高中数学 必修4平面向量2.2 向量减法运算及其几何意义

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高中数学 必修4平面向量2.2 向量减法运算及其几何意义

1 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 学习目标 1.理解相反向量的含义,向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意 义.3.能熟练地进行向量的加、减运算. 知识点一 相反向量 思考 实数 a 的相反数为-a,向量 a 与-a 的关系应叫做什么? 答案 相反向量. 梳理 (1)定义:如果两个向量长度相等,而方向相反,那么称这两个向量是相反向量. (2)性质:①对于相反向量有:a+(-a)=(-a)+a=0. ②若 a,b 互为相反向量,则 a=-b,b=-a,a+b=0. ③零向量的相反向量仍是零向量. 知识点二 向量的减法 思考 根据向量减法的定义,已知 a,b 如图,如何作出向量 a,b 的差向量 a-b? 答案 (1)利用平行四边形法则. 如图,在平面内任取一点 O,作OA→=a,OB→=b,OC→=-b,以OA→,OC→为邻边作平行四边形 OAEC, 则OE→=a-b. (2)利用三角形法则. 如图,在平面内任取一点 O,作OA→=a, OB→=b,则BA→=a-b. 知识点三 |a|-|b|,|a±b|,|a|+|b|三者的关系 思考 在三角形中有两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,结合这一性质及向量加、 减法的几何意义,|a|-|b|,|a±b|,|a|+|b|三者关系是怎样的? 2 答案 它们之间的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 梳理 当向量 a,b 不共线时,作OA→=a,AB→=b,则 a+b=OB→,如图(1),根据三角形的三边 关系,则有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|. 当 a 与 b 共线且同向或 a,b 中至少有一个为零向量时,作法同上,如图(2),此时|a+b|= |a|+|b|.当 a 与 b 共线且反向或 a,b 中至少有一个为零向量时,不妨设|a|>|b|,作法同 上,如图(3),此时|a+b|=||a|-|b||. 故对于任意向量 a,b,总有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.① 因为|a-b|=|a+(-b)|, 所以||a|-|-b||≤|a-b|≤|a|+|-b|, 即||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.② 将①②两式结合起来即为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 1.相反向量就是方向相反的向量.( × ) 提示 相反向量的方向相反,大小相等;方向相反的向量只是方向相反,大小没有关系. 2.向量AB→与BA→是相反向量.( √ ) 提示 AB→与BA→大小相等、方向相反. 3.-AB→=BA→,-(-a)=a.( √ ) 提示 根据相反向量的定义可知其正确. 4.两个相等向量之差等于 0.( × ) 提示 两个相等向量之差等于 0. 类型一 向量减法的几何作图 例 1 如图,已知向量 a,b,c 不共线,求作向量 a+b-c. 考点 向量的减法运算及其应用 题点 求作差向量 3 解 方法一 如图①,在平面内任取一点 O,作OA→=a,AB→=b,则OB→=a+b,再作OC→=c,则 CB→=a+b-c. 方法二 如图②,在平面内任取一点 O,作OA→=a,AB→=b,则OB→=a+b,再作CB→=c,连接 OC,则OC→=a+b-c. 引申探究 若本例条件不变,则 a-b-c 如何作? 解 如图,在平面内任取一点 O,作OA→=a,OB→=b,则BA→=a-b.再作CA→=c,则BC→=a-b- c. 反思与感悟 求作两个向量的差向量时,当两个向量有共同始点,直接连接两个向量的终点, 并指向被减向量,就得到两个向量的差向量;若两个向量的始点不重合,先通过平移使它们 的始点重合,再作出差向量. 跟踪训练 1 如图所示,O 为△ABC 内一点,OA→=a,OB→=b,OC→=c.求作:b+c-a. 考点 向量的减法运算及其应用 题点 求作差向量 解 方法一 以OB→,OC→为邻边作▱ OBDC,连接 OD,AD, 则OD→=OB→+OC→=b+c, 4 AD→=OD→-OA→=b+c-a. 方法二 作CD→=OB→=b, 连接 AD,则AC→=OC→-OA→=c-a, AD→=AC→+CD→=c-a+b=b+c-a. 类型二 向量减法法则的应用 例 2 化简下列式子: (1)NQ→-PQ→-NM→-MP→; (2)(AB→-CD→)-(AC→-BD→). 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 解 (1)原式=NP→+MN→-MP→=NP→+PN→=NP→-NP→=0. (2)原式=AB→-CD→-AC→+BD→ =(AB→-AC→)+(DC→-DB→)=CB→+BC→=0. 反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相 同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点. 跟踪训练 2 化简:(1)(BA→-BC→)-(ED→-EC→); (2)(AC→+BO→+OA→)-(DC→-DO→-OB→). 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 解 (1)(BA→-BC→)-(ED→-EC→) =CA→-CD→=DA→. (2)(AC→+BO→+OA→)-(DC→-DO→-OB→) =AC→+BA→-DC→+(DO→+OB→) 5 =AC→+BA→-DC→+DB→ =BC→-DC→+DB→=BC→+CD→+DB→ =BC→+CB→=0. 