2020-2021学年高一数学上册课时同步练：函数的平均变化率

2020-2021学年高一数学上册课时同步练：函数的平均变化率

第三单元 函数 第 20 课 函数的平均变化率 一、基础巩固 1．已知函数 f(x)＝x2＋1，当 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 【答案】B 【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41，故选 B. 2．函数 y＝1 在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( ) A．0 B．1 C．3 D．Δx 【答案】A 【解析】Δy Δx＝1－1 Δx ＝0. 3．质点运动规律为 s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于( ) A．6＋Δt B．12＋Δt＋ 9 Δt C．12＋2Δt D．12 【答案】C 【解析】Δs Δt＝[23＋Δt2＋5]－2×32＋5 Δt ＝12＋2Δt. 4．如果函数 y＝ax＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为 3，则 a＝( ) A．－3 B．2 C．3 D．－2 【答案】C 【解析】根据平均变化率的定义，可知 Δy Δx＝2a＋b－a＋b 2－1 ＝a＝3，故选 C. 5．已知函数 f(x)的定义域为 A，如果对于定义域内某个区间 I 上的任意两个不同的自变量 x1，x2， 都有fx1－fx2 x1－x2 ＞0，则( ) A．f(x)在这个区间上为增函数 B．f(x)在这个区间上为减函数 C．f(x)在这个区间上的增减性不确定 D．f(x)在这个区间上为常数函数 【答案】A 【解析】①当 x1＞x2 时，x1－x2＞0，则 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)，所以 f(x)在区间 I 上是增 函数．当 x1＜x2 时，x1－x2＜0，则 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，所以 f(x)在区间 I 上是增函数．综 上可知 f(x)在区间 I 上是增函数，故选 A. 6．函数 y＝－x2＋x 在 x＝－1 附近的平均变化率为________． 【答案】3－Δx 【解析】Δy Δx＝－－1＋Δx2＋－1＋Δx＋－12－－1 Δx ＝3－Δx. 7．汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3] 上的平均速度分别为 v1 ， v2 ， v3 ，则三者的大小关系为________． 【答案】 v1 ＜ v2 ＜ v3 【解析】 v1 ＝st1－st0 t1－t0 ＝kOA， v2 ＝st2－st1 t2－t1 ＝kAB， v3 ＝st3－st2 t3－t2 ＝kBC，而由图像知 kOA ＜kAB＜kBC， ∴ v1 ＜ v2 ＜ v3 . 8．函数 f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均 变化率的值为________． 【答案】6x0＋3Δx 12.3 【解析】函数 f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为fx0＋Δx－fx0 x0＋Δx－x0 ＝[3x0＋Δx2＋2]－3x20＋2 Δx ＝6x0·Δx＋3Δx2 Δx ＝6x0＋3Δx. 当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 函数 f(x)＝3x2＋2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3. 9．判断函数 g(x)＝k x(k＜0，k 为常数)在(－∞，0)上的单调性． 【答案】增函数 【解析】设 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1＜x2，则 g(x1)－g(x2)＝k x1 －k x2 ＝kx2－x1 x1x2 ， Δy Δx＝gx1－gx2 x1－x2 ＝－ k x1x2 . ∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴Δy Δx＝－ k x1x2 ＞0， ∴g(x)＝k x(k＜0)在(－∞，0)上为增函数． 10．已知函数 f(x)＝2x－1 x＋1 ，x∈[3,5]． (1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明； (2)求该函数的最大值和最小值． 【答案】（1）增函数；（2）最大值5 4，最小值3 2 【解析】(1)函数 f(x)在[3,5]上是增函数． 证明：设任意 x1，x2 满足 3≤x1＜x2≤5，则 f(x1)－f(x2)＝2x1－1 x1＋1 －2x2－1 x2＋1 ＝2x1－1x2＋1－2x2－1x1＋1 x1＋1x2＋1 ＝ 3x1－x2 x1＋1x2＋1， 所以Δy Δx＝fx1－fx2 x1－x2 ＝ 3 x1＋1x2＋1. 因为 3≤x1＜x2≤5，所以 x1＋1＞0，x2＋1＞0， 所以Δy Δx＝ 3 x1＋1x2＋1＞0， 所以 f(x)＝2x－1 x＋1 在[3,5]上是增函数． (2)f(x)min＝f(3)＝2×3－1 3＋1 ＝5 4， f(x)max＝f(5)＝2×5－1 5＋1 ＝3 2. 二、拓展提升 11．若函数 f(x)＝－x2＋10 的图像上一点 3 2，31 4 及邻近一点 3 2＋Δx，31 4 ＋Δy ，则Δy Δx＝( ) A．3 B．－3 C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3 【答案】D 【解析】∵Δy＝f 3 2＋Δx －f 3 2 ＝－3Δx－(Δx)2， ∴Δy Δx＝－3Δx－Δx2 Δx ＝－3－Δx，故选 D. 12.函数 y＝x2 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率为 k1，在 x0－Δx 到 x0 之间的平均变化率为 k2，则 k1 与 k2 的大小关系为( ) A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．不确定 【答案】D 【解析】k1＝fx0＋Δx－fx0 Δx ＝2x0＋Δx，k2＝fx0－fx0－Δx Δx ＝2x0－Δx.因为 Δx 可大于零也可小 于零，所以 k1 与 k2 的大小关系不确定． 13．已知曲线 y＝1 x－1 上两点 A 2，－1 2 ，B2＋Δx，－1 2＋Δy，当 Δx＝1 时，割线 AB 的斜率为 ________． 【答案】－1 6 【解析】∵Δy＝   1 2＋Δx－1 － 1 2－1 ＝ 1 2＋Δx－1 2＝2－2＋Δx 22＋Δx ＝ －Δx 22＋Δx， ∴Δy Δx＝ －Δx 22＋Δx Δx ＝ －1 22＋Δx， 即 k＝Δy Δx＝－ 1 22＋Δx. ∴当 Δx＝1 时，k＝－ 1 2×2＋1＝－1 6. 14．如图是函数 y＝f(x)的图像，则函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________． 【答案】3 4 【解析】由函数 f(x)的图像知， f(x)＝   x＋3 2 ，－1≤x≤1， x＋1，1＜x≤3. 所以函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f2－f0 2－0 ＝ 3－3 2 2 ＝3 4. 15．已知函数 f(x)＝x2＋2x＋a x ，x∈[1，＋∞)． (1)当 a＝1 2时，求函数 f(x)的最小值； (2)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)＞0 恒成立，试求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）7 2 （2）(－3，＋∞) 【解析】(1)当 a＝1 2时，f(x)＝x＋ 1 2x＋2. 设 1≤x1＜x2，则 f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)· 1－ 1 2x1x2 ， ∴Δy Δx＝fx2－fx1 x2－x1 ＝2x1x2－1 2x1x2 . ∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2， ∴Δy Δx＝2x1x2－1 2x1x2 ＞0， ∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为 f(1)＝7 2. (2)在区间[1，＋∞)上 f(x)＞0 恒成立⇔x2＋2x＋a＞0 恒成立． 设 y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋ ∞)，则 函数 y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1 在区间[1，＋ ∞)上是增函数． 所以当 x＝1 时，y 取最小值，即 ymin＝3＋a， 于是当且仅当 ymin＝3＋a＞0 时，函数 f(x)＞0 恒成立， 故 a＞－3，实数 a 的取值范围为(－3，＋∞).