【数学】2018届一轮复习北师大版第3讲 合情推理与演绎推理学案

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【数学】2018届一轮复习北师大版第3讲 合情推理与演绎推理学案

第 3 讲 合情推理与演绎推理 [学生用书 P234]) 1.推理 (1)定义:是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程. (2)分类:推理{合情推理 演绎推理 2.合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推 理,或者由个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和 其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征 的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 3.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演 绎推理. (2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理. (3)模式: 三段论{①大前提:已知的一般原理; ②小前提:所研究的特殊情况; ③结论:根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 1.辨明两个易误点 (1)演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的 严密性,书写格式的规范性. (2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据. 2.把握合情推理与演绎推理的三个特点 (1)合情推理包括归纳推理和类比推理,所得到的结论都不一定正确,其结论的正确性 是需要证明的. (2)在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑;否则只抓住 一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误. (3)应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提与 推理形式是正确的,结论必定是正确的.如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得结 论也是错误的. 1.数列 2,5,11,20,x,47,…中的 x 等于(  ) A.28             B.32 C.33 D.27  B [解析] 由 5-2=3,11-5=6,20-11=9,则 x-20=12,因此 x=32. 2.推理“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形,③三角形不是矩形”中的 小前提是(  ) A.①   B.② C.③ D.①和②  B [解析] 由演绎推理三段论可知,①是大前提,②是小前提,③是结论. 3.教材习题改编 已知数列{an}中,a1=1,n≥2 时,a n=an-1+2n-1,依次计算 a2, a3,a4 后,猜想 an 的表达式是(  ) A.an=3n-1   B.an=4n-3 C.an=n2 D.an=3n-1  C [解析] 由 a1=1,an=an-1+2n-1,则 a2=a1+2×2-1=4; a3=a2+2×3-1=9; a4=a3+2×4-1=16; 所以 an=n2. 4.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地, 在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为________. [解析] V1 V2= 1 3S1h1 1 3S2h2 =(S1 S2 )· h1 h2=1 4× 1 2= 1 8. [答案] 1∶8  归纳推理(高频考点)[学生用书 P234] 归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题或填空题,难度稍大,属中高档 题. 高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度: (1)与数字(数列)有关的等式的推理; (2)与不等式(式子)有关的推理; (3)与图形变化有关的推理. [典例引领]  (1)(2016·高考山东卷)观察下列等式: (sin π 3 )-2 +(sin 2π 3 )-2 =4 3×1×2; (sin π 5 )-2 +(sin 2π 5 )-2 +(sin 3π 5 )-2 +(sin 4π 5 )-2 = 4 3×2×3; (sin π 7 )-2 +(sin 2π 7 )-2 +(sin 3π 7 )-2 +…+(sin 6π 7 )-2 = 4 3×3×4; (sin π 9 )-2 +(sin 2π 9 )-2 +(sin 3π 9 )-2 +…+(sin 8π 9 )-2 = 4 3×4×5; … 照此规律, (sin π 2n+1)-2 +(sin 2π 2n+1)-2 +(sin 3π 2n+1)-2 +…+(sin 2nπ 2n+1)-2 =__________. (2)(2017·青岛模拟)某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段, 长度相等,两两夹角为 120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条 长度为原来 1 3的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为 120°,…,依此规律得到 n 级分 形图. n 级分形图中共有________条线段. 