高中数学必修1知识点及题型

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高中数学必修1知识点及题型

1.集合 知识点一 集合的概念 1.集合:一般地,把一些能够________________对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象________ 构成的集合(或集),通常用大写拉丁字母 A,B,C,…来表示. 2.元素:构成集合的____________叫做这个集合的元素,通常用小写拉丁字母 a,b,c,…来表示. 3.空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为 . 知识点二 集合与元素的关系 1.属于:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a________集合 A,记作 a________A. 2.不属于:如果 a 不是集合 A 中的元素,就说 a________集合 A,记作 a________A. 知识点三 集合的特性及分类 1.集合元素的特性 _______、________、________. 2.集合的分类:(1)有限集:含有_______元素的集合;(2)无限集:含有_______元素的集合. 3.常用数集及符号表示 名称 非负整数集(自然数集) 整数集 实数集 符号 N N*或 N+ Z Q R 知识点四 集合的表示方法 1.列举法:把集合的元素______________,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法 2.描述法:用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法. 知识点五 集合与集合的关系 1.子集与真子集 定义 符号语言 图形语言 (Venn 图) 子集 如果集合 A 中的________元素 都是集合 B 中的元素,我们就 说这两个集合有包含关系,称 集合 A 为集合 B 的子集 ________(或 ________) 真子集 如果集合 A⊆B,但存在元素 ________,且________,我们 称集合 A 是集合 B 的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定:空集是____________的子集,也就是说,对任意集合 A,都有________.(2)任何一个集合 A 都是 它本身的子集,即________.(3)如果 A⊆B,B⊆C,则________.(4)如果 A  B,B  C,则________. 3.集合相等 知识点 六 集合的运算 1.交集 2.并集 自然语言 符号语言 图形语言 由_________________ _________________组 成的集合,称为 A 与 B 的并集 A∪B=_______________ 3.交集与并集的性质 交集的运算性质 并集的运算性质 A∩B=________ A∪B=________ A∩A=________ A∪A=________ A∩∅ =________ A∪∅ =________ A⊆B⇔A∩B=________ A⊆B⇔A∪B=________ 定义 符号语言 图形图言 (Venn 图) 集合相等 如果集合 A 是集合 B 的子 集(A⊆B),且 ________________,此时, 集合 A 与集合 B 中的元素 是一样的,因此,集合 A 与 集合 B 相等 A=B 自然语言 符号语言 图形语言 由___________________ _____________________ 组成的集合,称为 A 与 B 的交集 A∩B= _________ 4.全集 在研究集合与集合之间的关系时,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________,那么就称这个集 合为全集,通常记作________. 5.补集 文字语言 对于一个集合 A,由全集 U 中__________的所有元素组成的集 合称为集合 A 相对于全集 U 的补集,记作________ 符号语言 ∁ UA=________________ 图形语言 典例精讲 题型一 * 判断能否构成集合 1.在“①高一数学中的难题;②所有的正三角形;③方程 x2-2=0 的实数解”中,能够构成集合的是 。 题型二 * 验证元素是否是集合的元素 1、已知集合  ZnZmnmxxA  ,,22 ,判断 3 是不是集合 A 的元素。 2、集合 A 是由形如  ZnZmnm  ,3 的数构成的,判断 32 1  是不是集合 A 中的元素. 题型三 ** 求集合 1.方程组 3x+y=2 2x-3y=27 的解集是( ) A. x=3 y=-7 B.{x,y|x=3 且 y=-7} C.{3,-7} D.{(x,y)|x=3 且 y=-7} 2.下列六种表示法:①{x=-1,y=2};②{(x,y)|x=-1,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)}; ⑥{(x,y)|x=-1 或 y=2}. 能表示方程组 2x+y=0, x-y+3=0 的解集的是( ) A.①②③④⑤⑥ B.②③④⑤ C.②⑤ D.②⑤⑥ 题型四 ** 利用集合中元素的性质求参数 1.已知集合 S={a,b,c}中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2.设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}= 0,b a ,b ,则 b-a=________. 3.已知 P={x|2<x<k,x∈N,k∈R},若集合 P 中恰有 3 个元素,则实数 k 的取值范围是________. 4.