高考数学专题复习练习:高考专题突破三 高考中的数列问题

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高考数学专题复习练习:高考专题突破三 高考中的数列问题

‎ ‎ ‎1.(2017·广州质检)数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}中连续的三项,则数列{bn}的公比为(  )‎ A. B.4‎ C.2 D. 答案 C 解析 设数列{an}的公差为d(d≠0),由a=a1a7,得(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得a1=2d,故数列{bn}的公比q====2.‎ ‎2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.‎ ‎∵a5=5,S5=15,∴∴ ‎∴an=a1+(n-1)d=n.‎ ‎∴==-,‎ ‎∴数列的前100项和为++…+=1-=.‎ ‎3.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则等比数列{an}的公比为________.‎ 答案  解析 设等比数列{an}的公比为q(q≠0),‎ 由4S2=S1+3S3,得4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),‎ 即3q2-q=0,又q≠0,∴q=.‎ ‎4.(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=____________.‎ 答案 - 解析 由题意,得S1=a1=-1,又由an+1=SnSn+1,得Sn+1-Sn=SnSn+1,因为Sn≠0,所以=1,即-=-1,故数列是以=-1为首项,-1为公差的等差数列,所以=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.‎ ‎5.已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*都有Sn=an-,若10,n∈N*.‎ ‎(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=2,求e+e+…+e.‎ 解 (1)由已知,Sn+1=qSn+1,得Sn+2=qSn+1+1,两式相减得an+2=qan+1,n≥1.‎ 又由S2=qS1+1得a2=qa1,故an+1=qan对所有n≥1都成立.所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.‎ 从而an=qn-1.由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3,所以a3=2a2,故q=2.‎ 所以an=2n-1(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)可知,an=qn-1,‎ 所以双曲线x2-=1的离心率en==.‎ 由e2==2,解得q=,‎ 所以e+e+…+e ‎=(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n-1)]‎ ‎=n+[1+q2+…+q2(n-1)]‎ ‎=n+=n+(3n-1).‎ 思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 ‎(1)分析已知条件和求解目标,为最终解决问题设置中间问题,例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.‎ ‎(2)注意细节:在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.‎ ‎ 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设Tn=Sn-(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.‎ 解 (1)设等比数列{an}的公比为q,‎ 因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,‎ 所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,‎ 于是q2==.‎ 又{an}不是递减数列且a1=,所以q=-.‎ 故等比数列{an}的通项公式为an=×n-1‎ ‎=(-1)n-1·.‎ ‎(2)由(1),得Sn=1-n= 当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,‎ 所以1Sn-≥S2-=-=-.‎ 综上,对于n∈N*,总有-≤Sn-≤.‎ 所以数列{Tn}的最大项的值为,最小项的值为-.‎ 题型二 数列的通项与求和 例2 已知数列{an}的前n项和为Sn,在数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.‎ ‎(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式.‎ ‎(1)证明 ∵an+Sn=n,①‎ ‎∴an+1+Sn+1=n+1.②‎ ‎②-①,得an+1-an+an+1=1,‎ ‎∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1,‎ ‎∴=,∴{an-1}是等比数列.‎ ‎∵首项c1=a1-1,又a1+a1=1.‎ ‎∴a1=,∴c1=-,公比q=.‎ 又cn=an-1,‎ ‎∴{cn}是以-为首项,为公比的等比数列.‎ ‎(2)解 由(1)可知cn=(-)·()n-1=-()n,‎ ‎∴an=cn+1=1-()n.‎ ‎∴当n≥2时,bn=an-an-1‎ ‎=1-()n-[1-()n-1]‎ ‎=()n-1-()n=()n.‎ 又b1=a1=,代入上式也符合,∴bn=()n.