福建省福州市八县一中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

福建省福州市八县一中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年第一学期八县（市、区）期中联考 高中二年数学科试卷 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）‎ ‎1.已知命题，使得，则为（ ）‎ A. ，总有 B. ，总有 C. ,使得 D. ，使得 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．‎ ‎【详解】命题是特称命题，则命题的否定是总有成立,‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．属于基础题 ‎2.已知中心在原点的等轴双曲线，右顶点为，则双曲线的焦距等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等轴双曲线的定义,右顶点以及双曲线中的关系式,计算可求解.‎ ‎【详解】因为双曲线为等轴双曲线,所以,‎ 因为右顶点为,所以,‎ 所以焦距.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了等轴双曲线的定义,双曲线的几何性质,属于基础题.‎ ‎3.不等式的一个必要不充分条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式得,根据充分,必要条件的概念分析可求解.‎ ‎【详解】由不等式得,解得,‎ 因为=,所以选项为充要条件,‎ 因为Ü,所以选项为充分不必要条件,‎ 因为Ú,且Ú,所以选项是既不充分也不必要条件,‎ 因为Ü,所以选项是必要不充分条件.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了必要不充分条件,属于基础题.‎ ‎4.下列命题中正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”；‎ B. 命题“若平面向量共线，则方向相同”的逆否命题为假命题；‎ C. 命题“若或，则”是真命题；‎ D. 命题“若，则中至少有一个大于等于”的逆命题是真命题.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据写否命题时,既要否定条件,又要否定结论可知,不正确;‎ 根据原命题为假命题且逆否命题与原命题同真假可知,正确;‎ 根据逆否命题为假且原命题与逆否命题同真假可知,不正确;‎ 根据否命题为假命题且逆命题与否命题同真假可知,,不正确.‎ ‎【详解】对于,命题“若，则”的否命题为“若，则”,故不正确;‎ 对于,因为时,满足向量共线,但是不能说方向相同,所以命题“若平面向量共线，则方向相同”是假命题,所以其逆否命题也是假命题,故正确;‎ 对于,因为命题“若或，则”的逆否命题”若,则且”是假命题,所以原命题也是假命题,故不正确;‎ 对于,因为命题“若，则中至少有一个大于等于”的否命题”若,则都小于2”是假命题,所以逆命题也是假命题,故不正确.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了四种命题及其真假的判断,属于基础题.‎ ‎5.已知椭圆的中心在原点，长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的几何性质得到后,讨论焦点的位置可得椭圆方程.‎ ‎【详解】设椭圆长半轴长,短半轴长,半焦距分别为, ‎ 因为椭圆的长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分,‎ 所以,‎ 所以,所以,‎ 当焦点在轴上时,椭圆的标准方程为,‎ 当焦点在轴上时,椭圆标准方程为,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和几何性质,属于基础题.‎ ‎6.如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且.用表示向量的结果是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法则可得.‎ ‎【详解】如图所示:‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法,属于基础题.‎ ‎7.空间四边形中若则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积计算可得.‎ ‎【详解】因为 ‎ ‎,‎ 因为,,所以,‎ 所以,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积,属于基础题.‎ ‎8.已知点为抛物线上的动点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义,得=,‎ 再利用两点之间连线段最短可得.‎ ‎【详解】如图所示:‎ 设抛物线的焦点为,则,‎ 因为,‎ 当且仅当三点共线,且在线段上时,取得等号.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义,属于基础题.‎ ‎9.如图，在正方体中，、分别为、的中点，为上一动点，记为异面直线与所成的角，则的集合是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分别以边所在直线为轴,轴,轴，建立如图所示空间直角坐标系：‎ 设正方体边长为1,，并能确定以下几点坐标:‎ ‎; ∴ ∴ ∴‎ ‎∴‎ 故选A ‎10.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，点是两曲线的一个交点，且垂直轴，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别在双曲线和抛物线中求出的坐标为和,由此列式可求得.‎ ‎【详解】不妨设在第一象限内,‎ 则在双曲线中,,,‎ 在抛物线中,,‎ 所以,且,‎ 所以,所以,所以,‎ 所以,‎ 所以或(舍).‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的几何性质,属于基础题.