人教版高中数学选修2-3练习：第二章2-2-2-2-3独立重复试验与二项分布word版含解析

人教版高中数学选修2-3练习：第二章2-2-2-2-3独立重复试验与二项分布word版含解析

第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.3 独立重复试验与二项分布 A 级 基础巩固 一、选择题 1．若 X～B(10，0.8)，则 P(X＝8)等于( ) A．C810×0.88×0.22 B．C810×0.82×0.28 C．0.88×0.22 D．0.82×0.28 解析：因为 X～B(10，0.8)，所以 P(X＝k)＝Ck100.8k(1－0.8)10－k， 所以 P(X＝8)＝C810×0.88×0.22. 答案：A 2．某电子管正品率为3 4 ，次品率为1 4 ，现对该批电子管进行测试， 设第ξ次首次测到正品，则 P(ξ＝3)＝( ) A．C23 1 4 2×3 4 B．C23 3 4 2×1 4 C. 1 4 2×3 4 D. 3 4 2×1 4 解析：前两次测到的都是次品，第三次测到的是正品， 所以 P(ξ＝3)＝1 4 ×1 4 ×3 4 ＝ 1 4 2 ×3 4. 答案：C 3．在某次试验中，事件 A 出现的概率为 p，则在 n 次独立重复试 验中 — A 出现 k 次的概率为( ) A．1－pk B．(1－p)kpn－k C．1－(1－p)k D．Ckn(1－p)kpn－k 解析： — A 出现 1 次的概率为 1－p，由二项分布概率公式可得 — A 出 现 k 次的概率为 Ckn(1－p)kpn－k. 答案：D 4．(2015·课标全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次 才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是 否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 C230.62 ×0.4＋0.63＝0.648. 答案：A 5．一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取 一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了ξ 次球，则 P(ξ＝12)等于( ) A．C912 3 8 10 5 8 2 B．C911 3 8 10 5 8 2 C．C911 5 8 10 3 8 2 D．C911 3 8 9 5 8 2 解析：当ξ＝12 时，表示前 11 次中取到 9 次红球，第 12 次取到红 球，所以 P(ξ＝12)＝C911 3 8 9 5 8 23 8. 答案：B 二、填空题 6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________． ①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子 n 次中出现点数是 3 的倍数的 次数； ②某射手击中目标的概率为 0.9，从开始射击到击中目标所需的射 击次数ξ； ③有一批产品共有 N 件，其中 M 件为次品，采用有放回抽取方法， ξ表示 n 次抽取中出现次品的件数(M＜N)； ④有一批产品共有 N 件，其中 M 件为次品，采用不放回抽取方法， ξ表示 n 次抽取中出现次品的件数． 解析：对于①，设事件 A 为“抛掷一枚骰子出现的点数是 3 的倍 数”，P(A)＝1 3.而在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生了 k 次(k＝0， 1，2，…，n)的概率 P(ξ＝k)＝Ckn 1 3 k 2 3 n－k ，符合二项分布的定义，即 有ξ～B n，1 3 .对于②，ξ的取值是 1，2，3，…，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k ＝1，2，3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项 分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽 取，显然④中 n 次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有 ξ～B n，M N .故应填①③. 答案：①③ 7．设随机变量 X～B(2，p)，随机变量 Y～B(3，p)，若 P(X≥1) ＝5 9 ，则 P(Y≥1)＝________． 解析：因为 X～B(2，p)，所以 P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C02(1－ p)2＝5 9 ，解得 p＝1 3.又 Y～B(3，p)，所以 P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C03(1 －p)3＝19 27. 答案：19 27 8．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸 取一个球，定义数列{an}：an＝ －1，第 n 次摸取红球， 1，第 n 次摸取白球， 如果 Sn 为数列 {an}的前 n 项和，那么 S5＝3 的概率为________． 解析：由题意知有放回地摸球为独立重复试验，且试验次数为 5， 这 5 次中有 1 次摸得红球．每次摸取红球的概率为2 3 ，所以 S5＝3 时， 概率为 C15× 2 3 1 1 3 4 ＝ 10 243. 