‎ 思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列,此时要从证的结论出发,这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法,常用的有错位相减法,分组求和法,裂项求和法等.‎ ‎ 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=,an+1=an.‎ ‎(1)证明:数列{}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.‎ ‎(1)证明 ∵a1=,an+1=an,‎ 当n∈N*时,≠0.‎ 又=,∶=(n∈N*)为常数,‎ ‎∴{}是以为首项,为公比的等比数列.‎ ‎(2)解 由{}是以为首项,为公比的等比数列,‎ 得=·()n-1,∴an=n·()n.‎ ‎∴Sn=1·+2·()2+3·()3+…+n·()n,‎ Sn=1·()2+2·()3+…+(n-1)()n+n·()n+1,‎ ‎∴Sn=+()2+()3+…+()n-n·()n+1‎ ‎=-n·()n+1,‎ ‎∴Sn=2-()n-1-n·()n ‎=2-(n+2)·()n.‎ 综上,an=n·()n,Sn=2-(n+2)·()n.‎ 题型三 数列与其他知识的交汇 命题点1 数列与函数的交汇 例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),且f′(0)=2n,n∈N*,数列{an}满足=f′,且a1=4.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解 (1)f′(x)=2ax+b,由题意知b=2n,‎ ‎16n2a-4nb=0,‎ ‎∴a=,‎ 则f(x)=x2+2nx,n∈N*.‎ 数列{an}满足=f′,‎ 又f′(x)=x+2n,‎ ‎∴=+2n,∴-=2n,‎ 由叠加法可得-=2+4+6+…+2(n-1)=n2-n,‎ 化简可得an=(n≥2),‎ 当n=1时,a1=4也符合,‎ ‎∴an=(n∈N*).‎ ‎(2)∵bn== ‎=2,‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn ‎=++…+ ‎=2 ‎=2 ‎=.‎ 命题点2 数列与不等式的交汇 例4 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.‎ ‎(1)求a1的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.‎ ‎(1)解 令n=1代入得a1=2(负值舍去).‎ ‎(2)解 由S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*,‎ 得[Sn-(n2+n)](Sn+3)=0.‎ 又已知数列{an}各项均为正数,故Sn=n2+n.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,‎ 当n=1时,a1=2也满足上式,‎ ‎∴an=2n,n∈N*.‎ ‎(3)证明 ∵k∈N*,4k2+2k-(3k2+3k)‎ ‎=k2-k=k(k-1)≥0,‎ ‎∴4k2+2k≥3k2+3k,‎ ‎∴==≤ ‎=(-).‎ ‎∴++…+ ‎≤(-+-+…+-)‎ ‎=(1-)<.‎ ‎∴不等式成立.‎ 命题点3 数列应用题 例5 (2016·长沙模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.‎ ‎(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;‎ ‎(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).‎ 解 (1)由题意,得 a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,‎ a2=a1(1+50%)-d=a1-d=4 500-d,‎ ‎…‎ an+1=an(1+50%)-d=an-d.‎ ‎(2)由(1),得an=an-1-d=(an-2-d)-d ‎=()2an-2-d-d ‎=…‎ ‎=()n-1a1-d[1++()2+…+()n-2]‎ 整理,得 an=()n-1(3 000-d)-2d[()n-1-1]‎ ‎=()n-1(3 000-3d)+2d.‎ 由题意,得am=4 000,‎ 即()m-1(3 000-3d)+2d=4 000.‎ 解得d==.‎ 故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.‎ 思维升华 数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 ‎(1)数列与函数的交汇问题 ‎①已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题;‎ ‎②已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外,解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题的求解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.‎ ‎(2)数列与不等式的交汇问题 ‎①‎ 函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式;‎ ‎②放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到;‎ ‎③比较方法:作差或者作商比较.‎ ‎(3)数列应用题 ‎①根据题意,确定数列模型;‎ ‎②准确求解模型;‎ ‎③问题作答,不要忽视问题的实际意义.‎ ‎ 设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).