【解析】 (1)根据已知,归纳可得结果为 4 3n(n+1). (2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有 3=3×2- 3 条线段,二级分形图有 9=3×22-3 条线段,三级分形图中有 21=3×23-3 条线段,按此 规律 n 级分形图中的线段条数 an=3×2n-3(n∈N*). 【答案】 (1) 4 3n(n+1) (2)3×2n-3(n∈N*) 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与“数字”相关问题:主要是观察数字特点,找出等式左右两侧的规律. (2)与不等式有关的推理:观察所给几个不等式两边式子的特点,注意纵向看、找出隐 含规律. (3)与图形有关推理:合理利用特殊图形归纳推理得出结论.  [题点通关] 角度一 与数字(数列)有关的等式的推理 1.有一个奇数组成的数阵排列如下: 1  3  7  13 21 … 5  9  15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … … 则第 30 行从左到右第 3 个数是________. [解析] 观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第 30 行的第 1 个数是 1+4+6+8+10 +…+60= 30 × (2+60) 2 -1=929.又第 n 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 2n,第 3 个数比第 2 个数大 2n+2,所以第 30 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 60,第 3 个数比 第 2 个数大 62,故第 30 行从左到右第 3 个数是 929+60+62=1 051. [答案] 1 051 角度二 与不等式(式子)有关的推理 2.(2017·山东省滕州第二中学模拟)在△ABC 中,不等式 1 A+ 1 B+ 1 C≥ 9 π成立;在凸四边 形 ABCD 中,不等式 1 A+1 B+ 1 C+ 1 D≥ 16 2π成立;在凸五边形 ABCDE 中,不等式 1 A+ 1 B+ 1 C+ 1 D+ 1 E ≥ 25 3π成立,…,依此类推,在凸 n 边形 A1A2…An 中,不等式 1 A1+ 1 A2+…+ 1 An≥________成 立. [解析] 因为 1 A+ 1 B+ 1 C≥ 9 π= 32 π, 1 A+ 1 B+ 1 C+ 1 D≥ 16 2π= 42 2π, 1 A+ 1 B+ 1 C+ 1 D+ 1 E≥ 25 3π= 52 3π,…, 所以 1 A1+ 1 A2+…+ 1 An≥ n2 (n-2)π(n∈N*,n≥3). [答案] n2 (n-2)π(n∈N*,n≥3) 角度三 与图形变化有关的推理 3.我国的刺绣有着悠久的历史,如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案, 这些图案都是由小正方形构成,小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正 方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.则 f(n)的表达式为(  ) A.f(n)=2n-1       B.f(n)=2n2 C.f(n)=2n2-2n D.f(n)=2n2-2n+1  D [解析] 我们考虑 f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,…,结合图形不难 得到 f(n)-f(n-1)=4(n-1),累加得 f(n)-f(1)=2n(n-1)=2n2-2n,故 f(n)=2n2-2n+1.  类比推理[学生用书 P235] [典例引领]  如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,设 a,b,c 分别表示三条边的 长度,由勾股定理,得 c2=a2+b2. 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想. 【解】 如题图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°. 设 a,b,c 分别表示 3 条边的长度,由勾股定理,得 c2=a2+b2. 类似地,在四面体 P­DEF 中,∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°. 设 S1,S2,S3 和 S 分别表示△PDF,△PDE,△EDF 和△PEF 的面积, 相应于直角三角形的 2 条直角边 a,b 和 1 条斜边 c,图中的四面体有 3 个“直角面”S1, S2,S3 和 1 个“斜面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜想 S2=S21+S22+S 23成立. 若本例条件“由勾股定理,得 c2=a2+b2”换成“cos2 A+cos2 B=1”,则在空间中, 给出四面体性质的猜想. [解] 如图,在 Rt△ABC 中, cos2A+cos2B=(b c ) 2 +(a c )2 = a2+b2 c2 =1. 于是把结论类比到四面体 P­A′B′C′中,我们猜想,四面体 P­A′B′C′中,若三个侧面 PA′B′,PB′C′,PC′A′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为 α,β,γ,则 cos2α+ cos2β+cos2γ=1.    (2017·杭州模拟)已知命题:“若数列{a n}是等比数列,且 an>0,bn= n a1a2…an(n∈N*),则数列{bn}也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一 个什么性质?并证明你的结论. [解] 类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{an}是等差数列, bn= a1+a2+…+an n (n∈N*), 则数列{bn}也是等差数列. 