【数学】2019届一轮复习人教A版利用导数证明多元不等式学案

【数学】2019届一轮复习人教A版利用导数证明多元不等式学案

专题15 利用导数证明多元不等式 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 利用函数性质、导数证明不等式，是导数综合题常涉及的问题，多元不等式的证明则是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何构造、转化合适的一元函数，本专题拟通过一些典型模拟习题为例介绍常用的处理方法.‎ ‎1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作：‎ ‎（1）利用条件粗略确定变量的取值范围 ‎（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用 ‎2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序 ‎3、证明多元不等式通常的方法有两个 ‎ ‎（1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 ‎（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式 ‎（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法.‎ ‎【经典例题】‎ 例1【2018届四川省资阳市高三4月模拟（三诊）】已知函数（其中）．‎ ‎（1）当时，判断零点的个数 ；‎ ‎（2）在（1）的条件下，记这些零点分别为，求证： ．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点列表分析导函数符号，进而确定函数单调性，再根据零点存在定理确定函数零点个数，（2）先根据零点条件化简得，令则，利用导数研究函数 单调性，根据单调性得，即证得结论.‎ 试题解析：（1）由题知x＞0， ，‎ 所以，由得，‎ 当x＞时， ， 为增函数；当0

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