高考数学专题复习练习选修4-1 第2讲 直线与圆的位置关系

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高考数学专题复习练习选修4-1 第2讲 直线与圆的位置关系

第2讲 直线与圆的位置关系 一、填空题 ‎1.如图,在圆内接四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=90°,AB=2,CD=1,则BC=________.‎ 解析 延长BC交AD的延长线于P,‎ ‎∵∠B=90°,∠A=60°,‎ ‎∴∠P=30°,∠CDP=∠B=90°.‎ 在Rt△CDP中,CD=1,‎ ‎∴PC=2.‎ 在Rt△ABP中,‎ BP=AB=2,‎ ‎∴BC=BP-PC=2-2.‎ 答案 2-2‎ ‎2.如图,过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB=________.‎ 解析 由弦切角定理得∠PAB=∠ACB,又因为∠BAC=∠APB,所以△PAB∽△ACB,可得=,将PB=7,BC=5代入得AB=.‎ 答案 ‎3. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,⊙O过A、B两点且与BC相切于点B,与AC交于点D,连接BD,若BC=-1,则AC=________.‎ 解析 由题易知,∠C=∠ABC=72°,∠A=∠DBC=36°,所以△BCD∽△ACB,‎ 又易知BD=AD=BC,所以BC2=CD·AC=(AC-BC)·AC,解得AC=2.‎ 答案 2‎ ‎4. 如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为‎3 cm,‎4 cm,以AC为直径的圆与AB交于D,则=________.‎ 解析 ∵∠C=90°,AC为圆的直径,‎ ‎∴BC为圆的切线,AB为圆的割线,‎ ‎∴BC2=BD·AB,即16=BD·5,解得BD=,‎ ‎∴DA=BA-BD=5-=,∴=.‎ 答案  ‎5. 如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若=,=,则的值为________.‎ 解析 ∵∠P=∠P,∠PCB=∠PAD,‎ ‎∴△PCB∽△PAD,‎ ‎∴==,‎ ‎∵=,=,∴=.‎ 答案  ‎6. 如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=________.‎ 解析 由题意知,AB=6,AE=1,‎ ‎∴BE=5.∴CE·DE=DE2=AE·BE=5.在Rt△DEB中,∵EF⊥DB,∴由射影定理得DF·DB=DE2=5.‎ 答案 5‎ ‎7.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BOD=110°,则∠BCD=______度.‎ 解析:∵∠BOD=110°,‎ ‎∠BAD=∠BOD,‎ ‎∴∠BAD=55°.‎ ‎∵四边形ABCD内接于⊙O,‎ ‎∴∠BAD+∠BCD=180°,‎ ‎∴∠BCD=125°.[来源:Z*xx*k.Com]‎ 答案:125‎ ‎8. 如图,⊙O和⊙O′相交于A、B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC=2,BD=4,则AB的长为________.‎ 解析 ∵AC、AD分别是两圆的切线,‎ ‎∴∠C=∠2,∠1=∠D,‎ ‎∴△ACB∽△DAB.‎ ‎∴=,‎ ‎∴AB2=BC·BD=2×4=8.‎ ‎∴AB==2(舍去负值).‎ 答案 2 二、解答题 ‎9.如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,‎ 证明:(1)CD=BC;‎ ‎(2)△BCD∽△GBD.‎ 证明 (1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连结AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF.‎ 因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.‎ ‎(2)因为FG∥BC,故GB=CF.‎ 由(1)可知BD=CF,所以GB=BD.所以∠BGD=∠BDG.‎ 由BC=CD知∠CBD=∠CDB.‎ 而∠DGB=∠EFC=∠DBC,‎ 故△BCD∽△GBD.‎ ‎10.如图,已知AB是半圆的直径,D是AB上的一点,CD⊥AB,CD交半圆于点E,CT是半圆的切线,T是切点,‎ 求证:BE2+CT2=BC2.‎ 证明:连接AE,AF,∵AB是直径,‎ ‎∴∠AEB=∠AFB=90°,‎ 又∠CDB=90°,∠ABF=∠DBC,‎ ‎∴△DBC∽△FBA,‎ ‎∴=,‎ 即AB·BD=BC·BF,‎ ‎∵∠AEB=90°,CD⊥AB,‎ ‎∴BE2=BD·AB(射影定理).‎ ‎∵CT是切线,CB是割线,‎ ‎∴CT2=CF·CB.‎ ‎∴BC2-CT2=BC2-CF·CB ‎=BC(BC-CF)=BC·BF,‎ ‎∴BE2=BC2-CT2,即BE2+CT2=BC2.‎
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