‎ ‎11.已知椭圆与双曲线有公共焦点且两条曲线在第一象限的交点为点，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程可知焦点在轴上,所以,再联立椭圆与双曲线方程解得点的纵坐标的绝对值,然后利用面积公式可求得.‎ ‎【详解】因为双曲线的焦点在轴上,‎ 所以椭圆的焦点在轴上,‎ 所以,即,‎ 联立 ,所以,所以,‎ 所以,‎ 所以 ,‎ 所以,即点的纵坐标的绝对值为, ‎ 又,‎ 所以的面积为.‎ 故选:C 点睛】本题考查了椭圆和双曲线共焦点问题,三角形面积公式,属于中档题.‎ ‎12.已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且,则椭圆离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,所以,根据定比分点坐标公式可得弦的中点坐标,再根据弦的中点在椭圆内列不等式可解得.‎ ‎【详解】设,‎ 因为,,所以,‎ 因为,所以,‎ 由定比分点坐标公式得,,化简得,‎ 所以弦的中点坐标为,‎ 根据弦的中点在椭圆内可得,‎ 所以,所以,又离心率,所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,定比分点的坐标公式,点与椭圆的位置关系,椭圆的离心率,属于中档题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．）‎ ‎13.命题“”是真命题，则实数的取值范围为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意列式或且,可解得.‎ ‎【详解】因为命题“”是真命题,‎ 所以对任意实数都成立,‎ 所以或且,‎ 所以或,‎ 综上所述:实数的取值范围是.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立,分类讨论思想,属于基础题.‎ ‎14.双曲线的一条弦恰被点平分，则这条弦所在的直线方程是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设弦为,,,将的坐标代入椭圆方程作差,可求出弦的斜率,再由点斜式可解得.‎ ‎【详解】设弦为,,,‎ 所以,,‎ 所以,‎ 所以,‎ 又弦的中点为,‎ 所以,,‎ 所以,‎ 由点斜式得弦所在直线的方程为:,‎ 即.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了点差法求弦的斜率,直线方程的点斜式,属于基础题.‎ ‎15.已知A、B是过抛物线焦点F的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，满足，则的值为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得倾斜角的三角函数值，然后结合面积公式和三角函数的定义可得p的值.‎ ‎【详解】设焦点弦的倾斜角为，‎ 由抛物线焦点弦的焦半径公式可知：，，‎ 故：，解得：，故，‎ 设原点到直线AB的距离为h，则，‎ 由三角函数的定义可得：，即，解得：.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径公式，抛物线中的三角形问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16.如图所示，在直四棱柱中，底面为菱形，且，为侧棱的中点，分别是线段和线段上的动点(含端点)，且满足，当运动时，下列结论中正确的序号是_____________.‎ ‎①在△内总存在与平面平行的线段；‎ ‎②平面⊥平面；‎ ‎③三棱锥的体积为定值；‎ ‎④△可能为直角三角形.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①,取的中点,则可证就是满足条件的线段;‎ 对于②,可证与平面垂直,再由平面与平面垂直的判定定理可证;‎ 对于③,可用等体积法求得三棱锥的体积为定值;‎ 对于④, 设,,可求得三角形三边长,再用余弦定理判断三角形不可能是直角三角形.‎ ‎【详解】如图所示:‎ 取的中点,的中点,的中点,连,,‎ 对于①,根据梯形中位线有,又,所以,‎ 所以四边形为平行四边形,所以,‎ 又平面,平面,‎ 所以平面,故①正确;‎ 对于②,在直四棱柱中，底面为菱形，,所以,又直四棱柱的侧面与底面垂直,所以平面,而,所以平面,因为平面,所以平面⊥平面,故②正确,‎ 对于③,设,则为定值,故③正确;‎ 对于④, 设,,则,,,‎ 因为,所以△为等腰三角形,所以不可能为直角,‎ 又 ‎ ‎,‎ 因为,所以或时, 取得最小值,最小值为,‎ 所以,‎ 所以>0,所以恒为锐角,不可能为直角,故④不正确.‎ 故答案为:①②③‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定定理,面面垂直的判定定理,等体积法求体积,余弦定理判断三角形形状,属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.若命题实数满足，命题实数满足.‎ ‎（1）当且为真命题时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 为真命题时,与都是真命题,用和或取公共部分即可得到;‎ ‎(2)利用真子集关系列式即可得到.‎ ‎【详解】解：（1）由，得,‎ 当时，由，得或,‎ ‎∴或,‎ 为真命题，真且真,‎ ‎,‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎（2）因为，由,得,‎ 设,‎ 是的必要不充分条件，,‎ ‎,‎ 又∴,‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,命题的真假,必要不充分条件,属于中档题.‎ ‎18.（1）已知中心在原点的双曲线的焦点坐标为，且渐近线方程为，求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）在圆上任取一点,过点作轴的垂线段，为垂足，当点在该圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据,,,联立解方程组可解得,,从而可得;‎ ‎(2)设出的坐标为,根据中点公式可得的坐标,再将的坐标代入椭圆方程可得.