已知集合 A 是由 0,m,m2-3m+2 三个元素组成的集合,且 2∈A,则实数 m 的值为( ) A.2 B.3 C.0 或 3 D.0 或 2 或 3 题型五 ** 判断集合间的关系 1、设        ZkkxxM ,4 1 2 ,        ZkkxxN ,2 1 4 ,则 M 与 N 的关系正确的是( ) A. M=N B. NM   C. NM   D.以上都不对 2.判断下列集合间的关系: (1)A={x|x-3>2},B={x|2x-5≥0}; (2)A={x∈Z|-1≤x<3},B={x|x=|y|,y∈A}. 题型六 ** 求子集个数 1.已知集合 A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合 A 有且仅有 2 个子集,则 a 的取值构成的集合为________. 2.已知集合 A={1,2,3},写出集合 A 的所有子集,非空子集,真子集,非空真子集 题型七 ** 利用两个集合之间的关系求参数 1.已知集合 A={1,2,m3},B={1,m},B⊆A,则 m=________. 2.已知集合 A={1,2},B={x|ax-2=0},若 B⊆A,则 a 的值不可能是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 题型八 *** 集合间的基本运算 1.下面四个结论:①若 a∈(A∪B),则 a∈A;②若 a∈(A∩B),则 a∈(A∪B);③若 a∈A,且 a∈B, 则 a∈(A∩B);④若 A∪B=A,则 A∩B=B.其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知集合 M={x|-33},则 M∪N=( ) A.{x|x>-3} B.{x|-30},则 S∩T=( ) A.[2,3] B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞) 5.下列关系式中,正确的个数为( ) ①(M∩N)⊆N;②(M∩N)⊆(M∪N);③(M∪N)⊆N;④若 M⊆N,则 M∩N=M. A.4 B.3 C.2 D.1 6.(2016·唐山一中月考试题)已知全集 U={x|x≤4},集合 A={x|-2a} {x|x≤a} {x|xf(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数. 2.函数的单调性:若函数 f(x)在区间 D 上是增(减)函数,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调 性,区间 D 叫做 f(x)的单调区间. 3.单调性的常见结论:若函数 f(x),g(x)均为增(减)函数,则 f(x)+g(x)仍为增(减)函数;若函数 f(x)为 增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数;若函数 f(x)为增(减)函数,且 f(x)>0,则 1 fx 为减(增)函数. 知识点八 函数的最大值、最小值 最值 类别 最大值 最小值 条件 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1)对于任意的 x∈I,都有 __________ (2)存在 x0∈I,使得______________ (1)对于任意的 x∈I,都有________ (2)存在 x0∈I,使得________ 结论 M 是函数 y=f(x)的最大值 M 是函数 y=f(x)的最小值 性质:定义在闭区间上的单调函数,必有最大(小)值. 知识点九 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的概念 偶函数 奇函数 条件 对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 结论 函数 f(x)是偶函数 函数 f(x)是奇函数 2.性质 (1)偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称,奇函数在原点有定义,则 f(x)=0 (2)奇函数在对称的区间上单调性相同,偶函数在对称的区间上单调性相反. (3)在定义域的公共部分内,两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数;两个奇函数之和为奇函数;两 个偶函数的和、积与商为偶函数;一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数. 知识点十 函数的周期性 若存在非零常数 T,对定义域内任意 x,都有   ( )f x T f x  ,称这样的函数为周期函数,T 叫函数的一个周期。  如:若 ,则f x a f x   ( ) 典例精讲 题型一 *** 函数的定义域 1 函数 f(x)=ln(x-3)的定义域为( ) A.{x|x>-3} B.{x|x>0} C.{x|x>3} D.{x|x≥3} 2.函数 f(x)= 1-2x+ 1 x+3 的定义域为( ) A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1] 3.函数 2 3 4x xy x    的定义域为( ) A.[ 4,1] B.[ 4, 0) C.(0,1] D.[ 4, 0) (0,1]  4.已知函数 f(x)= 12  mxmx 的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是( ) A.00, f(x)=x2+x,求 f(x)解析式 3、设 )(xf 是奇函数, )(xg 是偶函数,并且 xxxgxf  2)()( ,求 )(xf 。 题型六 ** 函数的值域与最值 1、函数 2 2 3y x x   ,  4,1x 的值域为 . 2、求函数 5 1)(   x xxf  4,1x 的最大值和最小值。 3、求函数 324)( 1  xxxf  4,2x 的最大值和最小值。 