答案： 10 243 三、解答题 9．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 棵．设甲、乙 两种大树移栽的成活率分别为5 6 和4 5 ，且各棵大树是否成活互不影响， 求移栽的 4 棵大树中． (1)至少有 1 棵成活的概率； (2)两种大树各成活 1 棵的概率． 解：设 Ak 表示第 k 棵甲种大树成活，k＝1，2，Bl 表示第 l 棵乙种 大树成活，l＝1，2， 则 A1，A2，B1，B2 相互独立，且 P(A1)＝P(A2)＝5 6 ，P(B1)＝P(B2) ＝4 5. (2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为 P＝ C12 5 6 1 6 ·C12 4 5 1 5 ＝10 36 × 8 25 ＝ 80 900 ＝ 4 45. 10. 一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有 6 个交通 岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 3. 设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求 X 的分布列． 解：依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红 灯的概率都是1 3 ，且每次试验结果都是相互独立的，所以 X～B 6，1 3 . 故 P(X＝k)＝Ck6 1 3 k 1－1 3 6－k ＝Ck6 1 3 k 2 3 6－k ，k＝0，1，2，…，6. 因此所求 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 6 P 64 729 64 243 80 243 160 729 20 243 4 243 1 729 B 级 能力提升 1．在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大 于其恰好发生 2 次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取 值范围是( ) A．0.4，1) B．(0，0.4] C．0.6，1) D．(0，0.6] 解析：由条件知 P(ξ＝1)≤P(ξ＝2)， 所以 C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，2(1－p)≤3p， 所以 p≥0.4. 又 0≤p＜1，所以 0.4≤p＜1. 答案：A 2．在一次数学考试中，第 14 题和第 15 题为选做题．规定每位考 生必须且只需在其中选做一题．设 4 名考生选做这两题的可能性均为1 2. 其中甲、乙 2 名学生选做同一道题的概率是________． 解析：设事件 A 表示“甲选做第 14 题”，事件 B 表示“乙选做 第 14 题”，则甲、乙 2 名学生选做同一道题的事件为“AB＋ — A — B ”， 且事件 A，B 相互独立． 所以 P(AB＋ — AB )＝P(A)P(B)＋P( — A )P( — B )＝1 2 ×1 2 ＋ 1－1 2 1－1 2 ＝ 1 2. 答案：1 2 3．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利， 比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是1 2 外，其余每局比赛甲队获 胜的概率都是2 3.假设各局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以 3∶0，3∶1，3∶2 胜利的概率； (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1，则胜利方得 3 分、对方得 0 分； 若比赛结果为 3∶2，则胜利方得 2 分、对方得 1 分．求乙队得分 X 的 分布列． 解：(1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1，“甲队以 3∶1 胜利” 为事件 A2，“甲队以 3∶2 胜利”为事件 A3. 由题意，各局比赛结果相互独立， 故 P(A1)＝ 2 3 3 ＝ 8 27 ， P(A2)＝C23 2 3 2 1－2 3 ×2 3 ＝ 8 27 ， P(A3)＝C24 2 3 2 1－2 3 2 ×1 2 ＝ 4 27. 所以，甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为 8 27. 以 3∶2 胜利的概率为 4 27. (2)设“乙队以 3∶2 胜利”为事件 A4， 由题意，各局比赛结果相互独立，所以 P(A4)＝C24 1－2 3 2 × 2 3 2 × 1－2 3 ＝ 4 27. 由题意，随机变量 X 的所有可能的取值为 0，1，2，3. 根据事件的互斥性得 P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝16 27 ； P(X＝1)＝P(A3)＝ 4 27 ； P(X＝2)＝P(A4)＝ 4 27 ； P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝ 3 27. 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 16 27 4 27 4 27 3 27