‎ ‎【详解】解：（1）依题可知双曲线的焦点在轴上，‎ 则设其方程为：，且①‎ 双曲线的渐近线方程为,即②‎ 又③，由①②③得 得双曲线方程为：‎ ‎（2）设轨迹上任一点的坐标为，点的坐标为，‎ 则依题意可知点坐标为 的中点为，即 点圆上运动，,所以,‎ ‎，‎ 经检验所求方程符合题意,‎ 点的轨迹方程为．‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,代入法求曲线的轨迹方程,属于基础题.‎ ‎19.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. ‎ ‎(1)求证：平面； ‎ ‎(2)求二面角的大小.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．‎ 试题解析：（I）记与的交点为，连接，∵、分别是 的中点，是矩形 ‎∴四边形是平行四边形，∴∥，∵平面 平面，∴∥平面6分 ‎（Ⅱ）在平面中过作于，连接，‎ ‎∵‎ ‎∴平面，∴是在平面上的射影，‎ 由三垂线定理点得 ‎∴是二面角的平面角，‎ 在中，，‎ ‎∴‎ 二面角的大小为8分 另解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，‎ ‎，设与交于点，则 ‎（I）易得：，‎ 则∥，由面，故∥面；‎ ‎（Ⅱ）取面的一个法向量为，面的一个法向量为，‎ 则，‎ 故二面角的大小为．‎ 考点：证明线面平行及求二面角 ‎20.已知抛物线的方程为，上一点到焦点的距离为.‎ ‎（1）求抛物线的方程及点的坐标；‎ ‎（2）过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点，设,,求证:是定值..‎ ‎【答案】（1），（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用抛物线的定义列式可解得,可得抛物线,令,可得的值;‎ ‎(2) 设直线的方程为,并代入抛物线,由韦达定理以及向量关系可解得.‎ ‎【详解】解：（1）依题意得抛物线的准线为，‎ 抛物线上一点到焦点的距离为，由抛物线的定义可得，，‎ 抛物线的方程为，‎ ‎，.‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时不符合题意，故直线的斜率必存在且不为.‎ 直线过点,设直线的方程为，‎ 当时,，点坐标，‎ 设,‎ 由,得，整理得,‎ ‎，,‎ ‎，,‎ ‎,，‎ 即同理可得 ‎,‎ 即是定值.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,韦达定理,向量的线性运算,属于中档题.‎ ‎21.如图所示，等腰梯形中,，，，为中点，与交于点，将沿折起，使点到达点的位置（平面）．‎ ‎（1）证明：平面⊥平面；‎ ‎（2）若，试判断线段上是否存在一点(不含端点),使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值;若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）存在点为的中点时，使直线与平面所成角的正弦值为，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用线面垂直的判定定理证平面POB,利用面面垂直的判定定理证平面POB⊥平面ABCE可得;‎ ‎(2)利用证明OP⊥OB,然后以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量可求得直线与平面所成角的正弦值,根据已知列等式可解得.‎ ‎【详解】解：（1）证明：连接,在等腰梯形ABCD中，，，‎ 为中点，四边形为菱形，⊥AE，‎ ‎，即,且平面平面，∴AE⊥平面POB 又AE⊂平面ABCE，平面POB⊥平面ABCE．‎ ‎（2）由（1）可知四边形为菱形，在等腰梯形ABCD中正三角形同理 ‎,,∴OP⊥OB，‎ 由（1）可知，以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 由题意得，各点坐标为，，，，,‎ ‎∴，设,‎ ‎,‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则，即,‎ 取，得，所以＝(0，1，),‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，即,‎ 化简得：，解得,‎ 存在点为的中点时，使直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,平面与平面垂直的判定,线面角的向量求法,属于中档题.‎ ‎22.已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为.过椭圆上的动点作圆的两条切线分别交轴于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求线段长度的最大值，并求此时点的坐标．‎ ‎【答案】（1）（2）取得最大值，此时点P位置是椭圆的左顶点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据离心率为,椭圆截直线所得线段的长度为,列式可解得;‎ ‎(2)先求出点的横坐标的取值范围,再设出过点P的圆的切线方程为,根据圆心到直线的距离求出,可得,根据韦达定可得,再求出弦长,并利用单调性求出最大值即可.‎ ‎【详解】解：（1）∵椭圆的离心率为，‎ 所以,所以,又,‎ ‎∴，‎ 当时，，∴，‎ ‎∴椭圆的方程是．‎ ‎（2）设,由得,(舍去)，‎ 因为在椭圆上,过作椭圆的切线有两条,‎ 如图所示:‎ ‎∴．‎ 设过点P的圆的切线方程为，‎ ‎∵圆心到直线的距离为1，‎ ‎∴，化简得，‎ ‎∴．所以,‎ 设则，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵是椭圆上的点，∴，所以,‎ ‎∴，‎ 令,,‎ ‎∴在上单调递减，‎ 在内也是单调递减，‎ 所以时,取得最小值1,时,取得最大值,‎ 又,所以 ,‎ ‎∴，‎ 所以当时，取得最大值，‎ 此时点P位置是椭圆的左顶点．‎ ‎【点睛】本题考查了求椭圆标准方程,,点到直线距离,圆的切线方程,利用单调性求最大值,属于难题.‎ ‎ ‎