有一个零点.‎ 综上：‎ 当时，在上有两个零点；‎ 当时，在上有且只有一个零点。‎ 点睛：利用导数研究方程根（函数零点）的方法 研究方程根（函数零点）的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线与轴交于点，且与曲线交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）直线的直角坐标方程为，的普通方程；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程.利用将曲线的参数方程转化为直角坐标方程.（2）先求得点的坐标，写出直线的参数方程并代入的直角坐标方程，写出韦达定理，利用直线参数的几何意义求解出所要求的表达式的值.‎ ‎【详解】解：（1）因为直线的极坐标方程为，所以直线的直角坐标方程为.‎ 因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程.‎ ‎（2）由题可知，‎ 所以直线的参数方程为，（为参数），‎ 代入，得.‎ 设，两点所对应的参数分别为，，‎ 则，.‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本小题主要考查极坐标方程、参数方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ．(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分类讨论法解绝对值不等式；（2）由题得对任意成立，即对任意成立，再求实数的取值范围．‎ ‎【详解】（1）当时，不等式可化为．‎ 当时，，解得，故；‎ 当时，，解得，故；‎ 当时，，解得，故．‎ 综上，当时，不等式的解集为．‎ ‎（2）∵对任意成立，‎ ‎∴任意成立，‎ ‎∴对任意成立，‎ 所以对任意成立 又当时，，‎ 故所求实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