【数学】2019届一轮复习北师大版三角恒等变换学案
第20讲 三角恒等变换
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).
2017·全国卷Ⅱ，13
2017·山东卷，7
2016·全国卷Ⅰ，14
2016·全国卷Ⅲ，6
2016·浙江卷，11
三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值．可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查.
分值：5～12分
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝__sin_αcos_β±cos_αsin_β__.
cos(α±β)＝__cos_αcos_β∓sin_αsin_β__.
tan(α±β)＝____.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝__2sin_αcos_α__.
cos 2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α－1__＝__1－2sin2α__.
tan 2α＝____.
3．有关公式的逆用、变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
(2)cos2α＝____，sin2α＝____.
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.
(4)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，
asin α＋bcos α＝cos(α－φ).
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )
解析 (1)正确．对于任意的实数α，β，两角和与差的正弦、余弦公式都成立．
(2)正确．取β＝0，因为sin 0＝0，所以sin(α＋0)＝sin α＝sin α＋sin 0.
(3)错误．变形可以，但不是对任意角α，β都成立．α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z.
(4)正确．当α＝kπ(k∈Z)时，tan 2α＝2tan α.
2．已知cos x＝，则cos 2x＝( D )
A．－ B．
C．－ D．
解析 ∵cos x＝，∴cos 2x＝2cos2x－1＝.故选D．
3．sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是( C )
A． B．
C．－ D．－
解析 sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°
＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)
＝－cos(34°＋26°)＝－cos 60°＝－.
4．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是____.
解析 ∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－.又α∈，∴sin α＝，tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝.
5．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝____.
解析 ∵tan(20°＋40°)＝，
∴－tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°，
即tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.
一 三角函数的化简与求值
三角函数式化简与求值的常用方法
(1)善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．
(2)统一三角函数名称，利用诱导公式、切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一．
(3)分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等．
【例1】 (1)化简：(0<θ<π)；
(2)求值：sin 50°(1＋tan 10°)．
解析 (1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0，
∴＝＝2cos.
又(1＋sin θ＋cos θ)
＝
＝2cos＝－2coscos θ.
故原式＝＝－cos θ.
(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)
＝sin 50°·
＝sin 50°·＝
＝＝＝1.
二 三角函数的条件求值
解三角函数求值问题的一般步骤
(1)给值求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察已知条件与所求式子之间的联系(从函数名称及角入手)；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
(2)给值求角问题的一般步骤
①先求角的某一个三角函数值；
②确定角的范围；
③根据角的范围写出所求的角．
【例2】 (1)已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝____.
(2)已知tan α＝2.
①求tan的值；
②求的值．
解析 (1)∵α为锐角，∴sin α＝＝.
∵α，β∈，∴0<α＋β<π.
又∵sin(α＋β)
，∴cos(α＋β)＝－.
cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－×＋×＝＝.
(2)①tan＝＝＝－3.
②＝
＝＝＝1.
【例3】 (1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( C )
A． B．
C． D．或
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为__－__.
解析 (1)∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，
∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.
又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，∴0<α<.
又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
三 三角恒等变换与三角函数的综合问题
三角恒等变换的综合应用主要是将三角恒等变换与三角函数的性质相结合，通过变换，将复杂的函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究性质．在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题．
【例4】 已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．
解析 (1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin，
由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，所以sin＝±1，因此ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝k＋(k∈Z)．又因为0<ω<1，所以ω＝，
所以f(x)＝2sin.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由题意可得g(x)＝2sin，即g(x)＝2cos，
由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，
又α∈，故<α＋<，所以sin＝，
所以sin α＝sin＝sin·cos－cos·sin＝×－×＝.
1．计算sin 20°cos 70°－cos 160°sin 70°的值为( C )
A．0 B．－sin 50°
C．1 D．－1
解析 原式＝sin 20°cos 70°－cos(180°－20°)sin 70°＝sin 20°·cos 70°＋cos 20°sin 70°＝sin(20°＋70°)＝sin 90°＝1.
2．已知锐角α满足cos 2α＝cos， 则sin 2α＝( A )
A． B．－
C． D．－
解析 由cos 2α＝cos，得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α＋sin α)，由α为锐角知cos α＋sin α≠0，所以cos α－sin α＝，平方得1－sin 2α＝.所以sin 2α＝.
