【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第4章第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用-学案

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【数学】2021届一轮复习北师大版(理)第4章第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用-学案

第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 ‎ [最新考纲] 1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数的图像,了解参数A,ω,φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.‎ ‎1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x≥0)表示一个简谐运动 振幅 周期 频率 相位 初相 A T= f== ωx+φ φ ‎2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示:‎ x ‎- ωx+φ ‎0‎ π ‎2π y=Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎-A ‎0‎ ‎3.由y=sin x的图像变换得到y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图像 ‎1.函数y=Asin(ωx+φ)+k图像平移的规律:“左加右减,上加下减”.‎ ‎2.由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)利用图像变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的单位长度一致.(  )‎ ‎(2)将y=3sin 2x的图像左移个单位后所得图像的解析式是y=3sin.(  )‎ ‎(3)y=sin的图像是由y=sin的图像向右平移个单位得到的.(  )‎ ‎(4)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√‎ 二、教材改编 ‎1.y=2sin的振幅、频率和初相分别为(  )‎ A.2,4π,  B.2,, C.2,,- D.2,4π,- C [由题意知A=2,f===,初相为-.]‎ ‎2.为了得到函数y=2sin的图像,可以将函数y=2sin 2x的图像(  )‎ A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 A [y=2sin=2sin 2.]‎ ‎3.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,则这段曲线的函数解析式为________.‎ y=10sin+20,x∈[6,14] [从题图中可以看出,从6~14时的是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期.‎ 所以A=×(30-10)=10,b=×(30+10)=20,‎ 又×=14-6,所以ω=.‎ 又×10+φ=2π+2kπ,k∈Z,取φ=,‎ 所以y=10sin+20,x∈[6,14].]‎ ‎4.某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况:‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 收购价格y(元/斤)‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________.‎ y=6-cosx [设y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0),由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=,所以ω=,所以y=sin+6.因为当x=1时,y=6,所以6=sin+6,结合表中数据得+φ=2kπ,k∈Z,可取φ=-,‎ 所以y=sin+6=6-cos x.]‎ 考点1 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及变换 ‎ (1)y=Asin(ωx+φ)的图像可用“五点法”‎ 作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.‎ ‎(2)由函数y=sin x的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)图像有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.‎ ‎ 已知函数y=2sin.‎ ‎(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图像;‎ ‎(2)[一题多解]说明y=2sin的图像可由y=sin x的图像经过怎样的变换而得到.‎ ‎[解] (1)描点画出图像,如图所示:‎ ‎(2)法一:把y=sin x的图像上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin的图像;‎ 再把y=sin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin的图像;‎ 最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图像.‎ 法二:将y=sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin 2x的图像;‎ 再将y=sin 2x的图像向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图像;‎ 再将y=sin的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即得到y=2sin的图像.