题型七 *** 函数性质的考察 1、写出函数 )34(log)( 2 2 1  xxxf 的单调递减区间 2、设二次函数 f(x)=x2-(2a+1)x+3 (1)若函数 f(x)的单调增区间为 ,2 ,则实数 a 的值__________; (2)若函数 f(x)在区间 ,2 内是增函数,则实数 a 的范围__________。 3、定义在 )1,1( 上的奇函数 1 )( 2   nxx mxxf ,则常数 m ____, n _____ 4、已知函数 ( )f x 是 ( , )  上的偶函数,若对于 0x  ,都有 ( 2 ( )f x f x ) ,且当 [0,2)x 时, 2( ) log ( 1f x x  ),则 ( 2008) (2009)f f  的值为( ) A. 2 B. 1 C.1 D. 2 5、函数 2 2log 2 xy x   的图像 ( ) A.关于原点对称 B.关于主线 y x  对称 C .关于 y 轴对称 D.关于直线 y x 对称 6、函数   4 1 2 x xf x  的图象( ) A. 关于原点对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称 7、定义在 R 上的奇函数 )(xf ,满足 ( 4) ( )f x f x   ,且在区间[0,2]上是增函数,则 () A. ( 25) (11) (80)f f f   B. (80) (11) ( 25)f f f   C. (11) (80) ( 25)f f f   D. ( 25) (80) (11)f f f   8、已知偶函数 ( )f x 在区间0, ) 单调增加,则满足 (2 1)f x  < 1( )3f 的 x 取值范围( ) (A)( 1 3 , 2 3 ) B.[ 1 3 , 2 3 ) C.( 1 2 , 2 3 ) D.[ 1 2 , 2 3 ) 9、定义在 R 上的偶函数 ( )f x 满足:对任意的 1 2 1 2, [0, )( )x x x x   ,有 2 1 2 1 ( ) ( ) 0f x f x x x   .则 ( ) (A) (3) ( 2) (1)f f f   B. (1) ( 2) (3)f f f   C. ( 2) (1) (3)f f f   D. (3) (1) ( 2)f f f   10 、 已 知 函 数 ( )f x 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有 ( 1) (1 ) ( )xf x x f x   ,则 5( ( ))2f f 的值是 ( ) A.0 B. 1 2 C.1 D. 5 2 11、已知定义在 R 上的奇函数 )(xf ,满足 ( 4) ( )f x f x   ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间 8,8 上有四个不同的根 1 2 3 4, , ,x x x x ,则 1 2 3 4 _________.x x x x    12、已知函数 f(x)=1+ax2 x+b 的图象经过点(1,3),并且 g(x)=xf(x)是偶函数. (1)求函数中 a、b 的值; (2)判断函数 g(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明. 基本初等函数、方程的根与函数的零点 知识点一 指数函数 (1)根式的概念: (2)如果 , , , 1nx a a R x R n    ,且 n N ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. (3)分数指数幂的概念: (4)①正数的正分数指数幂的意义是: ( 0, , , m n mna a a m n N   且 1)n  .0 的正分数指数幂等于 0. (5)②正数的负分数指数幂的意义是: 1 1( ) ( ) ( 0, , , m m mn n na a m n Na a      且 1)n  .0 的负分数指数 幂没有意义. (6)运算性质: ① ( 0, , )r s r sa a a a r s R    ②( ) ( 0, , )r s rsa a a r s R   ③( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r R    (7)指数函数 知识点二 对数函数 (1)对数的定义: ①若 ( 0, 1)xa N a a  且 ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logax N ,其中 a 叫做底数, N 叫 做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: log ( 0, 1, 0)x ax N a N a a N      . (2)几个重要的对数恒等式:log 1 0a  ,log 1a a  ,log b a a b . 函数名称 指数函数 定义 函数 ( 0xy a a  且 1)a  叫做指数函数 图象 1a  0 1a  定义域 R 值域 (0, ) 过定点 图象过定点(0,1) ,即当 0x  时, 1y  . 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 函数值的 变化情况 1 ( 0) 1 ( 0) 1 ( 0) x x x a x a x a x       1 ( 0) 1 ( 0) 1 ( 0) x x x a x a x a x       a 变化对图象 的影响 在第一象限内,a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低. O A 0 1 xay  x y (0,1) O 1y  (3)常用对数与自然对数 常用对数:lg N ,即 10log N ;自然对数:ln N ,即loge N (其中 2.71828e  …). (4)对数的运算性质 如果 0, 1, 0, 0a a M N    ,那么 ①加法:log log log ( )a a aM N MN  ②减法:log log loga a a MM N N   ③数乘: log log ( )n a an M M n R  ④ loga Na N 5 log log ( 0, )b n aa nM M b n Rb    ⑥换底公式: loglog ( 0, 1)log b a b NN b ba   且 (5)对数函数 函数 名称 对数函数 定义 函数 log ( 0ay x a  且 1)a  叫做对数函数 图象 1a  0 1a  定义域 (0, ) 值域 R 过定点 图象过定点(1,0) ,即当 1x  时, 0y  . 