‎ ‎(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;‎ ‎(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.‎ 解 (1)由已知,得b7=,b8==4b7,‎ 有=4×=.‎ 解得d=a8-a7=2.‎ 所以Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.‎ ‎(2)f′(x)=2xln 2,f′(a2)= ln 2,‎ 故函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y- = ln 2(x-a2),‎ 它在x轴上的截距为a2-.‎ 由题意,得a2-=2-,‎ 解得a2=2.‎ 所以d=a2-a1=1.‎ 从而an=n,bn=2n.‎ 所以Tn=+++…++,‎ ‎2Tn=+++…+.‎ 因此,2Tn-Tn=1+++…+- ‎=2-- ‎=.‎ 所以Tn=.‎ ‎1.(2016·北京)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.‎ 解 (1)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,‎ 由得 ‎∴{bn}的通项公式bn=b1qn-1=3n-1,‎ 又a1=b1=1,a14=b4=34-1=27,‎ ‎∴1+(14-1)d=27,解得d=2.‎ ‎∴{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1(n=1,2,3,…).‎ ‎(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.‎ ‎∵cn=an+bn=2n-1+3n-1,‎ ‎∴Sn=c1+c2+c3+…+cn ‎=2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+2n-1+3n-1=2(1+2+…+n)-n+ ‎=2×-n+ ‎=n2+.‎ 即数列{cn}的前n项和为n2+.‎ ‎2.(2016·全国甲卷)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.‎ 解 (1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,‎ 由题意有解得 所以{an}的通项公式为an=.‎ ‎(2)由(1)知,bn=.‎ 当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;‎ 当n=4,5时,2≤<3,bn=2;‎ 当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;‎ 当n=9,10时,4≤<5,bn=4.‎ 所以数列{bn}的前10项和为 ‎1×3+2×2+3×3+4×2=24.‎ ‎3.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3;‎ ‎(2)求证:数列{an+(-1)n}为等比数列,并求出{an}的通项公式.‎ ‎(1)解 在Sn=2an+(-1)n(n∈N*)中分别令n=1,2,3,‎ 得 解得 ‎(2)证明 由Sn=2an+(-1)n(n∈N*),得 Sn-1=2an-1+(-1)n-1(n≥2),两式相减,得 an=2an-1-2(-1)n(n≥2),‎ an=2an-1-(-1)n-(-1)n ‎=2an-1+(-1)n-1-(-1)n(n≥2),‎ ‎∴an+(-1)n=2[an-1+(-1)n-1](n≥2).‎ 故数列{an+(-1)n}是以a1-=为首项,2为公比的等比数列.‎ ‎∴an+(-1)n=×2n-1,‎ an=×2n-1-×(-1)n=-(-1)n.‎ ‎4.已知正项数列{an}中,a1=1,点(,an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上,数列{bn}的前n项和Sn=2-bn.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=,求{cn}的前n项和Tn.‎ 解 (1)∵点(,an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上,‎ ‎∴an+1=an+1,∴数列{an}是公差为1的等差数列.‎ ‎∵a1=1,∴an=1+(n-1)×1=n,‎ ‎∵Sn=2-bn,∴Sn+1=2-bn+1,‎ 两式相减,得bn+1=-bn+1+bn,即=,‎ 由S1=2-b1,即b1=2-b1,得b1=1.‎ ‎∴数列{bn}是首项为1,公比为的等比数列,‎ ‎∴bn=()n-1.‎ ‎(2)log2bn+1=log2()n=-n,‎ ‎∴cn==-,‎ ‎∴Tn=c1+c2+…+cn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-=.‎ ‎5.在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn;‎ ‎(3)是否存在k∈N*,使得++…+0,∴a3+a5=5,‎ 又a3与a5的等比中项为2,‎ ‎∴a3a5=4,而q∈(0,1),‎ ‎∴a3>a5,∴a3=4,a5=1,∴q=,a1=16,‎ ‎∴an=16×()n-1=25-n.‎ ‎(2)∵bn=log2an=5-n,∴bn+1-bn=-1,‎ b1=log2a1=log216=log224=4,‎ ‎∴{bn}是以b1=4为首项,-1为公差的等差数列,‎ ‎∴Sn=.‎ ‎(3)由(2)知Sn=,∴=.‎ 当n≤8时,>0;当n=9时,=0;‎ 当n>9时,<0.‎ ‎∴当n=8或n=9时,+++…+=18最大.‎ 故存在k∈N*,使得++…+
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