类型三 向量减法几何意义的应用 例 3 已知|AB→|=6,|AD→|=9,求|AB→-AD→|的取值范围. 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 解 ∵||AB→|-|AD→||≤|AB→-AD→|≤|AB→|+|AD→|,且|AD→|=9,|AB→|=6,∴3≤|AB→-AD→|≤15. 当AD→与AB→同向时,|AB→-AD→|=3; 当AD→与AB→反向时,|AB→-AD→|=15. ∴|AB→-AD→|的取值范围为[3,15]. 反思与感悟 (1)如图所示,在平行四边形 ABCD 中,若AB→=a,AD→=b,则AC→=a+b,DB→=a -b. (2)在公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中,当 a 与 b 方向相反且|a|≥|b|时,|a|-|b| =|a+b|;当 a 与 b 方向相同时,|a+b|=|a|+|b|. (3)在公式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|中,当 a 与 b 方向相同,且|a|≥|b|时,|a|-|b| =|a-b|;当 a 与 b 方向相反时,|a-b|=|a|+|b|. 跟踪训练 3 在四边形 ABCD 中,设AB→=a,AD→=b,且AC→=a+b,|a+b|=|a-b|,则四边形 ABCD 的形状是( ) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案 B 解析 ∵AC→=a+b,∴四边形 ABCD 为平行四边形, 又∵DB→=a-b,|a+b|=|a-b|, ∴|AC→|=|DB→|.∴四边形 ABCD 为矩形. 6 1.如图所示,在▱ ABCD 中,AB→=a,AD→=b,则用 a,b 表示向量AC→和BD→分别是( ) A.a+b 和 a-b B.a+b 和 b-a C.a-b 和 b-a D.b-a 和 b+a 考点 向量减法的定义及其几何意义 题点 向量减法的定义及其几何意义 答案 B 解析 由向量的加法、减法法则,得 AC→=AB→+AD→=a+b, BD→=AD→-AB→=b-a. 故选 B. 2.OP→-QP→+PS→+SP→等于( ) A.QP→B.OQ→C.SP→D.SQ→ 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 B 3.下列等式成立的个数是( ) ①a+b=b+a;②a-b=b-a;③0-a=-a;④-(-a)=a;⑤a+(-a)=0. A.5B.4C.3D.2 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 B 解析 由向量加、减法的定义可知,①③④⑤正确. 4.如图,在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四边形,且AB→=a,AC→=b,AE→=c,试用 a,b,c 表示向量BD→,BC→,BE→,CD→及CE→. 7 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 ∵四边形 ACDE 是平行四边形, ∴CD→=AE→=c, BC→=AC→-AB→=b-a, BE→=AE→-AB→=c-a, CE→=AE→-AC→=c-b, ∴BD→=BC→+CD→=b-a+c. 1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-AB→=BA→就可以把减法转化 为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如 a-b=a+(-b). 2.在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接两向量的终点,箭头指向被减向 量”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆. 3.以平行四边形 ABCD 的两邻边 AB,AD 分别表示向量AB→=a,AD→=b,则两条对角线表示的 向量为AC→=a+b,BD→=b-a,DB→=a-b,这一结论在以后应用非常广泛,应该加强理解并掌 握. 一、选择题 1.化简PM→-PN→+MN→所得的结果是( ) A.MP→B.NP→C.0D.MN→ 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法表示向量 答案 C 解析 PM→-PN→+MN→=NM→+MN→=0. 8 2.在平行四边形 ABCD 中,AB→+CB→-DC→等于( ) A.BC→B.AC→C.DA→D.BD→ 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中的向量加、减法运算 答案 C 解析 在平行四边形 ABCD 中,AB→=DC→,CB→=DA→, 所以AB→+CB→-DC→=(AB→-DC→)+CB→=DA→. 3.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,|AB→-BC→|的值为( ) A.1B.2C. 3 2 D. 3 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 D 解析 如图,作菱形 ABCD, 则|AB→-BC→|=|AB→-AD→| =|DB→|= 3. 4.(2017·三门峡灵宝三中质检)下列四个式子中可以化简为AB→的是( ) ①AC→+CD→-BD→;②AC→-CB→;③OA→+OB→;④OB→-OA→. A.①④B.①②C.②③D.