‎ ‎ 三角函数图像变换中的3个注意点 ‎(1)变换前后,函数的名称要一致,若不一致,应先利用诱导公式转化为同名函数.‎ ‎(2)要弄清变换的方向,即变换的是哪个函数的图像,得到的是哪个函数的图像,切不可弄错方向.‎ ‎(3)要弄准变换量的大小,特别是平移变换中,函数y=Asin x到y=Asin(x+φ)的变换量是|φ|个单位,而函数y=Asin ωx到y=Asin(ωx+φ)时,变换量是个单位.‎ ‎ 1.要得到函数y=sin的图像,只需将函数y=cos 5x的图像(  )‎ A.向左平移个单位    B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 B [函数y=cos 5x=sin=sin 5,‎ y=sin=sin 5,‎ 设平移φ个单位,‎ 则+φ=-,‎ 解得φ=-,故把函数y=cos 5x的图像向右平移个单位,可得函数y=sin的图像.]‎ ‎2.若把函数y=sin的图像向左平移个单位长度,所得到的图像与函数y=cos ωx的图像重合,则ω的一个可能取值是(  )‎ A.2     B. ‎ C.     D. A [y=sin和函数y=cos ωx的图像重合,可得π-=+2kπ,k∈Z,则ω=6k+2,k∈Z.‎ ‎∴2是ω的一个可能值.]‎ ‎3.将函数f(x)=sin的图像向左平移φ(φ>0)个单位后,得到的图像关于直线x=对称,则φ的最小值为________.‎ π [把函数f(x)=sin的图像向左平移φ(φ>0)个单位后,‎ 可得y=sin=sin的图像,‎ ‎∵所得图像关于直线x=对称,∴4×+4φ+=+kπ(k∈Z),∴φ=-(k∈Z),‎ ‎∵φ>0,∴φmin=.]‎ 考点2 由图像确定y=Asin(ωx+φ)的解析式 ‎ 确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步骤 ‎(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.‎ ‎(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.‎ ‎(3)求φ,常用方法有:‎ ‎①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.‎ ‎②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=2π.‎ ‎ (1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图①所示,则f(x)=________.‎ ‎  ‎ 图①      图②‎ ‎(2)(2019·重庆六校联考)函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图像如图②所示,则f=________.‎ ‎(1)2sin (2)- [(1)由题图可知,A=2,T=2=π,所以ω=2,由五点作图法可知2×+φ=,所以φ=-,‎ 所以函数的解析式为y=2sin.‎ ‎(2)由函数的图像可得A=,×=-,可得ω=2,则2×+φ=π+2kπ(k∈Z),又0<φ<,所以φ=,故f(x)=sin,所以f=-.]‎ ‎ (1)一般情况下,ω的值是唯一确定的,但φ的值是不确 定的,如果求出的φ的值不在指定范围内,可以通过加减的整数倍达到目的.(2)在用“零点”求φ时,务必关注三角函数在该点附近的图像变化趋势.‎ ‎ 1.(2019·开封模拟)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)=sin2(ωx+φ)的图像如图所示(图像经过点(1,0)),那么ω的值为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ B [因为f(x)=sin2(ωx+φ)=-cos 2(ωx+φ),所以函数f(x)的最小正周期T==,由题图知<1,且>1,即<T<2,又ω为正整数,所以ω的值为2,故选B.]‎ ‎2.(2019·合肥模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像如图所示,则下列说法正确的是(  )‎ A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增 C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增 B [由题意得,A=2,T=4×=π,故ω==2.当x=时取得最大值2,所以2=2sin,且|φ|<,所以φ=,所以函数的解析式为f(x)=2sin.当x∈时,2x+∈,又由正弦函数y=sin x的图像与性质可知,函数y=sin x在上单调递增,故函数f(x)在上单调递增.当x∈时,2x+∈,由函数y=sin x的图像与性质知此区间上不单调,故选B.]‎ ‎3.已知函数f(x)=sin(πx+θ)的部分图像如图所示,且f(0)=-,则图中m的值为________.‎  [因为f(0)=sin θ=-,且|θ|<,所以θ=-,所以f(x)=sin,所以f(m)=sin=-,所以mπ-=2kπ+,k∈Z,所以m=2k+,k∈Z.又周期T=2,所以0<m<2,所以m=.]‎ 考点3 三角函数图像与性质的综合应用 ‎ 函数零点(方程根)问题 ‎ 已知关于x的方程2sin2x-sin 2x+m-1=0在 上有两个不同的实数根,则m的取值范围是________.‎ ‎(-2,-1) [方程2sin2x-sin 2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x ‎=2sin,x∈.‎ 设2x+=t,则t∈,‎ 所以题目条件可转化为=sin t,t∈有两个不同的实数根.‎ 所以y1=和y2=sin t,t∈的图像有两个不同交点,如图:‎ 由图像观察知,的取值范围是,‎ 故m的取值范围是(-2,-1).]‎ ‎[母题探究] (变条件)将本例中“有两个不同的实数根”改为“有实根”,则m的取值范围为________.‎ ‎[-2,1) [由例题可知,∈,‎ ‎∴-2≤m<1,即m的取值范围为.]‎ ‎ 本例在求解中,通过换元,令t=2x+,把原问题等价转化为函数y=与y=sin t,t∈图像交点个数问题,从而化繁为简,提高了解题效率.‎ ‎ 三角函数图像与性质的综合问题 ‎ 已知函数f(x)=sin(ω>0)的图像与x轴相邻两个交点的距离为.