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0, ) 上是增函数 在(0, ) 上是减函数 函数值的 变化情况 log 0 ( 1) log 0 ( 1) log 0 (0 1) a a a x x x x x x        log 0 ( 1) log 0 ( 1) log 0 (0 1) a a a x x x x x x        a 变化对函数图象的 影响 在第一象限内,a 越大图象越靠低;在第四象限内,a 越大图象越靠高. 1 1 x y O (1,0) 1x  logay x 1 1 x y O (1,0) 1x  logay x 知识点三 幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 y x 叫做幂函数,其中 x 为自变量, 是常数. (2)幂函数的图象过定点:所有的幂函数在(0, ) 都有定义,并且图象都通过点(1,1) . 知识点四 函数与方程 1、函数零点的定义 (1)对于函数 )(xfy  ,我们把方程 0)( xf 的实数根叫做函数 )(xfy 的零点。 (2)方程 0)( xf 有实根  函数 ( )y f x 的图像与 x 轴有交点  函数 ( )y f x 有零点。因此判断一 个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程 0)( xf 是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求 法:解方程 0)( xf ,所得实数根就是 ( )f x 的零点 (3)变号零点与不变号零点 ①若函数 ( )f x 在零点 0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数 ( )f x 的变号零点。 ②若函数 ( )f x 在零点 0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数 ( )f x 的不变号零点。 ③若函数 ( )f x 在区间 ,a b 上的图像是一条连续的曲线,则 0)()( bfaf 是 ( )f x 在区间 ,a b 内有零点的充 分不必要条件。 2、函数零点的判定 (1)零点存在性定理:如果函数 )(xfy  在区间 ],[ ba 上的图象是连续不断的曲线,并且有 ( ) ( ) 0f a f b  , 那么,函数 )(xfy  在区间 ,a b 内有零点,即存在 ),(0 bax  ,使得 0)( 0 xf ,这个 0x 也就是方程 0)( xf 的根。 (2)函数 )(xfy  零点个数(或方程 0)( xf 实数根的个数)确定方法 ① 代数法:函数 )(xfy  的零点  0)( xf 的根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 )(xfy  的图象联系起来,并利用函数的 性质找出零点。 (3)零点个数确定 0   )(xfy  有 2 个零点  0)( xf 有两个不等实根; 0   )(xfy  有 1 个零点  0)( xf 有两个相等实根; 0   )(xfy  无零点  0)( xf 无实根;对于二次函数在区间 ,a b 上的零点个数,要结合图像进 行确定. 1、二分法 (1)二分法的定义:对于在区间[ , ]a b 上连续不断且 ( ) ( ) 0f a f b  的函数 ( )y f x ,通过不断地把函数 ( )y f x 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法 叫做二分法; (2)用二分法求方程的近似解的步骤: ① 确定区间[ , ]a b ,验证 ( ) ( ) 0f a f b  ,给定精确度 ; ②求区间 ( , )a b 的中点c ; ③计算 ( )f c ; (ⅰ)若 ( ) 0f c  ,则c 就是函数的零点; (ⅱ) 若 ( ) ( ) 0f a f c  ,则令b c (此时零点 0 ( , )x a c ); (ⅲ) 若 ( ) ( ) 0f c f b  ,则令 a c (此时零点 0 ( , )x c b ); ④判断是否达到精确度 ,即 a b   ,则得到零点近似值为 a (或b );否则重复②至④步. 典例精讲 题型一 ** 有关幂函数定义及性质 1、函数 2 2( 1) my m x   是一个反比例函数,则 m= . 2、在函数①y=x3 ②y=x2 ③y=x-1 ④y= x 中,定义域和值域相同的是 . 3、将 2 1 2.1a , 2 1 9.0  b , 2 1 1.1c 按从小到大进行排列为________ 题型二 *** 指数函数及其性质 1、函数 0.(12   aay x 且 )1a 的图像必经过点 2、 比较下列各组数值的大小: (1) 3.37.1 1.28.0 ; (2) 7.03.3 8.04.3 ; 3、函数 2 21 2 x x y      的递减区间为 ;值域是 4、设 20  x ,求函数 1 24 3 2 5 x xy      的最大值和最小值。 