3．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ＝( C )
A． B．
C． D．
解析 因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝，
所以cos 2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝2＋2＝＋＝.
4．设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝__－__.
解析 因为tan＝，所以tan θ＝tan＝＝＝－，
即sin θ＝－cos θ，又因为sin2θ＋cos2θ＝1，
所以cos2θ＋cos2θ＝1，cos2θ＝，
因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，
sin θ＝－cos θ＝，sin θ＋cos θ＝－＋＝－.
易错点 不会正确拼凑角
错因分析：没有注意已知角和所求角之间的和、差、倍、半、互余、互补关系，从而不能正确拼凑出便于解题的角．
【例1】 已知cos＝，求cos－sin2的值．
解析 cos－sin2
＝cos－sin2
＝－cos－sin2
＝－－
＝－.
【跟踪训练1】 若tan＝，则tan α＝____.
解析 tan α＝tan＝＝＝.
课时达标 第20讲
[解密考纲]三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查．
一、选择题
1．已知sin 2α＝，则cos2＝( D )
A．－ B．－
C． D．
解析 ∵cos2＝＝，
∴cos2＝.
2．(2017·山东卷)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( C )
A． B．
C．π D．2π
解析 ∵y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为＝π.故选C．
3．已知α∈，tan＝，那么sin 2α＋cos 2α的值为( A )
A．－ B．
C．－ D．
解析 由tan＝，知＝，
∴tan 2α＝－.
∵2α∈，∴sin 2α＝，cos 2α＝－，
∴sin 2α＋cos 2α＝－.故选A．
4．已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin＝( A )
A． B．
C． D．
解析 由7sin α＝2cos 2α，得7sin α＝2(1－2sin2α)，
即4sin2α＋7sin α－2＝0，
解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝，
又由α为锐角，可得cos α＝，
∴sin＝sin α＋cos α＝.故选A．
5．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为( D )
A． B．－
C． D．－
解析 cos 2α＝sin＝sin
＝2sincos，代入原式，得
6sincos＝sin.
∵α∈，∴－α∈，∴sin<0，
∴cos＝，
∴sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－.故选D．
6．已知sin＋sin α＝，则sin的值是( D )
A．－ B．
C． D．－
解析 sin＋sin α＝⇒sincos α＋cossin α＋sin α＝⇒sin α＋cos α＝⇒sin α＋cos α＝，故sin＝.所以sin＝sin＝－sin＝－.
二、填空题
7．函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为____.
解析 依题意，得f(x)＝sin(x＋θ).因此函数f(x)的最大值是.
8.的值为__1__.
解析 原式＝
＝
＝＝＝＝1.
9．若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝____.
解析 由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
三、解答题
10．(2018·江西高三阶段性检测)已知cos(2 019π－θ)＝－，θ∈.
(1)求sin θ的值；
(2)求cos的值；
(3)求tan的值．
解析 (1)因为cos(2 019π－θ)＝－，所以－cos θ＝－，得cos θ＝.又θ∈，所以sin θ＝＝.
(2)cos＝cos＝cos θcos＋sin θsin＝×＋×＝.
(3)因为tan θ＝＝，
所以tan＝＝＝－.
11．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos的值．
解析 (1)sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.
(2)∵0<α<<β<π，
∴<β－<，<α＋β<，
∴sin>0，cos(α＋β)<0.
∵cos＝，sin(α＋β)＝，
∴sin＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×＝.
12．已知函数f(x)＝sin ωx＋mcos ωx(ω>0，m>0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和m的值；
(2)若f＝，θ∈，求f的值．
解析 (1)易知f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ为辅助角)，
∴f(x)min＝－＝－2，∴m＝.
由题意知函数f(x)的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
∴f＝2sin＝，∴sin＝.
∵θ∈，∴θ＋∈，
∴cos＝－＝－，
∴sin θ＝sin＝sin·cos－cos·sin＝，
∴f＝2sin＝2sin
＝2cos 2θ＝2(1－2sin2θ)＝2＝－.