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)若将f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x ‎)的图像恰好经过点,求当m取得最小值时,g(x)在上的单调递增区间.‎ ‎[解] (1)函数f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距离为,‎ 得函数f(x)的最小正周期为T=2×=,得ω=1,‎ 故函数f(x)的解析式为f(x)=sin.‎ ‎(2)将f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)=sin=sin的图像,根据g(x)的图像恰好经过点,‎ 可得sin=0,即sin=0,‎ 所以‎2m-=kπ(k∈Z),m=+(k∈Z),‎ 因为m>0,所以当k=0时,m取得最小值,且最小值为.此时,g(x)=sin.‎ 因为x∈,所以2x+∈.‎ 当2x+∈,即x∈时,g(x)单调递增,‎ 当2x+∈,即x∈时,g(x)单调递增.‎ 综上,g(x)在区间上的单调递增区间是和.‎ ‎ 研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.‎ ‎ 1.(2019·天津高考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω ‎>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g=,则f=(  )‎ A.-2 B.- C. D.2‎ C [∵f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数, ∴φ=kπ,k∈Z,又|φ|<π,∴φ=0,∴f(x)=Asin ωx,则g(x)=Asin.由g(x)的最小正周期T=2π,得==1,∴ω=2.又g=Asin =A=,∴A=2,‎ ‎∴f(x)=2sin 2x,‎ ‎∴f=2sin =,故选C.]‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论:‎ ‎①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点;②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点;③f(x)在单调递增;④ω的取值范围是.‎ 其中所有正确结论的编号是(  )‎ A.①④ B.②③‎ C.①②③ D.①③④‎ D [如图,根据题意知,xA≤2π<xB,根据图像可知函数f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,所以①正确;但可能会有3个极小值点,所以②错误;根据xA≤2π<xB,有≤2π<,得≤ω<,所以④正确;当x∈时,<ωx+<+,因为≤ω<,所以+<<,所以函数f(x)在单调递增,所以③正确.‎ ‎]‎ 课外素养提升⑤ 逻辑推理与数学运算——三角函数中ω的确定方法 数学运算是解决数学问题的基本手段,通过运算可促进学生思维的发展;而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终,可交替使用,相辅相成.‎ 三角函数的周期T与ω的关系 ‎【例1】 为了使函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值为(  )‎ A.98π  B.π    ‎ C.π     D.100π B [由题意,至少出现50次最大值即至少需用49个周期,所以T=·≤1,所以ω≥π.]‎ ‎[评析] 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T=与所给区间的关系,从而建立不等关系.‎ 三角函数的单调性与ω的关系 ‎【例2】 若f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上是增函数,则ω的取值范围是________.‎  [法一:因为x∈(ω>0),‎ 所以ωx∈,‎ 因为f(x)=2sin ωx在上是增函数,‎ 所以故0<ω≤.‎ 法二:画出函数f(x)=2sin ωx(ω>0)的图像如图所示.‎ 要使f(x)在上是增函数,‎ 需(ω>0),‎ 即0<ω≤.‎ 法三:由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z)得 ‎-+≤x≤+(k∈Z),‎ 故f(x)的单调递增区间是(k∈Z),‎ 由题意⊆(k∈Z,ω>0),‎ 从而有即0<ω≤.]‎ ‎[评析] 根据正弦函数的单调递增区间,确定函数f(x)的单调递增区间,根据函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,建立不等式,即可求ω的取值范围.‎ ‎【例3】 (1)已知f(x)=sin ωx-cos ωx,若函数f(x)图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)‎ ‎(2)已知函数f(x)=2sin ωx在区间上的最小值为-2,则ω的取值范围是________.‎ ‎(1) (2) [(1)f(x)=sin ωx-cos ωx=sin,‎ 令ωx-=+kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z).‎ 当k=0时,≤π,即≤ω,‎ 当k=1时,+≥2π,即ω≤.‎ 综上,≤ω≤.‎ ‎(2)显然ω≠0,分两种情况:‎ 若ω>0,当x∈时,-ω≤ωx≤ω.‎ 因函数f(x)=2sin ωx在区间上的最小值为-2,所以-ω≤-,解得ω≥.‎ 若ω<0,当x∈时,ω≤ωx≤-ω,‎ 因函数f(x)=2sin ωx在区间上的最小值为-2,所以ω≤-,解得ω≤-2.‎ 综上所述,符合条件的实数ω≤-2或ω≥.]‎ ‎[评析] 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外,还必须知晓一个周期里函数最值的变化,以及何时取到最值,函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.‎
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