③④ 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 A 解析 因为AC→+CD→-BD→=AD→-BD→=AD→+DB→=AB→, 所以①正确,排除 C,D;因为OB→-OA→=AB→,所以④正确,排除 B,故选 A. 5.如图,D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则( ) 9 A.AD→+BE→+CF→=0 B.BD→-CF→+DF→=0 C.AD→+CE→-CF→=0 D.BD→-BE→-FC→=0 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中的向量加、减法运算 答案 A 解析 AD→+BE→+CF→=1 2 AB→+1 2 BC→+1 2 CA→=1 2 (AB→+BC→+CA→)=0. 6.若|AB→|=5,|AC→|=8,则|BC→|的取值范围是( ) A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) 考点 向量减法的定义及几何意义 题点 向量减法的三角不等式 答案 C 解析 ∵|BC→|=|AC→-AB→|且 ||AC→|-|AB→||≤|AC→-AB→|≤|A C→|+|AB→|, ∴3≤|AC→-AB→|≤13,∴3≤|BC→|≤13. 7.如图,在四边形 ABCD 中,设AB→=a,AD→=b,BC→=c,则DC→等于( ) A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 A 二、填空题 8.化简:(1)PB→+OP→-OB→=________;(2)OB→-OA→-OC→-CO→=________. 10 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 (1)0 (2)AB→ 解析 (1)PB→+OP→-OB→=PB→+BP→=0; (2)OB→-OA→-OC→-CO→=(OB→-OA→)-(OC→+CO→) =AB→-0=AB→. 9.已知OA→=a,OB→=b,若|OA→|=12,|OB→|=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=________. 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法运算求向量的模 答案 13 解析 ∵|OA→|=12,|OB→|=5,∠AOB=90°, ∴|OA→|2+|OB→|2=|AB→|2,∴|AB→|=13. ∵OA→=a,OB→=b, ∴a-b=OA→-OB→=BA→, ∴|a-b|=|BA→|=13. 10.如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC 与 BD 交于点 O,则BA→-BC→-OA→+OD→+DA→=________. 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中向量的加、减法运算 答案 CA→ 11.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,且|BC→|=4,|AB→+AC→|=|AB→-AC→|,则|AM→| =________. 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案 2 解析 以 AB,AC 为邻边作平行四边形 ACDB,由向量加减法几何意义可知,AD→=AB→+AC→,CB→= AB→-AC→,∵|AB→+AC→|=|AB→-AC→|,∴|AD→|=|CB→|,又|BC→|=4,M 是线段 BC 的中点,∴|AM→| 11 =1 2 |AD→|=1 2 |BC→|=2. 12.如图所示,已知正方形 ABCD 的边长为 1,AB→=a,BC→=b,AC→=c,则(1)|a+b+c|=________; (2)|a-b+c|=______. 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法运算求向量的模 答案 (1)2 2 (2)2 解析 (1)由已知得 a+b=AB→+BC→=AC→, ∵AC→=c,∴延长 AC 到 E, 使|CE→|=|AC→|. 则 a+b+c=AE→, 且|AE→|=2 2. ∴|a+b+c|=2 2. (2)作BF→=AC→,连接 CF, 则DB→+BF→=DF→, 而DB→=AB→-AD→=AB→-BC→=a-b, ∴a-b+c=DB→+BF→=DF→且|DF→|=2. ∴|a-b+c|=2. 13.如图所示,在正六边形 ABCDEF 中,与OA→-OC→+CD→相等的向量有________.(填序号) 12 ①CF→;②AD→;③DA→;④BE→;⑤CE→+BC→;⑥CA→-CD→;⑦AB→+AE→. 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中向量的加、减法运算 答案 ① 解析 ∵OA→-OC→+CD→=CA→+CD→=CF→, CE→+BC→=BC→+CE→=BE→≠CF→, CA→-CD→=DA→≠CF→,AB→+AE→=AD→≠CF→, ∴填①. 三、解答题 14.如图所示,已知在平行四边形 ABCD 中,AB→=a,AD→=b. (1)当 a,b 满足什么条件时,a+b 与 a-b 垂直; (2)当 a,b 满足什么条件时,|a+b|=|a-b|. 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 解 (1)若 a+b 与 a-b 垂直,即平行四边形的两条对角线互相垂直,则四边形 ABCD 为菱形, 所以 a,b 应该满足|a|=|b|. (2)|a+b|=|a-b|表示平行四边形的两条对角线长度相等,这样的平行四边形为矩形,故 a, b 应互相垂直.
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