5、设 dcba ,,, 都是不等于1的正数, xxxx dycybyay  ,,, 在同一坐标系中的图像如图所示, 则 dcba ,,, 的大小顺序是 A.a b c d   B.a b d c   C.b a d c   D.b a c d   题型三 ** 指数函数的运算 1、计算 1 2 2( 2)   的结果是() A、 2 B、 1 2 C、— 2 D、— 1 2 2、 4 4 3 66 39 9a a          等于() A、 16a B、 8a C、 4a D、 2a 3、若 53,83  ba ,则 ba 233  = 。 题型四 ** 对数运算 1、求值 2 2 3 3(log 3 2log 3)(3log 4 log 2)   ; 2、已知3 2a  ,那么 3 3log 8 2log 6 用 a 表示是() A、 2a  B、5 2a  C、 23 (1 )a a  D、 23a a 3、已知 7 3 2log [log (log )] 0x  ,那么 1 2x  等于() A、 1 3 B、 1 2 3 C、 1 2 2 D、 1 3 3 题型五 *** 对数函数及其性质 1、指数函数 xy a ( 0a  且 )1a 的反函数为 ;它的值域是 2、已知 1 1 2 2 log log 0m n  ,则 ( ) .A 1n m  .B 1m n  .C 1 m n  .D 1 n m  3、 3 2 )2.1(a , 3 2 1.1b , 1 30.9c  , 3log 0.34d  的大小关系是 4、已知 2 1log a <0 ,( a >0, a ≠1),则 a 的取值范围是 . 5、函数 ( ) log (2 1)af x x  ( a >0,且 a ≠1)的图像必经过点 6、已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是关于 x 的减函数,则 a 的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D. ),2[  题型六 *** 零点区间的判断 1、函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( ) A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2) 2、函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间 ( ) A、      4 1,8 1 B、      2 1,4 1 C、      1,2 1 D、(1,2) 3、设 2( ) 3xf x x  ,则在下列区间中,使函数 )(xf 有零点的区间是( ) A、[0,1] B、[1,2] 4、在下列区间中,函数 ( ) e 4 3xf x x   的零点所在的区间为 ( ) A、 1( ,0)4  B、 1(0, )4 C、 1 1( , )4 2 D、 1 3( , )2 4 5、若 0x 是方程 lg 2x x  的解,则 0x 属于区间 ( ) A、(0,1) B、(1,1.25) C、(1.25,1.75) D、(1.75,2) 题型七 *** 零点个数的判断 1、方程 22 3x x   的实数解的个数为 . 2、函数 ( ) ln 2f x x x   的零点个数为 . 3、函数 2( ) cosf x x x 在区间[0,4]上的零点个数为 ( ) A、4 B、5 C、6 D、7 4、函数 ( ) cosf x x x  在[0, ) 内 ( ) A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 5、函数 2 2 3, 0( ) 2 ln , 0 x x xf x x x        , 零点个数为 ( ) A、3 B、2 C、1 D、0 6、若函数 )(xf xa x a  ( 0a  且 1a  )有两个零点,则实数 a 的取值范围是 . 7、若函数 3( ) 3f x x x a   有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( ) A、 2,2 B、 2,2 C、 , 1  D、 1, 题型八 ** 二分法求函数零点 1、下列函数中能用二分法求零点的是 ( ) 2、下列函数图象与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( ) 3 、 设   833  xxf x , 用 二 分 法 求 方 程  2,10833  xxx 在 内 近 似 解 的 过 程 中 得       ,025.1,05.1,01  fff 则方程的根落在区( ) A、(1,1.25) B、(1.25,1.5) C、(1.5,2) D、不能确定 4、用二分法研究函数 13)( 3  xxxf 的零点时,第一次经计算 0)5.0(0)0(  ff , ,可得其中一个零点 0x ,第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( ) A、(0,0.5), )25.0(f B、(0,1), )25.0(f C、(0.5,1), )75.0(f D、(0,0.5), )125.0(f 5、若函数 3 2( ) 2 2f x x x x    的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: f (1) = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984 f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054 那么方程 3 2 2 2 0x x x    的一个近似根(精确到 0.1)为 ( ) A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5
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