【数学】2020届一轮复习人教版（理）第12章第3讲绝对值不等式学案
第3讲 绝对值不等式
[考纲解读] 1.理解绝对值意义及几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．(重点)
2.掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容. 预测2020年将会考查：①绝对值不等式的解法；②绝对值性质的应用及最值；③根据不等式恒成立求参数的取值范围. 以解答题的形式呈现，属中档题型.
1．绝对值不等式
(1)定理
如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立，即b落在a，c之间．
(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式
①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2．绝对值不等式的解法
(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．
(2)①绝对值不等式|x|>a与|x|
0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法．
|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，
|ax＋b|≥c⇔ax＋b≤－c或ax＋b≥c(c>0)．
1．概念辨析
(1)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( )
(2)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )
(3)|ax＋b|≤c(c≥0)的解集，等价于－c≤ax＋b≤c.( )
(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．小题热身
(1)设a，b为满足ab<0的实数，那么( )
A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b|
C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|
答案 B
解析 ∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.
(2)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
答案 2
解析 由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
(3)函数y＝|x－3|＋|x＋3|的最小值为________．
答案 6
解析 因为|x－3|＋|x＋3|≥|(x－3)－(x＋3)|＝6，当－3≤x≤3时，|x－3|＋|x＋3|＝6，所以函数y＝|x－3|＋|x＋3|的最小值为6.
(4)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是________．
答案 (－∞，4)
解析 |x－1|－|x－5|表示数轴上对应的点x到1和5的距离之差．而数轴上满足|x－1|－|x－5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x－1|－|x－5|<2的解集是(－∞，4)．
题型 解绝对值不等式
设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)>2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．
解 (1)解法一：令2x＋1＝0，x－4＝0分别得
x＝－，x＝4.原不等式可化为：
或或
∴原不等式的解集为.
解法二：f(x)＝|2x＋1|－|x－4|
＝
画出f(x)的图象，如图所示．
求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7,2)，.
由图象知f(x)>2的解集为.
(2)由(1)的解法二知，f(x)min＝－.
条件探究 把举例说明中函数改为“f(x)＝|x＋1|－|2x－3|”，解不等式|f(x)|>1.
解 f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示．
由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，
故f(x)>1的解集为{x|11的解集为x<或15.
解|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c的一般步骤
(1)零点分段法
①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
②将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；
④取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集．
(2)利用|x－a|＋|x－b|的几何意义
数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.
(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．见举例说明．
提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．
1．求不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集．
解 当x<－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；
当－2≤x<1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；
当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.
综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．
2．若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为－0时，－5－|x＋2|的解集；
(2)若g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)的最小值为4，求实数m的值．
解 (1)∵f(x)>5－|x＋2|可化为|2x－3|＋|x＋2|>5，
∴当x≥时，原不等式化为(2x－3)＋(x＋2)>5，解得x>2，
∴x>2；
当－25，解得x<0，
∴－25，解得x<－，
∴x≤－2.
综上，不等式f(x)>5－|x＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(2)∵f(x)＝|2x－3|，
∴g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)＝|2x＋2m－3|＋|2x－2m－3|≥|(2x＋2m－3)－(2x－2m－3)|＝|4m|，
∴依题意有4|m|＝4，解得m＝±1.
角度2 用绝对值不等式的性质证明不等式
(多维探究)
2．设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|1的解集；
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)>1的解集为.
(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立．
若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1，不符合题意；
若a>0，|ax－1|<1的解集为01有解，求a的取值范围．
解 当x∈(－1,0)时，f(x)>1有解⇔|x－a|<－2x有解⇔2x－3，－x<1，∴－3f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a
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