证明如下:设等差数列{an}的公差为 d, 则 bn= a1+a2+…+an n = na1+n(n-1)d 2 n =a1+ d 2(n-1), 所以数列{bn}是以 a1 为首项, d 2为公差的等差数列.  演绎推理[学生用书 P236] [典例引领]  数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= n+2 n Sn(n∈N*).证明: (1)数列{Sn n }是等比数列; (2)Sn+1=4an. 【证明】 (1)因为 an+1=Sn+1-Sn,an+1= n+2 n Sn, 所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即 nSn+1=2(n+1)Sn. 故 Sn+1 n+1=2· Sn n ,(小前提) 故{Sn n }是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知 Sn+1 n+1=4· Sn-1 n-1(n≥2), 所以 Sn+1=4(n+1)· Sn-1 n-1=4· n-1+2 n-1 ·Sn-1 =4an(n≥2).(大前提) 又因为 a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) 所以对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.(结论) 演绎推理的推证规则 (1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时, 应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略; (2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.   已知函数 y=f(x)满足:对任意 a,b∈R,a≠b,都有 af(a)+bf(b)>af(b)+ bf(a),试证明:f(x)为 R 上的单调增函数. [证明] 设 x1,x2∈R,取 x1x1f(x2)+x2f(x1), 所以 x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, 因为 x10,f(x2)>f(x1). 所以 y=f(x)为 R 上的单调增函数. [学生用书 P236]) ——例析归纳推理中的创新问题  设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2, 3,….若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= cn+an 2 ,cn+1= bn+an 2 ,则(  ) A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 【解析】 在△A1B1C1 中,b1>c1,b1+c1=2a1, 所以 b1>a1>c1. 在△A2B2C2 中,a2=a1,b2= c1+a1 2 ,c2= b1+a1 2 ,b2+c2=2a1, 所以 c12,f(8)> 5 2,f(16)>3,f(32)> 7 2,则 有________. [解析] 因为 f(22)> 4 2,f(23)> 5 2,f(24)> 6 2,f(25)> 7 2,所以当 n≥2 时,有 f(2n)> n+2 2 . [答案] f(2n)> n+2 2 (n≥2,n∈N*) 9.若 P0(x0,y0)在椭圆 x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)外,过 P 0 作椭圆的两条切线的切点为 P1, P2,则切点弦 P1P2 所在的直线方程是 x0x a2 + y0y b2 =1,那么对于双曲线则有如下命题:若 P0(x0,y0)在双曲线 x2 a2- y2 b2=1(a>0,b>0)外,过 P0 作双曲线的两条切线,切点为 P1,P2, 则切点弦 P1P2 所在直线的方程是________. [解析] 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线 x2 a2- y2 b2=1 的切点弦方程为 x0x a2 - y0y b2 =1. [答案] x0x a2 - y0y b2 =1 10.某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行 一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有 A,B,C,D,E 五辆车,保证每天至少有四辆 车可以上路行驶.已知 E 车周四限行,B 车昨天限行,从今天算起,A,C 两车连续四天都 能上路行驶,E 车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是________. ①今天是周六      ②今天是周四 ③A 车周三限行 ④C 车周五限行 [解析] 因为每天至少有四辆车可以上路行驶,E 车明天可以上路,E 车周四限行,所以 今天不是周三;因为 B 车昨天限行,所以今天不是周一,也不是周日;因为 A,C 两车连续 四天都能上路行驶,所以今天不是周五,周二和周六,所以今天是周四. [答案] ② 11.我们将具有下列性质的所有函数组成集合 M:函数 y=f(x)(x∈D),对任意 x,y, x+y 2 ∈D 均满足 f(x+y 2 )≥ 1 2[f(x)+f(y)],当且仅当 x=y 时等号成立. (1)若定义在(0,+∞)上的函数 f(x)∈M,试比较 f(3)+f(5)与 2f(4)的大小; (2)设函数 g(x)=-x2,求证:g(x)∈M. [解] (1)对于 f(x+y 2 )≥ 1 2[f(x)+f(y)],令 x=3,y=5 得 f(3)+f(5)≤2f(4). (2)证明:g(x1+x2 2 )- 1 2[g(x1)+g(x2)] =- (x1+x2)2 4 + x+x 2 = (x1-x2)2 4 ≥0, 所以 g(x1+x2 2 )≥ 1 2[g(x1)+g(x2)], 所以 g(x)∈M.
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